弦の振動｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｱ) ㋑「気柱の共鳴に関する実験などを行い，気柱の共鳴と音源の振動数を関連付けて理解すること。また，弦の振動，音波の性質を理解すること。」。内容の取扱いは「波の反射，共振，うなりなどを扱うこと」としています。

0. どういうまとまりか

両端を固定した弦をはじくと、弦を伝わる波が両端で反射をくり返し、逆向きに進む波どうしが重なり合って定在波ができます。
両端は固定されているので必ず節になり、この条件に合う波長の定在波だけが生き残ります。
こうしてできる、その弦に特有の振動を固有振動、そのときの振動数を固有振動数といいます。

長さ $L$ の弦を伝わる波の速さを $v$ とすると、固有振動は次のようになります。

$n$	名前	腹の数	波長 $λ_{n}$	振動数 $f_{n}$
1	基本振動	1	$2 L$	$\frac{v}{2 L}$
2	2 倍振動	2	$L$	$\frac{2 v}{2 L}$
3	3 倍振動	3	$\frac{2 L}{3}$	$\frac{3 v}{2 L}$
$n$	$n$ 倍振動	$n$	$\frac{2 L}{n}$	$\frac{n v}{2 L}$

分かれ目は次の 3 つ。

弦の両端は節。固定されていて動けないから
弦の長さに、半波長がちょうど $n$ 個入る。 $L = n \times \frac{λ}{2}$ から波長を出す
$v$ は弦を伝わる波の速さで、空気中の音の速さではない。弦と、弦が出す音とで共通なのは振動数だけ

1. 弦にできる定在波

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

弦の振動は、反射と重ね合わせでできる定在波です。どんな波長でもよいわけではなく、両端が節になるものだけが残ります。

両端を固定した弦をはじくと、弦に定在波ができるのはなぜか？

弦を伝わる波が両端で反射をくり返し、逆向きに進む波どうしが重なり合うから

弦の端で反射した波と、そこへ向かう波は、波長と速さが等しく向きが逆。定在波のできる条件を満たしている。

両端を固定した弦にできる定在波で、弦の両端は腹か節か？

どちらも節

両端は固定端なので動けない。固定端での反射では、端が定在波の節になる。

固有振動・固有振動数とは？

物体が、外から力を加え続けられなくても自由に振動するときの、その物体に特有の振動が固有振動。そのときの振動数が固有振動数

弦の固有振動は、両端が節になる定在波。固有振動数は 1 つではなく、とびとびの値がいくつもある。

弦の基本振動とは？そのときの波長は、弦の長さ $L$ の何倍か？

腹が 1 個だけの固有振動。波長は $2 L$

両端の節の間隔が $L$ で、これが半波長にあたる。 $\frac{λ}{2} = L$ から $λ = 2 L$ 。固有振動のうち、波長が最も長く、振動数が最も小さい。

弦の 2 倍振動、3 倍振動とは？

腹が 2 個の固有振動が 2 倍振動、腹が 3 個の固有振動が 3 倍振動。振動数がそれぞれ基本振動の 2 倍、3 倍になる

腹が $n$ 個の振動を $n$ 倍振動という。節の数は、両端を含めて $n + 1$ 個。

2. 固有振動の波長と振動数

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

腹の数が分かれば波長が決まり、弦を伝わる波の速さと合わせて振動数が決まります。

長さ $L$ の弦に腹が $n$ 個の定在波ができているとき、波長 $λ_{n}$ は？どう導くか？

$λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ 。腹 1 個ぶんの長さが半波長なので、 $L = n \times \frac{λ _{n}}{2}$ を解く

$n = 1, 2, 3, \dots$ 。式を覚えるより、「弦に半波長がいくつ入っているか」を数えるほうが間違えにくい。

長さ $L$ の弦を伝わる波の速さが $v$ のとき、 $n$ 倍振動の振動数 $f_{n}$ は？

$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$

$v = f λ$ に $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ を入れたもの。基本振動数 $f_{1} = \frac{v}{2 L}$ の整数倍になっている（ $f_{n} = n f_{1}$ ）。

弦が出す音の「基本音」「倍音」とは？

基本振動による音が基本音。2 倍振動、3 倍振動などによる音が倍音

実際の弦は、基本振動といくつもの倍振動が重なって振動している。倍音の混ざり方の違いが、楽器の音色の違いになる。

弦の振動数と、その弦が空気中に出す音の振動数・波長の関係は？

振動数は等しい。波長は等しくない

弦が 1 回振動するたびに空気を 1 回押すので、振動数は同じ。弦の上の波長は $\frac{v}{f}$ 、空気中の音の波長は音の速さ $V$ を使って $\frac{V}{f}$ で、速さが違う分だけ波長も違う。

3. 弦の音の高さと共振

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

弦の音の高さは、長さと、弦を伝わる波の速さで決まります。また、固有振動数に合った振動を外から加えると、弦は大きく振動します。

弦を伝わる波の速さは、弦の張り方や弦の重さによってどう変わるか？

弦を強く張るほど（張力が大きいほど）速くなる。同じ長さあたりの質量が大きい弦（太く重い弦）ほど遅くなる

強く張った弦は、ずれた部分を元に戻す力が強い。重い弦は動きにくい。物理基礎では、この関係を式ではなく向きで押さえる。

弦の基本音を高くする方法を 3 つ挙げると？

弦を短くする。弦を強く張る。細くて軽い弦に替える

$f_{1} = \frac{v}{2 L}$ なので、 $L$ を小さくするか、 $v$ を大きくすればよい。ギターは、弦を指で押さえて長さを変え、ねじで張力を変えて音の高さを合わせる。

共振（共鳴）とは？

物体に、その固有振動数と等しい振動数で周期的に力を加えると、物体が大きく振動するようになる現象

ブランコを、揺れの周期に合わせて押すと大きく揺れるのが共振。音による共振は、ふつう共鳴と呼ぶ。

弦の一端に、振動数を変えられる振動源をつないで弦を揺らす。弦に大きな定在波ができるのは、どんなときか？

振動源の振動数が、弦の固有振動数のどれかと一致したとき（共振）

振動数を上げていくと、腹が 1 個、2 個、3 個、…の定在波が順に現れる。固有振動数からずれた振動数では、弦はほとんど振動しない。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ア)-㋑

問 1　長さ $0.60 m$ の弦があり、弦を伝わる波の速さは $120 m/s$ である。基本振動と 3 倍振動のそれぞれについて、波長と振動数を求めよ。

基本振動は波長 $1.2 m$ 、振動数 $100 Hz$ 。3 倍振動は波長 $0.40 m$ 、振動数 $300 Hz$

方針　弦の長さに半波長がいくつ入るかで波長を決め、 $v = f λ$ で振動数を出す。基本振動は半波長 1 個、3 倍振動は 3 個。

基本振動では $L = \frac{λ _{1}}{2}$ なので、 $λ_{1} = 2 \times 0.60 = 1.2 m$
基本振動数は $f_{1} = \frac{v}{λ _{1}}$ から、 $\frac{120}{1.2} = 100 Hz$
3 倍振動では $L = 3 \times \frac{λ _{3}}{2}$ なので、 $λ_{3} = \frac{2 \times 0.60}{3} = 0.40 m$
3 倍振動の振動数は $f_{3} = \frac{v}{λ _{3}}$ から、 $\frac{120}{0.40} = 300 Hz$
確かめ: $3 \times 100 = 300$ で、基本振動数の 3 倍になっている。

問 2　長さ $0.80 m$ の弦が、振動数 $150 Hz$ で、腹が 2 個の定在波をつくって振動している。弦を伝わる波の速さと、この弦の基本振動数を求めよ。

速さ $120 m/s$ 、基本振動数 $75 Hz$

方針　腹の数から波長を求め、 $v = f λ$ で速さを出す。同じ弦なら速さは変わらないので、その速さで基本振動数を計算する。

腹が 2 個なので、弦の長さに半波長が 2 個入る。 $L = 2 \times \frac{λ}{2} = λ$ から、 $λ = 0.80 m$
速さは $v = f λ = 150 \times 0.80 = 120 m/s$
基本振動の波長は $2 L = 2 \times 0.80 = 1.6 m$
基本振動数は $\frac{120}{1.6} = 75 Hz$

ここで間違えやすい　 $150 Hz$ を基本振動数としない。腹が 2 個なので 2 倍振動であり、基本振動数はその半分。

問 3　長さ $0.60 m$ の弦の基本振動数は $200 Hz$ であった。弦の張り方を変えずに、振動する部分の長さを $0.40 m$ にすると、基本振動数はいくらになるか。

$300 Hz$

方針　張り方が同じなら、弦を伝わる波の速さは変わらない。はじめの条件から速さを求め、短くした弦の基本振動に使う。

はじめの基本振動の波長は $2 \times 0.60 = 1.2 m$
弦を伝わる波の速さは $v = f λ = 200 \times 1.2 = 240 m/s$
短くした弦の基本振動の波長は $2 \times 0.40 = 0.80 m$
基本振動数は $\frac{240}{0.80} = 300 Hz$

ここで間違えやすい　長さが $\frac{2}{3}$ 倍になったから振動数も $\frac{2}{3}$ 倍、としない。基本振動数は長さに反比例するので、 $\frac{3}{2}$ 倍になる。

問 4　長さ $1.2 m$ の弦の一端に振動源をつなぎ、振動数 $60 Hz$ で振動させると、弦に腹が 3 個の定在波ができた。弦を伝わる波の速さを求めよ。また、弦の張り方を変えずに、腹が 4 個の定在波をつくるには、振動源の振動数をいくらにすればよいか。弦の両端は節とみなしてよい。

速さ $48 m/s$ 、振動数 $80 Hz$

方針　腹の数から波長を求め、速さを出す。張り方が同じなら速さは変わらないので、腹 4 個のときの波長から振動数を計算する。

腹が 3 個のとき、 $L = 3 \times \frac{λ}{2}$ なので、 $λ = \frac{2 \times 1.2}{3} = 0.80 m$
速さは $v = f λ = 60 \times 0.80 = 48 m/s$
腹が 4 個のとき、波長は $\frac{2 \times 1.2}{4} = 0.60 m$
必要な振動数は $\frac{48}{0.60} = 80 Hz$
確かめ: 基本振動数は $\frac{60}{3} = 20$ で $20 Hz$ 。4 倍振動は $4 \times 20 = 80$ で合っている。

問 5　長さ $0.50 m$ の弦が、基本振動数 $170 Hz$ で振動して音を出している。弦を伝わる波の速さと、この音の空気中での波長を求めよ。空気中の音の速さは $340 m/s$ とする。

弦を伝わる波の速さ $170 m/s$ 、空気中の音の波長 $2.0 m$

方針　弦の上の波と、空気中の音は、振動数だけが共通で、速さと波長は別々である。弦の上では弦の波長と弦の速さを、空気中では音の速さを使う。

弦の基本振動の波長は $2 L = 2 \times 0.50 = 1.0 m$
弦を伝わる波の速さは $v = f λ = 170 \times 1.0 = 170 m/s$
音の振動数は弦の振動数と同じ $170 Hz$
空気中の音の波長は $\frac{340}{170} = 2.0 m$

ここで間違えやすい　弦の上の波長 $1.0 m$ を、そのまま音の波長としない。弦から空気へ伝わるときに変わらないのは振動数だけ。