力の合成と分解｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋑「物体に働く力のつり合いを理解すること。」。内容の取扱いは、平面内で働く力のつり合いを中心に扱うこととしています。

0. どういうまとまりか

1 つの物体がいくつもの力を受けているとき、それらと同じ働きをする 1 つの力にまとめることを力の合成、まとめた力を合力といいます。
逆に、1 つの力を、同じ働きをする 2 つの力に分けることを力の分解、分けた力を分力といいます。
力は向きをもつ量（ベクトル）なので、大きさをそのまま足したり引いたりはできません。
そこで、直角に交わる 2 つの方向（ $x$ 軸と $y$ 軸）に分解して、方向ごとに足し算をします。これが、平面内のつり合いを式にするための道具です。

すること	やり方
合成（向きの違う 2 力）	2 力を 2 辺とする平行四辺形の対角線が合力（平行四辺形の法則）
分解	分ける 2 方向を先に決め、もとの力が対角線になる平行四辺形（直角なら長方形）をかく
成分	$x$ 軸の正の向きから角 $θ$ の向きの力 $F$ は、 $F_{x} = F cos θ$ 、 $F_{y} = F sin θ$
成分から合力	成分ごとに足す。大きさは $F_{x}^{2} + F_{y}^{2}$
斜面上の重力（傾き $θ$ ）	斜面に平行な成分 $m g sin θ$ 、斜面に垂直な成分 $m g cos θ$

使う三角比は次の 3 つの角だけです。

$θ$	$sin θ$	$cos θ$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$

数値にするときは $2 ≒ 1.41$ 、 $3 ≒ 1.73$ を使います。

分かれ目は次の 3 つ。

力の大きさは、そのままでは足せない。足してよいのは、同じ向き（一直線上）の力か、同じ軸の成分どうしだけ
$cos$ と $sin$ のどちらを掛けるかは、角をどこから測ったかで決まる。角をはさむ側の軸の成分が $cos$
斜面上の重力は、斜面に平行な成分が $sin$ 。水平面のときと $sin$ ・ $cos$ が入れ替わって見える

1. 力の合成

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

2 つの力を 1 つにまとめるとき、向きが同じか違うかで足し方が変わります。

力の合成とは？合力とは？

1 つの物体が受ける複数の力を、それらと同じ働きをする 1 つの力にまとめること。まとめた力が合力

合成できるのは、同じ 1 つの物体が受けている力どうしだけ。別々の物体が受ける力は合成しない。

一直線上にある 2 力の合力は、どう求めるか？同じ向きのときと逆向きのときで答えよ。

同じ向きなら、大きさは 2 力の和で、向きは 2 力と同じ。逆向きなら、大きさは 2 力の差で、向きは大きいほうの力と同じ

一方の向きを正と決めて、逆向きの力に負の符号を付けて足す、と考えれば 1 つの計算になる。

平行四辺形の法則とは？

向きの違う 2 力の合力は、2 力の矢印を隣り合う 2 辺とする平行四辺形の対角線で表される

2 力の作用点をそろえてかき、その作用点から出る対角線が合力。対角線の長さが大きさ、向きが合力の向き。

互いに垂直な 2 力 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ の合力の大きさは？

$F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$

平行四辺形が長方形になるので、対角線の長さは三平方の定理で求められる。 $F_{1} + F_{2}$ ではない。

大きさ $F_{1}$ 、 $F_{2}$ の 2 力（ $F_{1} ≧ F_{2}$ ）の合力の大きさは、2 力のなす角によって、どの範囲の値をとるか？

$F_{1} - F_{2}$ 以上、 $F_{1} + F_{2}$ 以下

同じ向きのとき最大で和、逆向きのとき最小で差。例えば $8 N$ と $5 N$ の合力は、 $3 N$ から $13 N$ の間になる。

2. 力の分解と成分

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

分解は合成の逆です。直角に交わる 2 方向に分けておくと、力を数（成分）として足し引きできるようになります。

力の分解とは？分力とは？

1 つの力を、それと同じ働きをする 2 つの力に分けること。分けた力が分力

分ける 2 つの方向を先に決めれば、分け方は 1 通りに決まる。ふつうは互いに垂直な 2 方向に分ける。

$x$ 軸の正の向きから角 $θ$ だけ $y$ 軸の正の側へ傾いた向きの力（大きさ $F$ ）の、 $x$ 成分と $y$ 成分は？

$F_{x} = F cos θ$ 、 $F_{y} = F sin θ$

力の矢印を斜辺とする直角三角形を考える。角 $θ$ をはさむ辺（ $x$ 軸に沿う辺）が $cos$ 、向かい合う辺が $sin$ 。

角が $y$ 軸から測って与えられたとき、成分の $cos$ と $sin$ はどうなるか？

入れ替わる。 $y$ 軸から角 $ϕ$ の向きの力は、 $F_{y} = F cos ϕ$ 、 $F_{x} = F sin ϕ$

「 $x$ 成分は $cos$ 」と丸暗記しない。角をはさむ側の軸の成分が $cos$ 、と覚える。

力の成分は、いつ負の値になるか？

分力の向きが、軸の負の向きを向いているとき

成分は、分力の大きさに向きを表す符号を付けたもの。例えば左向きを向く分力は、右向きを正とした $x$ 成分では負になる。

$sin 3 0^{\circ}$ 、 $cos 3 0^{\circ}$ の値は？ $6 0^{\circ}$ ではどうなるか？

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 、 $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。 $6 0^{\circ}$ では入れ替わって $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 、 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

3 辺の比が $1 : 2 : 3$ の直角三角形から出る。 $3 ≒ 1.73$ なので、 $\frac{3}{2}$ は約 $0.87$ 。

$sin 4 5^{\circ}$ 、 $cos 4 5^{\circ}$ の値は？

どちらも $\frac{1}{2}$ （ $= \frac{2}{2}$ ）

3 辺の比が $1 : 1 : 2$ の直角二等辺三角形から出る。 $2 ≒ 1.41$ なので、約 $0.71$ 。

いくつかの力の合力を、成分を使って求める手順は？

① 各力を $x$ 成分と $y$ 成分に分ける　② $x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしを足す　③ 合力の大きさは $F_{x}^{2} + F_{y}^{2}$

力が 3 つ以上あっても同じ手順で求められる。平行四辺形を何度もかくより確実。

3. 斜面上の重力の分解

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

斜面の上の物体を考えるときは、水平と鉛直ではなく、斜面に平行な方向と垂直な方向に軸をとります。重力だけが軸から傾くので、重力を分解します。

水平から角 $θ$ 傾いた斜面の上に、質量 $m$ の物体がある。重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解すると、それぞれの大きさは？

斜面に平行な成分は $m g sin θ$ （斜面に沿って下向き）。斜面に垂直な成分は $m g cos θ$ （斜面を押す向き）

重力の向き（鉛直）と斜面に垂直な方向とのなす角が、斜面の傾きの角 $θ$ と等しくなる。そのため、垂直な成分が $cos$ になる。

斜面上の重力の分解で、 $sin$ と $cos$ のどちらが斜面に平行な成分か迷ったときの確かめ方は？

$θ = 0^{\circ}$ （水平な面）にしてみる。滑らせる成分は 0 になるはずなので、 $θ = 0^{\circ}$ で 0 になる $sin θ$ のほうが斜面に平行な成分

$θ = 0^{\circ}$ のとき、斜面に垂直な成分は $m g cos 0^{\circ} = m g$ で、重力がそのまま面を押す。つじつまが合う。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

数値にするときは $2 ≒ 1.41$ 、 $3 ≒ 1.73$ を使い、重力加速度の大きさは $9.8 m/ s^{2}$ とします。

問 1　1 つの物体が、東向きに $3.0 N$ 、北向きに $4.0 N$ の 2 つの力を受けている。合力の大きさを求めよ。

$5.0 N$

方針　東向きと北向きは互いに垂直なので、平行四辺形は長方形になる。合力はその対角線で、大きさは三平方の定理で求められる。

2 力は垂直なので、合力の大きさは $F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$
数値を入れると $3. 0^{2} + 4. 0^{2} = 25 = 5.0 N$
向きは、東から北のほうへ傾いた向き（長方形の対角線の向き）になる。

ここで間違えやすい　大きさをそのまま足して $7.0 N$ としてしまうこと。足してよいのは同じ向きの力だけである。

問 2　大きさ $20 N$ の力が、 $x$ 軸の正の向きから $3 0^{\circ}$ だけ $y$ 軸の正の側へ傾いた向きに働いている。この力の $x$ 成分と $y$ 成分を求めよ。

$x$ 成分 $17 N$ 、 $y$ 成分 $10 N$

方針　角が $x$ 軸から測られているので、 $x$ 成分が $cos$ 、 $y$ 成分が $sin$ になる。 $F_{x} = F cos θ$ 、 $F_{y} = F sin θ$ に $θ = 3 0^{\circ}$ を入れる。

$x$ 成分は $F cos 3 0^{\circ}$ 。 $cos 3 0^{\circ}$ は $\frac{3}{2}$ なので、 $20 \times \frac{3}{2} = 103$
$3 ≒ 1.73$ を使うと $10 \times 1.73 = 17.3 N$ 。有効数字 2 桁で $17.3 ≒ 17 N$
$y$ 成分は $F sin 3 0^{\circ}$ 。 $sin 3 0^{\circ}$ は $\frac{1}{2}$ なので、 $20 \times \frac{1}{2} = 10 N$

ここで間違えやすい　 $3 0^{\circ}$ の $sin$ と $cos$ を逆にすること。 $3 0^{\circ}$ は $x$ 軸に近い向きなので、 $x$ 成分のほうが大きくなるはず、と確かめる。

問 3　水平から $3 0^{\circ}$ 傾いた斜面の上に、質量 $2.0 kg$ の物体がある。物体が受ける重力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解し、それぞれの成分の大きさを求めよ。

斜面に平行な成分 $9.8 N$ 、斜面に垂直な成分 $17 N$

方針　まず重力の大きさ $m g$ を出す。斜面の傾きが $θ$ のとき、斜面に平行な成分は $m g sin θ$ 、垂直な成分は $m g cos θ$ 。

重力の大きさは $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
斜面に平行な成分は $m g sin 3 0^{\circ}$ 。 $sin 3 0^{\circ}$ は $\frac{1}{2}$ なので、 $19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8 N$
斜面に垂直な成分は $m g cos 3 0^{\circ}$ 。 $cos 3 0^{\circ}$ は $\frac{3}{2}$ なので、 $19.6 \times \frac{3}{2} = 9.8 3$
$3 ≒ 1.73$ を使うと $9.8 \times 1.73 = 16.954 N$ 。有効数字 2 桁で $16.954 ≒ 17 N$

ここで間違えやすい　斜面に平行な成分を $cos$ にしてしまうこと。傾きを $0^{\circ}$ にすると滑らせる成分は 0 になるので、平行な成分は $sin$ である。

問 4　1 つの物体が 2 つの力を受けている。力 A は大きさ $10 N$ で $x$ 軸の正の向き、力 B は大きさ $10 N$ で $x$ 軸の正の向きから $6 0^{\circ}$ だけ $y$ 軸の正の側へ傾いた向きである。合力の $x$ 成分、 $y$ 成分、大きさを求めよ。

$x$ 成分 $15 N$ 、 $y$ 成分 $8.7 N$ 、大きさ $17 N$

方針　向きの違う力は大きさを足せないので、成分に分けてから成分ごとに足す。合力の大きさは、成分から三平方の定理で出す。

力 A は $x$ 軸の向きなので、 $x$ 成分は $10 N$ 、 $y$ 成分は $0 N$
力 B の $x$ 成分は $10 cos 6 0^{\circ}$ で、 $10 \times \frac{1}{2} = 5.0 N$
力 B の $y$ 成分は $10 sin 6 0^{\circ}$ で、 $10 \times \frac{3}{2} = 53 N$ 。 $3 ≒ 1.73$ を使うと $5 \times 1.73 = 8.65 N$
合力の $x$ 成分は $10 + 5.0 = 15 N$
合力の $y$ 成分は $0 + 8.65 = 8.65 N$ 。有効数字 2 桁で $8.65 ≒ 8.7 N$
合力の大きさは $1 5^{2} + (53)^{2} = 225 + 75 = 300 = 103$
$3 ≒ 1.73$ を使うと $10 \times 1.73 = 17.3 N$ 。有効数字 2 桁で $17.3 ≒ 17 N$

ここで間違えやすい　同じ大きさの 2 力だからと、合力を $20 N$ としてしまうこと。 $20 N$ になるのは 2 力が同じ向きのときだけである。

問 5　ある力が、 $x$ 軸の正の向きから $4 5^{\circ}$ だけ $y$ 軸の正の側へ傾いた向きに働いていて、その $x$ 成分は $7.0 N$ である。この力の大きさと $y$ 成分を求めよ。

大きさ $9.9 N$ 、 $y$ 成分 $7.0 N$

方針　 $F_{x} = F cos θ$ を逆に使い、成分から力の大きさを求める。 $4 5^{\circ}$ では $sin$ と $cos$ が等しいので、 $x$ 成分と $y$ 成分は同じ大きさになる。

$F_{x} = F cos 4 5^{\circ}$ で、 $cos 4 5^{\circ}$ は $\frac{1}{2}$ なので、 $\frac{F}{2} = 7.0$
両辺に $2$ を掛けると $F = 7.0 2$
$2 ≒ 1.41$ を使うと $7.0 \times 1.41 = 9.87 N$ 。有効数字 2 桁で $9.87 ≒ 9.9 N$
$y$ 成分は $F sin 4 5^{\circ}$ 。 $sin 4 5^{\circ}$ も $\frac{1}{2}$ なので、 $x$ 成分と同じ $7.0 N$

ここで間違えやすい　力の大きさを、成分より小さい値にしてしまうこと（ $7.0$ を $2$ で割る）。もとの力は直角三角形の斜辺なので、必ず成分より大きい。