複素数平面

(1) $2+3i$　(2) $-2+3i$　(3) $\sqrt{13}$　(4) $\frac{2+3i}{13}$

方針　$z=2-3i$ は複素数平面の点 $(2,-3)$。共役複素数は実軸について対称な点、$-z$ は原点について対称な点、絶対値は原点からの距離、と図で考える。$\frac{1}{z}$ は、分母を実数にするために分母・分子に $\overline{z}$ を掛ける。

1. (1) 共役複素数は、虚部の符号だけを変える。$\overline{z}=2+3i$
2. (2) 原点について対称な点は、実部と虚部の両方の符号を変えた $-z$。$-z=-(2-3i)=-2+3i$
3. (3) 絶対値は原点と点 $(2,-3)$ の距離。$|z|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
4. (4) 分母・分子に $\overline{z}$ を掛ける。$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}$
5. 分母は $z\overline{z}=|z{|}^2$ なので、(3) から $13$。実際に $(2-3i)(2+3i)=4-9i^2=4+9$ で $13$ になる。
6. 分子は (1) の $\overline{z}=2+3i$ なので、$\frac{1}{z}=\frac{2+3i}{13}$

ここで間違えやすい　(1) と (2) を取りちがえない。共役複素数 $2+3i$ は実軸について対称な点で、原点について対称な点は $-2+3i$。絶対値は $2^2+(-3{)}^2$ で、$i$ は 2 乗に入れない（$(-3i{)}^2=-9$ としない）。

$x=-4$

方針　原点 O と A、B が一直線上にあるのは、点 $\beta$ が点 $\alpha$ を原点から実数倍に伸ばした（または逆向きにした）位置にあるとき。式では $\beta =k\alpha$ となる実数 $k$ があること。両辺の実部と虚部を比べれば、$k$ と $x$ が決まる。

1. $\beta =k\alpha$（$k$ は実数）とおく。$x-2i=k(2+i)$
2. 右辺のかっこを外すと、$x-2i=2k+ki$
3. $x$、$k$ は実数なので、両辺の実部どうし・虚部どうしが等しい。実部から $x=2k$、虚部から $-2=k$
4. 虚部の式から、$k=-2$
5. 実部の式に入れて、$x=2\times (-2)=-4$
6. 確かめ。$\beta =-4-2i$ は $-2(2+i)$ で、たしかに $\alpha$ の実数倍になっている。

ここで間違えやすい　実部と虚部を比べてよいのは、$x$ と $k$ が実数だから。$k$ が負なので、B は原点をはさんで A の反対側にある。

5

方針　2 点 A$(\alpha )$、B$(\beta )$ の間の距離は、差の絶対値 $|\beta -\alpha |$。差 $\beta -\alpha$ は「A を原点に重ねたときの B の位置」なので、その絶対値（原点からの距離）が AB の長さになる。

1. 差を計算する。かっこを外すと、$(3-i)-(-1+2i)=3-i+1-2i$
2. 実部は $3+1=4$、虚部は $-1-2=-3$ なので、差は $4-3i$
3. その絶対値を出す。$|4-3i|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

ここで間違えやすい　引くときに $-(-1+2i)$ のかっこを外すと $+1-2i$。符号が 2 つとも変わる。

$|z|=1$ から $\frac{1}{z}=\overline{z}$ となり、$z+\frac{1}{z}=z+\overline{z}$ は実数

方針　絶対値の条件 $|z|=1$ は、そのままでは式の変形に使えない。$|z{|}^2=z\overline{z}$ を使って、共役複素数の式 $z\overline{z}=1$ に直す。すると $\frac{1}{z}$ が $\overline{z}$ に置きかわり、$z+\overline{z}$ が実数であることを言えばよくなる。

1. $|z|=1$ の両辺を 2 乗して、$|z{|}^2=1$
2. $|z{|}^2=z\overline{z}$ なので、$z\overline{z}=1$
3. $|z|=1$ から $z\ne 0$。両辺を $z$ で割って、$\overline{z}=\frac{1}{z}$
4. これを使うと、$z+\frac{1}{z}=z+\overline{z}$
5. $z=a+bi$（$a$、$b$ は実数）とすると $\overline{z}=a-bi$ なので、$z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$
6. $2a$ は実数。よって $z+\frac{1}{z}$ は実数である。

（別の示し方）$w=z+\frac{1}{z}$ とおくと $\overline{w}=\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{z}+z=w$ なので $w$ は実数。ここでは $\overline{z}=\frac{1}{z}$ と、その逆数をとった $\frac{1}{\overline{z}}=z$ を使っている。

ここで間違えやすい　$\overline{z}=\frac{1}{z}$ が成り立つのは $|z|=1$ のときだけ。一般には $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$ である。

$2\sqrt{3}$

方針　$\alpha$、$\beta$ そのものは分からないので、絶対値の 2 乗を共役複素数の積 $|z{|}^2=z\overline{z}$ で書いて展開する。$|\alpha -\beta {|}^2$ と $|\alpha +\beta {|}^2$ を展開すると、どちらにも同じかたまり $\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta$ が出る。分かっている $|\alpha -\beta |$ からこのかたまりの値を出し、$|\alpha +\beta {|}^2$ に入れる。

1. $|\alpha -\beta {|}^2$ を共役複素数で書く。差の共役は共役の差なので、$|\alpha -\beta {|}^2=(\alpha -\beta )(\overline{\alpha }-\overline{\beta })$
2. 展開する。$(\alpha -\beta )(\overline{\alpha }-\overline{\beta })=\alpha \overline{\alpha }-\alpha \overline{\beta }-\overline{\alpha }\beta +\beta \overline{\beta }$
3. $\alpha \overline{\alpha }=|\alpha {|}^2$、$\beta \overline{\beta }=|\beta {|}^2$ なので、$|\alpha -\beta {|}^2=|\alpha {|}^2-(\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta )+|\beta {|}^2$
4. 値を入れる。$|\alpha -\beta {|}^2=2^2=4$、$|\alpha {|}^2=4$、$|\beta {|}^2=4$ なので、$4=4-(\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta )+4$
5. 移項して、$\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta =4+4-4=4$
6. 同じように展開すると、符号だけが変わって $|\alpha +\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+(\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta )+|\beta {|}^2$
7. 値を入れると、$|\alpha +\beta {|}^2=4+4+4=12$
8. 絶対値は 0 以上なので、$|\alpha +\beta |=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

ここで間違えやすい　$|\alpha +\beta |$ を $|\alpha |+|\beta |=4$ としない。絶対値は和に分けられない。また、12 は 2 乗の値なので、最後に平方根をとる。

図で見ると、O、A$(\alpha )$、B$(\beta )$ は 1 辺 2 の正三角形で、$\alpha +\beta$ は平行四辺形（ひし形）の対角線の端にあたる。