複素数の極形式

(1) $2\left(\cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi \right)$　(2) $2\left(\cos \frac{3}{2}\pi +i\sin \frac{3}{2}\pi \right)$　(3) $3(\cos \pi +i\sin \pi )$

方針　極形式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ に直すには、2 つのものを順に求める。まず絶対値 $r$（原点からの距離）、次に偏角 $\theta$（実軸の正の部分から測った角）。$a+bi$ の偏角は $\cos \theta =\frac{a}{r}$、$\sin \theta =\frac{b}{r}$ の両方を満たす角として決める。軸の上にある点は、図をかけば距離と角がすぐ読める。

1. (1) 絶対値を出す。実部は $\sqrt{3}$、虚部は $-1$ なので、$r=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$
2. 偏角を出す。$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta =-\frac{1}{2}$
3. $\cos \theta$ が正で $\sin \theta$ が負なので、$\theta$ は第 4 象限の角。$0\leqq \theta <2\pi$ では $\theta =2\pi -\frac{\pi }{6}$、すなわち $\theta =\frac{11}{6}\pi$
4. よって $\sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi \right)$
5. (2) $-2i$ は実部が 0、虚部が $-2$ で、虚軸の負の部分にある。原点からの距離は 2 なので、$r=2$
6. 実軸の正の部分から虚軸の負の部分までは、反時計回りに 4 分の 3 回転。$\theta =\frac{3}{2}\pi$ なので、$-2i=2\left(\cos \frac{3}{2}\pi +i\sin \frac{3}{2}\pi \right)$
7. (3) $-3$ は実軸の負の部分にある。原点からの距離は 3 なので、$r=3$
8. 実軸の正の部分から負の部分までは半回転。$\theta =\pi$ なので、$-3=3(\cos \pi +i\sin \pi )$

ここで間違えやすい　絶対値は距離なので必ず正。(3) で絶対値を $-3$ としない（マイナスは偏角 $\pi$ が引き受ける）。(1) は $\cos \theta$ だけ見ると $\frac{\pi }{6}$ と区別がつかないので、$\sin \theta$ の符号も必ず見る。範囲が $0\leqq \theta <2\pi$ なので、$-\frac{\pi }{6}$ ではなく $\frac{11}{6}\pi$ と答える。

$z_1{z}_2=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi \right)$、$\frac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$

方針　極形式で表した複素数の積は「絶対値は掛け算、偏角は足し算」、商は「絶対値は割り算、偏角は引き算」になる。だから、$a+bi$ の形のまま掛けたり割ったりせず、先に $z_1$、$z_2$ をそれぞれ極形式に直す。

1. $z_1=1+\sqrt{3}i$ の絶対値を出す。$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
2. $z_1$ の偏角を出す。$\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta =\frac{\pi }{3}$。よって $z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$
3. $z_2=1+i$ の絶対値を出す。$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
4. $z_2$ の偏角を出す。$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\theta =\frac{\pi }{4}$。よって $z_2=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$
5. 積の絶対値は、絶対値の積。$2\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}$
6. 積の偏角は、偏角の和。通分して $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}=\frac{4}{12}\pi +\frac{3}{12}\pi =\frac{7}{12}\pi$
7. 商の絶対値は、絶対値の商。$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
8. 商の偏角は、偏角の差。$\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{4}{12}\pi -\frac{3}{12}\pi =\frac{\pi }{12}$

ここで間違えやすい　偏角まで掛けたり割ったりしない。掛け算・割り算になるのは絶対値だけで、偏角は足し算・引き算になる。商の偏角は「分子の偏角 $-$ 分母の偏角」の順に引く。

$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

方針　同じ複素数 $\frac{z_1}{z_2}$ を 2 通りに表す。問 2 では極形式で $\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$ と出た。こんどは $a+bi$ の形で計算する。同じ数なので実部どうしが等しく、そこから $\cos \frac{\pi }{12}$ が求まる。

1. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}$ の分母を実数にするため、分母の共役複素数 $1-i$ を分母・分子に掛ける。
2. 分母は、$(1+i)(1-i)=1-i^2$。$i^2=-1$ なので、分母は $1+1=2$
3. 分子を展開する。$(1+\sqrt{3}i)(1-i)=1-i+\sqrt{3}i-\sqrt{3}{i}^2$
4. $i^2=-1$ なので $-\sqrt{3}{i}^2$ は $\sqrt{3}$ になる。実部と虚部に分けると、分子は $(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)i$
5. よって $\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}i$
6. 一方、問 2 の極形式をかっこを外して書くと、実部は $\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{12}$、虚部は $\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{12}$
7. 実部どうしを比べて、$\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{12}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
8. 両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
9. 分母・分子に $\sqrt{2}$ を掛けて有理化する。分子は $\sqrt{2}+\sqrt{6}$、分母は $2\times 2=4$ なので、$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

同じ数を 2 通りに表して比べると、三角関数の値が求まる。虚部どうしを比べれば、同じやり方で $\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ も出る。

(1) $2+6i$　(2) $(2-\sqrt{3})+(1+2\sqrt{3})i$

方針　複素数を掛けると、点は原点のまわりに回転し、原点からの距離が何倍かになる。「角 $\theta$ だけ回転して $r$ 倍」は、絶対値 $r$・偏角 $\theta$ の複素数 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛けること。掛ける数を $a+bi$ の形に直してから、ふつうに掛け算する。

1. (1) 掛ける数は、絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $\frac{\pi }{4}$ の複素数 $\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$
2. $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、これは $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$、すなわち $1+i$
3. $z$ に掛けて展開する。$(1+i)(4+2i)=4+2i+4i+2i^2$
4. $i^2=-1$ なので $2i^2$ は $-2$。実部は $4-2=2$、虚部は $2+4=6$ で、$2+6i$
5. (2) 回転だけなので、掛ける数は絶対値 1・偏角 $\frac{\pi }{3}$ の複素数 $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$。値を入れると $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
6. $z$ に掛けて展開する。$\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(4+2i)=2+i+2\sqrt{3}i+\sqrt{3}{i}^2$
7. $i^2=-1$ なので $\sqrt{3}{i}^2$ は $-\sqrt{3}$。実部は $2-\sqrt{3}$、虚部は $1+2\sqrt{3}$ で、$(2-\sqrt{3})+(1+2\sqrt{3})i$

ここで間違えやすい　(1) で $\sqrt{2}$ 倍を忘れて $\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ だけを掛けると、回転しかしない。確かめとして、$|z|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$、(1) の答えの絶対値は $\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$ で、2 乗がちょうど 2 倍（距離が $\sqrt{2}$ 倍）になっている。

$2\left(\cos \frac{7}{6}\pi +i\sin \frac{7}{6}\pi \right)$

方針　極形式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ の $r$ は絶対値なので、正でなければならない。前の数が $-2$ のこの式は、形は似ていても極形式ではない。マイナスの符号を $-1=\cos \pi +i\sin \pi$（絶対値 1・偏角 $\pi$）という複素数とみて、積の偏角は和になることを使い、偏角のほうに移す。

1. $-2$ を $2\times (-1)$ と分け、$-1$ を極形式で書く。$-1=\cos \pi +i\sin \pi$
2. すると、もとの式は $2(\cos \pi +i\sin \pi )\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$
3. 積の絶対値は絶対値の積なので、$2\times 1\times 1=2$
4. 積の偏角は偏角の和なので、$\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{6}{6}\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{7}{6}\pi$。これは $0\leqq \theta <2\pi$ に入っている。
5. よって $2\left(\cos \frac{7}{6}\pi +i\sin \frac{7}{6}\pi \right)$
6. 確かめ。もとの式を $a+bi$ の形に直すと $-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)$、すなわち $-\sqrt{3}-i$。実部も虚部も負で第 3 象限にあり、偏角 $\frac{7}{6}\pi$ と合う。

ここで間違えやすい　絶対値 $-2$・偏角 $\frac{\pi }{6}$ と読まない。$-1$ を掛けるのは原点のまわりの $\pi$ 回転（原点について対称な点に移すこと）なので、偏角に $\pi$ が足される。