圧力と浮力｜高校物理基礎 — みならいノート

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋐「物体に様々な力が働くことを理解すること。」。内容の取扱いは、ここで圧力と浮力を扱うこととしています。

0. どういうまとまりか

同じ力でも、狭い面で受けるか広い面で受けるかで、面への効き方が変わります。面を垂直に押す力を、面積 $1 m^{2}$ あたりに直したものが圧力です。
水の中では、上にのっている水の重さのぶんだけ圧力が生じます（水圧）。水圧は深いほど大きいので、水中の物体は下の面を押し上げられる力のほうが、上の面を押し下げられる力より大きくなります。
この差が浮力です。浮力は「水圧の差」を 1 つの力にまとめたものです。

量	式	単位・値
圧力	$p = \frac{F}{S}$	$Pa$ （パスカル）。 $1 Pa = 1 N/ m^{2}$
大気圧		約 $1.013 \times 1 0^{5} Pa$ （1 気圧）
水による圧力（深さ $h$ ）	$ρ h g$	$ρ$ は水の密度 $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$
水中の圧力（大気圧を含める）	$p = p_{0} + ρ h g$	$p_{0}$ は大気圧
浮力	$F = ρ V g$	$ρ$ は流体の密度、 $V$ は流体中にある部分の体積

分かれ目は次の 3 つ。

浮力の式の $ρ$ は物体の密度ではない。物体のまわりの流体（水など）の密度を入れる
浮力の式の $V$ は、流体の中にある部分の体積。浮いている物体では、水面より下の部分だけ
水圧は深さだけで決まる。容器の形や、面がどちらを向いているかにはよらない

1. 圧力

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

圧力は力そのものではなく、面積 $1 m^{2}$ あたりの力です。力と面積の両方が分かってはじめて決まります。

圧力とは？式は？

面を垂直に押す力の、単位面積（ $1 m^{2}$ ）あたりの大きさ。 $p = \frac{F}{S}$

$F [N]$ は面を垂直に押す力の大きさ、 $S [m^{2}]$ は力を受ける面積。同じ力でも、面積が小さいほど圧力は大きい。

圧力の単位は？ほかの単位で表すと？

パスカル（記号 $Pa$ ）。 $1 Pa = 1 N/ m^{2}$

$20 N$ の力で $0.010 m^{2}$ の面を垂直に押すと、圧力は $\frac{20}{0.010} = 2.0 \times 1 0^{3} Pa$ 。天気予報で使うヘクトパスカルは $1 hPa = 100 Pa$ 。

面積が $c m^{2}$ で与えられた圧力の問題で、最初にすることは？

面積を $m^{2}$ に直す（ $1 c m^{2} = 1 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ ）

$1 cm$ は $1 0^{- 2} m$ で、面積はその 2 乗になる。 $1 0^{- 2}$ 倍としない。

大気圧とは？大きさはどのくらいか？

大気（空気）の重さによって生じる圧力。地表付近で約 $1.013 \times 1 0^{5} Pa$ （これを 1 気圧という）

$1013 hPa$ と同じ。計算では $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ として与えられることが多い。

2. 水圧

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

水中のある深さの面は、その上にある水と大気の重さを支えています。だから、深いほど圧力は大きくなります。

密度とは？式と単位は？水の密度の値は？

単位体積（ $1 m^{3}$ ）あたりの質量。 $ρ = \frac{m}{V}$ 、単位は $kg/ m^{3}$ 。水は $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$

水 $1 m^{3}$ の質量が $1000 kg$ ということ。 $1.0 g/c m^{3}$ と同じ。体積 $V$ の物体の質量は $ρ V$ で求められる。

密度 $ρ$ の水の、深さ $h$ の点での水による圧力は？大気圧 $p_{0}$ を含めた圧力は？

水による圧力は $ρ h g$ 。大気圧を含めると $p = p_{0} + ρ h g$

水面は大気に押されているので、水中の圧力には大気圧が上乗せされる。どちらを答えるかは、問題文が「水圧」か「圧力」かで読み分ける。

水による圧力が $ρ h g$ になることは、どう導くか？

底面積 $S$ 、高さ $h$ の水の柱を考える。柱の重さ $ρS h g$ が底面を押すので、面積 $S$ で割って $ρ h g$

柱の体積は $S h$ 、質量は $ρS h$ 、重さは $ρS h g$ 。 $S$ が消えるので、水圧は深さだけで決まる。

水圧は、面にどの向きから働くか？同じ深さで、面の向きによって大きさは変わるか？

あらゆる向きから、面に垂直に働く。同じ深さなら、面がどちらを向いていても大きさは同じ

水中の物体は、上の面は下向きに、下の面は上向きに、側面は横向きに押される。容器の形にもよらない。

3. 浮力

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

水中の物体は、水から上向きの力を受けます。その大きさは、物体が押しのけた水の重さに等しくなります。

浮力とは？向きは？

液体や気体（流体）の中にある物体が、流体から受ける上向きの力。向きは鉛直上向き

物体が沈んでいても浮いていても、流体の中に部分があるかぎり受ける。空気中の物体も、空気から浮力を受けている。

浮力が生じる原因は？

水圧が深いほど大きいので、物体の下の面を押し上げる力が、上の面を押し下げる力より大きくなる。その差が浮力

側面を押す力は、左右で打ち消し合う。底面積 $S$ 、高さ $l$ の直方体なら、上下の面の水圧の差は $ρl g$ で、力の差は $ρl g \times S = ρ V g$ 。

アルキメデスの原理とは？浮力の大きさの式は？

流体中の物体は、それが押しのけた流体の重さに等しい大きさの浮力を受ける。 $F = ρ V g$

$ρ V$ が押しのけた流体の質量で、それに $g$ を掛けたものが重さ。物体の質量や材質は式に入らない。

浮力の式 $F = ρ V g$ の $ρ$ と $V$ には、それぞれ何を入れるか？

$ρ$ は流体（水など）の密度。 $V$ は物体のうち流体の中にある部分の体積

物体の密度を入れない。全体が沈んでいれば $V$ は物体の体積、浮いていれば水面より下の部分の体積だけ。

水中に全体を沈めた物体を静かに放す。浮き上がるか沈むかは、何で決まるか？

物体の密度と水の密度の大小。物体の密度が水より小さければ浮き上がり、大きければ沈む

全体が水中にあるとき、水の密度を $ρ_{0}$ 、物体の密度を $ρ$ とすると、浮力は $ρ_{0} V g$ 、重力は $ρ V g$ 。体積 $V$ が共通なので、密度の比べ合いになる。

物体が水面に浮かんで静止している。このとき浮力と重力の関係は？

浮力と重力がつり合っている（浮力の大きさ = 重力の大きさ）

水の密度を $ρ$ 、水面より下の部分の体積を $V$ とすると $ρ V g = m g$ 。浮いている物体の浮力は、物体全体の体積ではなく、物体の重さで決まる。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋐

重力加速度の大きさは $9.8 m/ s^{2}$ 、水の密度は $1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ とします。

問 1　質量 $6.0 kg$ で、3 辺の長さが $0.10 m$ 、 $0.20 m$ 、 $0.30 m$ の直方体がある。(1) $0.20 m \times 0.30 m$ の面を下にして水平な床に置いたとき、床が受ける圧力を求めよ。(2) $0.10 m \times 0.20 m$ の面を下にしたときはどうか。

(1) $9.8 \times 1 0^{2} Pa$ 　(2) $2.9 \times 1 0^{3} Pa$

方針　圧力は $p = \frac{F}{S}$ 。床を押す力はどちらの置き方でも直方体の重さで同じ。変わるのは床に接する面積だけなので、面積を置き方ごとに出して割る。

床を押す力の大きさは、直方体の重さに等しい。 $6.0 \times 9.8 = 58.8 N$
(1) 床に接する面積は $0.20 \times 0.30 = 0.060 m^{2}$
圧力は $\frac{58.8}{0.060} = 980 Pa$ 。有効数字 2 桁で $9.8 \times 1 0^{2} Pa$
(2) 床に接する面積は $0.10 \times 0.20 = 0.020 m^{2}$
圧力は $\frac{58.8}{0.020} = 2940 Pa$ 。有効数字 2 桁で $2940 ≒ 2.9 \times 1 0^{3} Pa$

ここで間違えやすい　面積が小さいほうが圧力が小さい、と逆にしてしまうこと。面積が $\frac{1}{3}$ になれば、圧力は 3 倍になる。

問 2　湖の水面から深さ $20 m$ の点での、水による圧力と、大気圧を含めた圧力を求めよ。大気圧を $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ とする。

水による圧力 $2.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、大気圧を含めた圧力 $3.0 \times 1 0^{5} Pa$

方針　水による圧力は $ρ h g$ で、深さだけで決まる。水面は大気に押されているので、大気圧を含めた圧力はこれに $p_{0}$ を足した $p_{0} + ρ h g$ になる。

水による圧力は $1.0 \times 1 0^{3} \times 20 \times 9.8 = 1.96 \times 1 0^{5} Pa$ 。有効数字 2 桁で $1.96 \times 1 0^{5} ≒ 2.0 \times 1 0^{5} Pa$
大気圧を含めた圧力は、丸める前の値に大気圧を足す。 $1.0 \times 1 0^{5} + 1.96 \times 1 0^{5} = 2.96 \times 1 0^{5} Pa$
有効数字 2 桁で $2.96 \times 1 0^{5} ≒ 3.0 \times 1 0^{5} Pa$

ここで間違えやすい　大気圧を足し忘れること。「水圧」を問われたら $ρ h g$ だけ、「その点での圧力」を問われたら大気圧も含める。なお、水深が約 $10 m$ 増えるごとに、圧力はおよそ 1 気圧ぶん増える。

問 3　体積 $2.0 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ の金属球を、全体が水中に入るように沈めた。金属球が受ける浮力の大きさを求めよ。

$2.0 N$

方針　浮力は $F = ρ V g$ 。 $ρ$ には水の密度を、 $V$ には水中にある部分の体積を入れる。全体が沈んでいるので、 $V$ は金属球の体積そのもの。

$ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、 $V = 2.0 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ を $F = ρ V g$ に入れる。
$1.0 \times 1 0^{3} \times 2.0 \times 1 0^{- 4} \times 9.8 = 1.96 N$
有効数字 2 桁で $1.96 ≒ 2.0 N$

ここで間違えやすい　金属の密度を使おうとすること。浮力は押しのけた水の重さなので、金属の密度も質量も要らない。

問 4　質量 $0.30 kg$ の木片が、水面に浮かんで静止している。木片が受ける浮力の大きさと、木片のうち水面より下にある部分の体積を求めよ。

浮力 $2.9 N$ 、水面より下の体積 $3.0 \times 1 0^{- 4} m^{3}$

方針　浮かんで静止しているので、浮力と重力がつり合う。浮力の大きさは重力から決まり、そこから $F = ρ V g$ を逆に使って、水面より下の体積を出す。

木片が受ける力は、下向きの重力と上向きの浮力の 2 つ。
重力の大きさは $0.30 \times 9.8 = 2.94 N$ 。つり合っているので、浮力も $2.94 N$ 。有効数字 2 桁で $2.94 ≒ 2.9 N$
水面より下の体積を $V$ とすると、つり合いの式は $ρ V g = m g$ 。両辺を $g$ で割ると $ρ V = m$
$V = \frac{m}{ρ}$ に数値を入れて $\frac{0.30}{1.0 \times 1 0 ^{3}} = 3.0 \times 1 0^{- 4} m^{3}$

ここで間違えやすい　木片全体の体積が分からないので解けない、と考えてしまうこと。浮いている物体の浮力は、つり合いから重さで決まる。

問 5　底面積 $0.010 m^{2}$ 、高さ $0.20 m$ の直方体を、上の面が水面から深さ $0.30 m$ になるように、底面を水平にして水中に沈めた。上の面と下の面が受ける水による圧力から、直方体が受ける浮力の大きさを求めよ。また、 $F = ρ V g$ で求めた値と一致することを確かめよ。

$20 N$ （どちらの方法でも $19.6 N$ で一致する）

方針　浮力の正体は、下の面を押し上げる力と上の面を押し下げる力の差。上下の面の深さから水圧を出し、面積を掛けて力に直し、差をとる。大気圧は上下の面に同じだけ加わって打ち消すので、水による圧力だけで考えてよい。

上の面の深さは $0.30 m$ 。水による圧力は $1.0 \times 1 0^{3} \times 0.30 \times 9.8 = 2940 Pa$
下の面の深さは $0.30 + 0.20 = 0.50 m$ 。水による圧力は $1.0 \times 1 0^{3} \times 0.50 \times 9.8 = 4900 Pa$
上の面を押し下げる力は $2940 \times 0.010 = 29.4 N$
下の面を押し上げる力は $4900 \times 0.010 = 49 N$
浮力はその差で $49 - 29.4 = 19.6 N$ 。有効数字 2 桁で $19.6 ≒ 20 N$
確かめ: 直方体の体積は $0.010 \times 0.20 = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ 。 $F = ρ V g$ に入れると $1.0 \times 1 0^{3} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} \times 9.8 = 19.6 N$ で、同じ値になる。

ここで間違えやすい　下の面の深さを $0.30 m$ のままにしてしまうこと。下の面は、直方体の高さのぶんだけ深いところにある。