弾性力とフックの法則｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋐「物体に様々な力が働くことを理解すること。」。内容の取扱いは、ここで弾性力を扱うこととしています。

0. どういうまとまりか

ばねを引いて伸ばすと、ばねは縮もうとして手を引き返します。押して縮めると、伸びようとして手を押し返します。
変形した物体がもとの形に戻ろうとする性質を弾性といい、そのとき相手に及ぼす力を弾性力といいます。
ばねの弾性力の大きさは、伸び（または縮み）に比例します。これがフックの法則です。

決めるもの	中身
向き	ばねが自然の長さに戻ろうとする向き。伸びていれば引く、縮んでいれば押す
大きさ	$F = k x$
$x$	自然の長さからの伸び（または縮み）。単位は $m$
$k$	ばね定数。単位は $N/m$ 。大きいほど伸びにくい（かたい）ばね

分かれ目は次の 3 つ。

$x$ はばねの全長ではない。自然の長さから何 $m$ 伸びたか（縮んだか）を入れる
伸びが $cm$ で与えられたら、先に $m$ に直す。ばね定数の単位が $N/m$ だから
ばねの両端を $F$ ずつで引いても、ばねの弾性力は $F$ 。 $2 F$ にはならない

1. 弾性力

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

弾性力は、変形したばねがつながっている相手に及ぼす力です。向きは、ばねが伸びているか縮んでいるかで決まります。

弾性とは？弾性力とは？

弾性は、変形した物体がもとの形に戻ろうとする性質。弾性力は、変形した物体がもとに戻ろうとして、接している相手に及ぼす力

ばねのほか、ゴムひもや、たわんだ板も弾性力を及ぼす。

ばねの「自然の長さ」とは？

ばねが伸びても縮んでもいないときの長さ（力を受けていないときの長さ）

自然の長さのとき、ばねの弾性力は 0。伸びや縮みは、この長さを基準にして測る。

ばねが物体に及ぼす弾性力の向きは？伸びているときと縮んでいるときで答えよ。

伸びているときは、物体をばねの側へ引く向き。縮んでいるときは、物体をばねから遠ざかるほうへ押す向き

どちらも「ばねが自然の長さに戻ろうとする向き」とまとめられる。

2. フックの法則

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

弾性力の大きさは、伸びや縮みに比例します。比例定数がばね定数で、ばね 1 本ごとに決まった値です。

フックの法則とは？式は？

ばねの弾性力の大きさ $F$ は、自然の長さからの伸び（または縮み） $x$ に比例する。 $F = k x$

伸びが 2 倍になれば弾性力も 2 倍になる。例えば $k = 100 N/m$ のばねを $0.050 m$ 伸ばすと、弾性力は $100 \times 0.050 = 5.0 N$ 。

ばね定数 $k$ とは何を表す量か？単位は？

ばねを単位の長さ（ $1 m$ ）だけ伸ばすのに必要な力の大きさ。単位は $N/m$ （ニュートン毎メートル）

ばね定数が大きいばねほど、伸ばすのに大きな力が要る。つまり、かたいばねである。

フックの法則 $F = k x$ の $x$ に入れるのは、ばねの全長か？

全長ではない。自然の長さからの伸び（または縮み）を入れる

伸びは「いまの長さ − 自然の長さ」。全長を入れると、力を加えていないばねにも弾性力があることになってしまう。

伸びが $cm$ で与えられたばねの問題で、最初にすることは？

伸びを $m$ に直す（ $1 cm = 0.01 m$ ）

ばね定数の単位が $N/m$ なので、 $cm$ のまま入れると答えが 100 倍ずれる。

横軸にばねの伸び $x$ 、縦軸に弾性力の大きさ $F$ をとったグラフは、どんな形か？傾きは何を表すか？

原点を通る直線。傾きがばね定数 $k$ を表す

傾きが急なばねほど、ばね定数が大きい（かたい）。直線上の 1 点の $F$ を $x$ で割れば、ばね定数が求められる。

同じ大きさの力で引いたとき、ばね定数が 2 倍のばねの伸びは何倍か？

$\frac{1}{2}$ 倍

$F = k x$ から $x = \frac{F}{k}$ 。力が同じなら、伸びはばね定数に反比例する。

3. ばねとつり合い

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

ばねにつないだ物体が静止しているとき、弾性力はほかの力とつり合っています。ここから伸びやばね定数を求めます。

天井からつるした軽いばね（ばね定数 $k$ ）に質量 $m$ のおもりをつるして静止させた。ばねの伸び $x$ を求める式は？

$k x = m g$ から $x = \frac{m g}{k}$

おもりが受ける力は、上向きの弾性力 $k x$ と下向きの重力 $m g$ の 2 つ。静止しているので、この 2 つの大きさが等しい。

ばねの一端を壁に固定し、他端を大きさ $F$ の力で引く。これと、ばねの両端をそれぞれ大きさ $F$ の力で引くのとでは、伸びはどう違うか？

同じ（どちらも伸びは $\frac{F}{k}$ ）

一端を壁に固定して引くとき、壁もばねを大きさ $F$ で引いている。ばねから見れば、どちらも両端を $F$ ずつで引かれている。

ばねばかりは、どんな原理で力の大きさを測っているか？

ばねの伸びが、加えた力の大きさに比例すること（フックの法則）

伸びを読めば力の大きさが分かる。目盛りが等間隔なのは、伸びが力に比例するから。

【発展】ばね定数 $k_{1}$ と $k_{2}$ の 2 本の軽いばねを、並列につないだときと直列につないだとき、全体を 1 本のばねとみなしたばね定数 $k$ はそれぞれどうなるか。

並列は $k = k_{1} + k_{2}$ 。直列は $\frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$

学習指導要領の解説が物理基礎で扱うとした範囲の外ですが、教科書や問題集でよく見かけるので、考え方だけ置いておきます。

並列（2 本を並べて、同じだけ伸ばす）　伸びがどちらも $x$ で共通。全体の力は 2 本の弾性力の和なので、 $F = k_{1} x + k_{2} x = (k_{1} + k_{2}) x$ 。全体はかたくなる。
直列（2 本を縦につなぐ）　弾性力がどちらも $F$ で共通。全体の伸びは 2 本の伸びの和なので、 $x = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}}$ 。全体はやわらかくなる。

同じばね（ばね定数 $k_{1}$ ）を 2 本つなぐと、並列では $2 k_{1}$ 、直列では $\frac{k _{1}}{2}$ になります。「並列は伸びが共通、直列は力が共通」が分かれ目です。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

問 1　ばね定数 $50 N/m$ のばねを、自然の長さから $0.10 m$ 伸ばした。このときの弾性力の大きさを求めよ。

$5.0 N$

方針　ばね定数と伸びが分かっているので、フックの法則 $F = k x$ にそのまま入れる。

$k = 50 N/m$ 、 $x = 0.10 m$ を $F = k x$ に入れる。
$50 \times 0.10 = 5.0 N$

問 2　あるばねを $2.0 N$ の力で引いたところ、自然の長さから $4.0 cm$ 伸びた。このばねのばね定数を求めよ。また、このばねを $3.0 N$ の力で引いたときの伸びは何 $cm$ か。

ばね定数 $50 N/m$ 、伸び $6.0 cm$

方針　力と伸びの組が 1 つ分かれば、 $F = k x$ からばね定数が決まる。ばね定数はそのばねに固有の値なので、決まれば別の力での伸びも求められる。伸びは先に $m$ に直す。

伸びを $m$ に直す。 $4.0 cm$ は $0.040 m$
$F = k x$ から $k = \frac{F}{x}$ 。数値を入れると $\frac{2.0}{0.040} = 50 N/m$
$3.0 N$ で引いたときの伸びは $x = \frac{F}{k}$ から $\frac{3.0}{50} = 0.060 m$
$cm$ に直すと $6.0 cm$

ここで間違えやすい　 $cm$ のまま割って $\frac{2.0}{4.0} = 0.50$ としてしまうこと。それは $N/cm$ の値で、 $N/m$ ではない。

問 3　自然の長さ $0.20 m$ 、ばね定数 $49 N/m$ の軽いばねを天井からつるし、下端に質量 $0.50 kg$ のおもりをつけて静止させた。このときのばねの全長を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

$0.30 m$

方針　おもりは静止しているので、ばねの弾性力と重力がつり合う。つり合いの式から伸びを出し、自然の長さに足して全長にする。

おもりが受ける力は、下向きの重力と上向きの弾性力の 2 つ。
重力の大きさは $0.50 \times 9.8 = 4.9 N$
伸びを $x$ とすると、つり合いの式は $k x = m g$ 。 $x = \frac{m g}{k}$ に数値を入れて $\frac{4.9}{49} = 0.10 m$
全長は、自然の長さに伸びを足して $0.20 + 0.10 = 0.30 m$

ここで間違えやすい　伸び $0.10 m$ をそのまま答えにしてしまうこと。問われているのは全長である。

問 4　ばね定数 $60 N/m$ の軽いばねの両端を、左右にそれぞれ $3.0 N$ の力で引いて静止させた。ばねの伸びを求めよ。

$0.050 m$

方針　ばねの両端を $F$ ずつで引くのは、一端を壁に固定して他端を $F$ で引くのと同じ状態である。弾性力の大きさは $3.0 N$ で、これを $F = k x$ に入れる。

一端を壁に固定して $3.0 N$ で引くとき、壁もばねを $3.0 N$ で引き返している。これは、両端を $3.0 N$ ずつで引くのと同じ。
よって、ばねの弾性力の大きさは $3.0 N$
$x = \frac{F}{k}$ に数値を入れて $\frac{3.0}{60} = 0.050 m$

ここで間違えやすい　両側の力を足して $6.0 N$ とし、伸びを $0.10 m$ としてしまうこと。

問 5　あるばねについて、伸びと弾性力の大きさの関係を調べたところ、伸びが $0.020 m$ のとき $1.2 N$ 、伸びが $0.050 m$ のとき $3.0 N$ で、グラフは原点を通る直線になった。このばねのばね定数を求めよ。また、伸びが $0.080 m$ のときの弾性力の大きさを求めよ。

ばね定数 $60 N/m$ 、弾性力 $4.8 N$

方針　伸びと弾性力のグラフは原点を通る直線で、その傾きがばね定数である。傾きを求めてから、 $F = k x$ で別の伸びのときの力を出す。

傾きは、直線上の 1 点の力を伸びで割れば求められる。1 つ目の点から $\frac{1.2}{0.020} = 60 N/m$
確かめに 2 つ目の点でも計算すると $\frac{3.0}{0.050} = 60 N/m$ で、同じ値になる。
伸びが $0.080 m$ のときの弾性力は $60 \times 0.080 = 4.8 N$