力のつり合い｜高校物理基礎

学習指導要領物理基礎 (1) ア (ｲ) ㋑「物体に働く力のつり合いを理解すること。」。内容の取扱いは、平面内で働く力のつり合いを中心に扱うこととしています。

0. どういうまとまりか

1 つの物体がいくつかの力を受けていて、それらの合力が 0 のとき、力はつり合っているといいます。静止している物体が受ける力は、必ずつり合っています。
これを式にすると、まだ分かっていない力（垂直抗力・張力・静止摩擦力）の大きさが求められます。
やることはいつも同じです。物体を 1 つ決め、受ける力を全部挙げ、軸を 2 本とって分解し、軸ごとに「正の向きの力の和 = 負の向きの力の和」と書きます。

力の数	つり合いの条件
2 力	同じ作用線上にあり、向きが逆で、大きさが等しい
3 力	どの 2 力の合力も、残りの 1 力と向きが逆で大きさが等しい
いくつでも	$x$ 成分の和が 0、かつ $y$ 成分の和が 0

分かれ目は次の 3 つ。

つり合いは「1 つの物体が受ける力」どうしの関係。別の物体が受ける力を式に混ぜない
つり合いの 2 力と、作用・反作用の 2 力は別のもの。同じ物体が受けるか、別々の物体が受けるかで見分ける
軸は自由に選んでよい。斜面では、斜面に平行な方向と垂直な方向にとると、分解する力が重力だけで済む

1. つり合いの条件

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

つり合いの条件は「合力が 0」の 1 つだけです。力の数や向きによって、その言い表し方が変わります。

力がつり合っているとは、どういうことか？

1 つの物体が受けている力の合力が 0 であること

このとき、静止している物体は静止したままでいる。力を受けていないのではなく、受けている力が打ち消し合っている。

2 力がつり合う条件を 3 つ挙げると？

① 同じ作用線上にある　② 向きが逆　③ 大きさが等しい

大きさが等しく逆向きでも、作用線がずれていると物体は回り出す。

3 力がつり合う条件は？

3 力のうちどの 2 力の合力も、残りの 1 力と同じ作用線上にあり、向きが逆で、大きさが等しい

2 力を合成して 1 つにまとめれば、2 力のつり合いに帰着する。

平面内でいくつかの力がつり合う条件を、成分で書くと？

$x$ 成分の和が 0、かつ $y$ 成分の和が 0

式は 2 本できる。実際には、軸ごとに「正の向きの力の大きさの和 = 負の向きの力の大きさの和」と書くと符号で間違えにくい。

3 つの力がつり合っているとき、3 つの力の矢印を、向きを保ったまま順につなぐとどうなるか？

出発点に戻る（閉じた三角形になる）

矢印をつないで出発点に戻ることが、合力が 0 であることを表している。三角形の辺の比から、力の大きさの比が分かる。

2. つり合いの式の立て方

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

式を立てる前の準備で、ほとんどが決まります。力を数え落とさないことと、軸をうまく選ぶことです。

つり合いの式を立てる手順は？

① 注目する物体を 1 つ決める　② その物体が受ける力を全部挙げる　③ 垂直な 2 本の軸を決める　④ 軸から傾いた力を分解する　⑤ 軸ごとにつり合いの式を書く

分からない力の大きさは、 $N$ や $T$ などの文字でおいて式に入れる。式は軸ごとに 1 本ずつ、合わせて 2 本できる。

つり合いの式を立てるとき、軸はどう選ぶとよいか？

なるべく多くの力が軸の方向を向くように選ぶ。水平面なら水平と鉛直、斜面なら斜面に平行な方向と垂直な方向

軸の方向を向いた力は分解しなくて済む。斜面で水平・鉛直に軸をとると、垂直抗力や摩擦力まで分解することになる。

向きを仮定して文字でおいた力が、つり合いの式を解いたら負の値になった。何を意味するか？

実際の向きが、仮定した向きと逆である

大きさはその値の絶対値。静止摩擦力のように、向きが見た目で決めにくい力で起こる。

3. よく出る場面

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

斜面の上の物体と、糸でつるした物体が、つり合いの式を立てる代表的な場面です。どちらも、受ける力は 3 つです。

水平から角 $θ$ 傾いたなめらかな斜面の上で、質量 $m$ の物体を、斜面に平行な糸で引いて静止させている。張力 $T$ と垂直抗力 $N$ は？

$T = m g sin θ$ 、 $N = m g cos θ$

受ける力は重力・垂直抗力・張力の 3 つ。重力を分解すると、斜面に平行な方向は張力と $m g sin θ$ が、垂直な方向は垂直抗力と $m g cos θ$ がつり合う。

水平から角 $θ$ 傾いた粗い斜面の上で、質量 $m$ の物体が静止している。静止摩擦力の大きさと向き、垂直抗力の大きさは？

静止摩擦力は $m g sin θ$ で、斜面に沿って上向き。垂直抗力は $m g cos θ$

静止摩擦力は、重力の斜面に平行な成分とつり合う。 $μ N$ ではない（ $μ N$ になるのは滑り出す直前だけ）。

質量 $m$ のおもりを、2 本の軽い糸で左右対称につるして静止させた。糸が鉛直となす角がどちらも $θ$ のとき、張力の大きさ $T$ を求める式は？

鉛直方向のつり合い $2 T cos θ = m g$ から、 $T = \frac{m g}{2 c o s θ}$

張力の水平成分は左右で打ち消し合う。糸が水平に近い（ $θ$ が大きい）ほど $cos θ$ が小さくなり、張力は大きくなる。

4. つり合いと作用・反作用の見分け方

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

「向きが逆で大きさが等しい 2 力」には、つり合いの 2 力のほかに、作用・反作用の 2 力があります。似ていますが別のものです。
作用・反作用の法則そのものは、次のフォルダ「03 運動の法則」で扱います。ここでは見分け方だけを押さえます。

つり合いの 2 力と、作用・反作用の 2 力は、どこで見分けるか？

力を受ける物体で見分ける。つり合いの 2 力は、同じ 1 つの物体が受ける。作用・反作用の 2 力は、別々の物体が 1 つずつ受ける

作用・反作用は「A が B から受ける力」と「B が A から受ける力」の組。受ける物体が違うので、合成することも、打ち消し合うこともない。

水平な机の上に本が静止している。「本が受ける重力」とつり合っている力は何か？「本が受ける垂直抗力」と作用・反作用の関係にある力は何か？

重力とつり合うのは、本が机から受ける垂直抗力。垂直抗力と作用・反作用の関係にあるのは、机が本から受ける（本が机を押す）力

重力と垂直抗力は、どちらも本が受ける力なので、つり合いの 2 力である。作用・反作用の 2 力ではない。

練習問題

根拠: 学習指導要領物基-(1)-ア-(イ)-㋑

重力加速度の大きさは $9.8 m/ s^{2}$ とし、数値にするときは $2 ≒ 1.41$ 、 $3 ≒ 1.73$ を使います。糸はすべて軽いものとします。

問 1　天井から糸でつるした質量 $1.0 kg$ のおもりを、水平な向きに力を加えて引いたところ、糸が鉛直から $4 5^{\circ}$ 傾いた状態で静止した。糸の張力の大きさと、水平に引く力の大きさを求めよ。

張力 $14 N$ 、水平に引く力 $9.8 N$

方針　おもりが受ける力は、重力・張力・水平に引く力の 3 つ。水平と鉛直に軸をとると、傾いているのは張力だけなので、張力を分解して軸ごとにつり合いの式を書く。

張力の大きさを $T$ 、水平に引く力の大きさを $F$ とする。重力の大きさは $1.0 \times 9.8 = 9.8 N$
張力は鉛直から $4 5^{\circ}$ 傾いているので、鉛直成分は $T cos 4 5^{\circ}$ 、水平成分は $T sin 4 5^{\circ}$ 。どちらも $\frac{T}{2}$
鉛直方向のつり合いは、上向きの張力の鉛直成分と下向きの重力で、 $\frac{T}{2} = 9.8$
両辺に $2$ を掛けると $T = 9.8 2$ 。 $2 ≒ 1.41$ を使うと $9.8 \times 1.41 = 13.818 N$ 。有効数字 2 桁で $13.818 ≒ 14 N$
水平方向のつり合いは、引く力と張力の水平成分で、 $F = \frac{T}{2}$
手順 3 から $\frac{T}{2}$ は $9.8$ なので、 $F$ は $9.8 N$

ここで間違えやすい　角が「鉛直から」測られていること。鉛直成分が $cos$ 、水平成分が $sin$ になる（ $4 5^{\circ}$ では値が同じなので、この問題では結果は変わらない）。

問 2　質量 $2.0 kg$ のおもりを、2 本の糸で天井から左右対称につるして静止させた。2 本の糸は、どちらも鉛直と $6 0^{\circ}$ の角をなしている。糸 1 本の張力の大きさを求めよ。

$20 N$

方針　おもりが受ける力は、重力と 2 本の糸の張力の 3 つ。左右対称なので 2 本の張力は同じ大きさで、水平成分は打ち消し合う。鉛直方向のつり合いだけで張力が決まる。

張力の大きさを $T$ とする。重力の大きさは $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
糸は鉛直と $6 0^{\circ}$ をなすので、張力 1 本の鉛直成分は $T cos 6 0^{\circ}$ 。 $cos 6 0^{\circ}$ は $\frac{1}{2}$ なので、 $\frac{T}{2}$
鉛直方向のつり合いは、上向きの鉛直成分 2 本ぶんと下向きの重力で、 $\frac{T}{2} + \frac{T}{2} = 19.6$
左辺をまとめると $T$ なので、張力は $19.6 N$ 。有効数字 2 桁で $19.6 ≒ 20 N$

ここで間違えやすい　2 本で支えているから 1 本あたりは重さの半分、としてしまうこと。半分になるのは糸が鉛直のときだけで、糸が傾くほど張力は大きくなる。この問題では、1 本の張力がおもりの重さと同じになる。

問 3　質量 $2.0 kg$ のおもりを、糸 A と糸 B の 2 本で天井からつるして静止させた。糸 A は鉛直と $3 0^{\circ}$ 、糸 B は反対側に鉛直と $6 0^{\circ}$ の角をなしている。糸 A、糸 B の張力の大きさをそれぞれ求めよ。

糸 A は $17 N$ 、糸 B は $9.8 N$

方針　おもりが受ける力は、重力と 2 本の張力の 3 つ。水平と鉛直に軸をとり、2 本の張力をそれぞれ分解する。水平方向と鉛直方向のつり合いの式が 1 本ずつでき、未知の張力 2 つが決まる。

糸 A、糸 B の張力の大きさを $T_{A}$ 、 $T_{B}$ とする。重力の大きさは $2.0 \times 9.8 = 19.6 N$
角は鉛直から測っているので、鉛直成分が $cos$ 、水平成分が $sin$ 。糸 A は鉛直成分 $\frac{3}{2} T_{A}$ 、水平成分 $\frac{1}{2} T_{A}$
同じように、糸 B は鉛直成分 $\frac{1}{2} T_{B}$ 、水平成分 $\frac{3}{2} T_{B}$
水平方向のつり合いは、2 本の水平成分が逆向きで等しいことから、 $\frac{1}{2} T_{A} = \frac{3}{2} T_{B}$ 。よって $T_{A} = 3 T_{B}$
鉛直方向のつり合いは、上向きの鉛直成分の和と下向きの重力で、 $\frac{3}{2} T_{A} + \frac{1}{2} T_{B} = 19.6$
手順 4 の $T_{A} = 3 T_{B}$ を代入する。 $\frac{3}{2} \times 3 T_{B}$ は $\frac{3}{2} T_{B}$ なので、 $\frac{3}{2} T_{B} + \frac{1}{2} T_{B} = 19.6$
左辺をまとめると $2 T_{B}$ なので、 $T_{B}$ は $\frac{19.6}{2} = 9.8 N$
$T_{A} = 3 T_{B}$ に入れる。 $3 ≒ 1.73$ を使うと $1.73 \times 9.8 = 16.954 N$ 。有効数字 2 桁で $16.954 ≒ 17 N$

ここで間違えやすい　傾きの大きい糸のほうが張力も大きい、と決めつけること。鉛直に近い糸 A のほうが、おもりの重さを多く支えている。

問 4　水平から $3 0^{\circ}$ 傾いたなめらかな斜面の上に質量 $4.0 kg$ の物体を置き、斜面に平行な糸で斜面の上のほうへ引いて静止させた。糸の張力の大きさと、垂直抗力の大きさを求めよ。

張力 $20 N$ 、垂直抗力 $34 N$

方針　物体が受ける力は、重力・垂直抗力・張力の 3 つ（なめらかな面なので摩擦力は無い）。斜面に平行な方向と垂直な方向に軸をとると、傾いているのは重力だけになるので、重力を分解する。

重力の大きさは $4.0 \times 9.8 = 39.2 N$
重力の斜面に平行な成分は $m g sin 3 0^{\circ}$ で、 $39.2 \times \frac{1}{2} = 19.6 N$ （斜面に沿って下向き）
重力の斜面に垂直な成分は $m g cos 3 0^{\circ}$ で、 $39.2 \times \frac{3}{2} = 19.6 3 N$ （斜面を押す向き）
斜面に平行な方向のつり合いから、張力は平行な成分と等しく $19.6 N$ 。有効数字 2 桁で $19.6 ≒ 20 N$
斜面に垂直な方向のつり合いから、垂直抗力は垂直な成分と等しい。 $3 ≒ 1.73$ を使うと $19.6 \times 1.73 = 33.908 N$ 。有効数字 2 桁で $33.908 ≒ 34 N$

ここで間違えやすい　垂直抗力を $m g$ の $39.2 N$ としてしまうこと。斜面の上では、垂直抗力は重力の一部（斜面に垂直な成分）としかつり合わない。

問 5　粗い水平面の上に置いた質量 $5.0 kg$ の物体に糸をつけ、水平から $3 0^{\circ}$ 上向きに $20 N$ の力で引いたが、物体は静止したままだった。垂直抗力の大きさと、静止摩擦力の大きさを求めよ。

垂直抗力 $39 N$ 、静止摩擦力 $17 N$

方針　物体が受ける力は、重力・垂直抗力・静止摩擦力・糸が引く力の 4 つ。水平と鉛直に軸をとり、傾いている「糸が引く力」を分解する。垂直抗力は鉛直方向の、静止摩擦力は水平方向のつり合いから決まる。

重力の大きさは $5.0 \times 9.8 = 49 N$
糸が引く力の鉛直成分は $20 sin 3 0^{\circ}$ で、 $20 \times \frac{1}{2} = 10 N$ （上向き）
糸が引く力の水平成分は $20 cos 3 0^{\circ}$ で、 $20 \times \frac{3}{2} = 103 N$
鉛直方向のつり合いは、上向きの垂直抗力と糸の力の鉛直成分、下向きの重力で、 $N + 10 = 49$ 。よって垂直抗力は $49 - 10 = 39 N$
水平方向のつり合いから、静止摩擦力は糸の力の水平成分と等しい。 $3 ≒ 1.73$ を使うと $10 \times 1.73 = 17.3 N$ 。有効数字 2 桁で $17.3 ≒ 17 N$

ここで間違えやすい　垂直抗力を $m g$ の $49 N$ としてしまうこと。斜め上に引くと、糸が物体を持ち上げるぶんだけ垂直抗力は小さくなる。静止摩擦力も $μ N$ ではなく、つり合いから決まる。