抵抗の接続と電力｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (2) ア (ｳ) ㋑「発電，送電及び電気の利用について，基本的な仕組みを理解すること。」。このノートは「電気の利用」の土台になる、回路のつなぎ方と電気エネルギーの量を扱います。

0. どういうまとまりか

家庭の電気器具は、電気エネルギーを熱・光・運動などに変えて使っています。どれだけのエネルギーを使うかは、器具にかかる電圧と流れる電流で決まります。
器具（抵抗）が 2 つ以上あるときは、つなぎ方によって電圧と電流の分かれ方が変わります。直列では電流が共通、並列では電圧が共通です。

	直列接続	並列接続
共通なもの	電流	電圧
和になるもの	電圧（ $V = V_{1} + V_{2}$ ）	電流（ $I = I_{1} + I_{2}$ ）
合成抵抗	$R = R_{1} + R_{2}$	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$
合成抵抗の大きさ	どの抵抗よりも大きい	どの抵抗よりも小さい

知りたいもの	式	単位
ジュール熱	$Q = I V t$	$J$
電力	$P = I V = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}$	$W$
電力量	$W = P t = I V t$	$J$ 、 $Wh$ 、 $kWh$

分かれ目は次の 3 つ。

直列は電流が共通、並列は電圧が共通。式を立てる前に、どちらが共通かを先に決める
並列の合成抵抗は、逆数の和を出したあと、もう一度逆数にする。 $\frac{1}{R}$ の値をそのまま答えにしない
電力の式は、共通なものが入った形を選ぶ。直列なら $P = I^{2} R$ （電流が共通）、並列なら $P = \frac{V ^{2}}{R}$ （電圧が共通）

1. 直列接続

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ウ)-㋑

抵抗を一列につなぐのが直列接続です。電流の通り道が 1 本しかないので、どの抵抗にも同じ電流が流れます。

抵抗 $R_{1}$ と $R_{2}$ を直列につないだときの合成抵抗 $R$ は？

$R = R_{1} + R_{2}$

合成抵抗は、複数の抵抗を同じはたらきをする 1 つの抵抗に置きかえたときの抵抗値。直列では抵抗値をそのまま足す。3 つ以上でも同じように足す。

直列接続で、各抵抗に共通なのは電流か電圧か？共通でないほうは、どういう関係になるか？

電流が共通。電圧は各抵抗にかかる電圧の和が全体の電圧になる（ $V = V_{1} + V_{2}$ ）

$V_{1} = R_{1} I$ 、 $V_{2} = R_{2} I$ で $I$ が同じなので、電圧は抵抗値の比に分かれる。抵抗の大きいほうに大きい電圧がかかる。

2. 並列接続

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ウ)-㋑

抵抗の両端をそれぞれまとめてつなぐのが並列接続です。どの抵抗も同じ 2 点につながっているので、同じ電圧がかかります。家庭の電気器具は並列につながれています。

抵抗 $R_{1}$ と $R_{2}$ を並列につないだときの合成抵抗 $R$ は？

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

逆数の和が、合成抵抗の逆数になる。右辺を計算したあと、逆数をとって $R$ にするのを忘れない。

並列接続で、各抵抗に共通なのは電流か電圧か？共通でないほうは、どういう関係になるか？

電圧が共通。電流は各抵抗を流れる電流の和が全体の電流になる（ $I = I_{1} + I_{2}$ ）

$I_{1} = \frac{V}{R _{1}}$ 、 $I_{2} = \frac{V}{R _{2}}$ で $V$ が同じなので、電流は抵抗値の逆の比に分かれる。抵抗の小さいほうに大きい電流が流れる。

2 つの抵抗の合成抵抗は、もとの抵抗と比べて大きいか小さいか？直列と並列のそれぞれで答えよ。

直列では、どちらの抵抗よりも大きくなる。並列では、どちらの抵抗よりも小さくなる

直列は導線を長くしたのと同じ、並列は導線を太くしたのと同じ。並列の合成抵抗が、小さいほうの抵抗より大きくなったら計算違い。

抵抗 $R_{1}$ と $R_{2}$ の並列の合成抵抗を、逆数を使わずに直接求める式は？

$R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ （積 ÷ 和）

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ の右辺を通分して逆数にしたもの。抵抗が 2 つのときにだけ使える。3 つ以上のときは逆数の和に戻る。

直列と並列が混ざった回路の合成抵抗や電流は、どういう順に求めるか？

並列になっている部分を先に 1 つの合成抵抗にまとめ、全体を直列として合成する。全体の電流を出してから、各部分の電圧と電流に戻る

「内側からまとめて、外側からほどく」。まとめた並列部分にかかる電圧が分かれば、その中の各抵抗の電流はオームの法則で出せる。

3. ジュール熱と電力

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ウ)-㋑

抵抗に電流が流れると熱が発生します。電熱器はこの熱を利用し、送電線ではこの熱がエネルギーの損失になります。

ジュール熱とは？抵抗に電圧 $V$ をかけて電流 $I$ を時間 $t$ だけ流したときに発生する熱量は？

抵抗に電流が流れるときに発生する熱。 $Q = I V t$ （ジュールの法則）

オームの法則 $V = R I$ を使うと、 $Q = I^{2} R t = \frac{V ^{2}}{R} t$ とも書ける。単位は $J$ 。

電力とは？式と単位は？

電流が 1 秒あたりにする仕事（1 秒あたりに消費される電気エネルギー）。 $P = I V$ 。単位はワット（ $W$ ）

$1 W$ は $1 J/s$ 。力学の仕事率と同じ単位で、同じ意味をもつ。「100 V 用 500 W」の器具は、 $100 V$ で使うと 1 秒あたり $500 J$ を消費する。

電力を抵抗 $R$ を使って表す 2 つの式は？どう使い分けるか？

$P = I^{2} R$ と $P = \frac{V ^{2}}{R}$ 。電流が共通の直列では $P = I^{2} R$ 、電圧が共通の並列では $P = \frac{V ^{2}}{R}$ を使う

直列では抵抗の大きいほうが消費電力が大きく、並列では抵抗の小さいほうが消費電力が大きい。つなぎ方で大小が逆になる。

電力量とは？式と単位は？

電流がある時間にした仕事の総量（消費された電気エネルギーの総量）。 $W = P t = I V t$ 。単位は $J$

電力に時間をかけたもの。抵抗で消費された電力量は、すべてジュール熱になる。

$1 kWh$ （キロワット時）とは？何 $J$ か？

$1 kW$ の電力を 1 時間使ったときの電力量。 $3.6 \times 1 0^{6} J$

$1 kW$ は $1000 W$ 、1 時間は $3600 s$ なので、 $1000 \times 3600 = 3600000$ で $3.6 \times 1 0^{6} J$ 。電気料金の計算に使われる単位。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(2)-ア-(ウ)-㋑

問 1　 $20 Ω$ の抵抗と $30 Ω$ の抵抗を直列につなぎ、両端に $10 V$ の電圧をかけた。回路を流れる電流と、それぞれの抵抗にかかる電圧を求めよ。

電流 $0.20 A$ 。 $20 Ω$ の抵抗に $4.0 V$ 、 $30 Ω$ の抵抗に $6.0 V$

方針　直列なので電流が共通。まず合成抵抗を求めて全体の電流を出し、その電流を使って各抵抗の電圧をオームの法則で求める。

合成抵抗は $20 + 30 = 50 Ω$
全体の電流は、オームの法則から $I = \frac{10}{50} = 0.20 A$
$20 Ω$ の抵抗にかかる電圧は、 $20 \times 0.20 = 4.0 V$
$30 Ω$ の抵抗にかかる電圧は、 $30 \times 0.20 = 6.0 V$
確かめ: $4.0 + 6.0 = 10 V$ で、全体の電圧と合っている

ここで間違えやすい　それぞれの抵抗に $10 V$ がかかるとして電流を別々に計算してしまうこと。直列では電圧は分かれ、電流が共通になる。

問 2　 $20 Ω$ の抵抗と $30 Ω$ の抵抗を並列につなぎ、両端に $6.0 V$ の電圧をかけた。合成抵抗と、回路全体を流れる電流を求めよ。

合成抵抗 $12 Ω$ 、全体の電流 $0.50 A$

方針　並列なので電圧が共通。合成抵抗は逆数の和から求める。全体の電流は、各抵抗の電流を足しても、合成抵抗から求めても同じになるので、両方で確かめる。

合成抵抗を $R$ とすると、 $\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
通分すると、 $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
逆数をとって、 $R = 12 Ω$
$20 Ω$ の抵抗を流れる電流は $\frac{6.0}{20} = 0.30 A$ 、 $30 Ω$ の抵抗を流れる電流は $\frac{6.0}{30} = 0.20 A$
全体の電流は、 $0.30 + 0.20 = 0.50 A$
確かめ: 合成抵抗から求めても、 $\frac{6.0}{12} = 0.50 A$ で同じになる

ここで間違えやすい　2. の $\frac{1}{12}$ をそのまま合成抵抗としてしまうこと。合成抵抗は 2 つの抵抗のどちらよりも小さい $12 Ω$ になる。

問 3　 $30 Ω$ と $60 Ω$ の抵抗を並列につないだものに、 $10 Ω$ の抵抗を直列につなぎ、全体に $9.0 V$ の電圧をかけた。 $10 Ω$ の抵抗を流れる電流と、 $30 Ω$ の抵抗を流れる電流を求めよ。

$10 Ω$ の抵抗に $0.30 A$ 、 $30 Ω$ の抵抗に $0.20 A$

方針　並列部分を先に 1 つの抵抗にまとめ、全体を直列として電流を出す。 $10 Ω$ の抵抗には全体の電流が流れる。次に並列部分にかかる電圧を出し、 $30 Ω$ の抵抗の電流に戻る。

並列部分の合成抵抗は、積 ÷ 和で $\frac{30 \times 60}{30 + 60} = \frac{1800}{90} = 20 Ω$
全体の合成抵抗は、 $10 + 20 = 30 Ω$
全体の電流は $\frac{9.0}{30} = 0.30 A$ 。これが $10 Ω$ の抵抗を流れる電流
並列部分にかかる電圧は、 $20 \times 0.30 = 6.0 V$
$30 Ω$ の抵抗を流れる電流は、 $\frac{6.0}{30} = 0.20 A$
確かめ: $60 Ω$ の抵抗の電流は $\frac{6.0}{60} = 0.10 A$ で、 $0.20 + 0.10 = 0.30 A$ となり全体の電流と合っている

ここで間違えやすい　 $30 Ω$ の抵抗に $9.0 V$ がかかるとしてしまうこと。 $10 Ω$ の抵抗で $10 \times 0.30 = 3.0 V$ が使われるので、並列部分にかかるのは残りの $6.0 V$ 。

問 4　「100 V 用 500 W」と表示された電熱器を $100 V$ の電源につないで使う。(1) 流れる電流、(2) 電熱器の抵抗、(3) 30 分間使ったときの電力量を $kWh$ と $J$ の両方で求めよ。

(1) $5.0 A$ 　(2) $20 Ω$ 　(3) $0.25 kWh$ 、 $9.0 \times 1 0^{5} J$

方針　表示は「 $100 V$ で使うと $500 W$ を消費する」という意味。電流は $P = I V$ から、抵抗はオームの法則から求める。電力量は $W = P t$ で、時間の単位を $kWh$ なら時間、 $J$ なら秒にそろえる。

(1) $P = I V$ を $I$ について解くと $I = \frac{P}{V}$ なので、 $I = \frac{500}{100} = 5.0 A$
(2) オームの法則から $R = \frac{V}{I}$ なので、 $R = \frac{100}{5.0} = 20 Ω$
(3) $500 W$ は $0.50 kW$ 、30 分は $0.50$ 時間なので、電力量は $0.50 \times 0.50 = 0.25 kWh$
30 分を秒に直すと、 $30 \times 60 = 1800 s$
$J$ で表すと、 $500 \times 1800 = 900000$ で $9.0 \times 1 0^{5} J$
確かめ: $1 kWh$ は $3.6 \times 1 0^{6} J$ なので、 $0.25 \times 3600000 = 900000$ で 5. と合っている

ここで間違えやすい　時間を分のまま $500 \times 30$ としてしまうこと。 $W$ は $J/s$ なので、 $J$ を求めるときは時間を秒に直す。

問 5　抵抗が $5.0 Ω$ の電熱線に $10 V$ の電圧をかけ、水 $200 g$ の中に入れて 7 分間電流を流した。発生したジュール熱がすべて水の温度上昇に使われたとすると、水の温度は何 $K$ 上がるか。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とする。

$10 K$

方針　電熱線で発生したジュール熱 $Q = I V t$ が、水の得た熱量 $Q = m c Δ T$ に等しい。先に電流を出してジュール熱を求め、それを水の熱容量で割る。

電熱線を流れる電流は、オームの法則から $I = \frac{10}{5.0} = 2.0 A$
7 分を秒に直すと、 $7 \times 60 = 420 s$
ジュール熱は $Q = I V t$ から、 $2.0 \times 10 \times 420 = 8400 J$
水 $200 g$ の熱容量は、 $200 \times 4.2 = 840 J/K$
温度上昇は、 $Δ T = \frac{8400}{840} = 10 K$

ここで間違えやすい　時間を 7 のまま入れて $2.0 \times 10 \times 7$ としてしまうこと。 $Q = I V t$ の $t$ は秒で入れる。