ド・モアブルの定理

(1) $-64$　(2) $-32i$　(3) $-\frac{1}{8}$

方針　$a+bi$ の形のまま 6 回、10 回と掛けるのは大変で間違えやすい。極形式に直せば、ド・モアブルの定理で「絶対値は $n$ 乗、偏角は $n$ 倍」とするだけで済む。どの小問も、極形式に直す（絶対値を出す・偏角を出す）、$n$ 乗する、$a+bi$ の形に戻す、の順に進める。

1. (1) $\sqrt{3}+i$ の絶対値を出す。$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$
2. 偏角を出す。$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta =\frac{1}{2}$ なので、$\theta =\frac{\pi }{6}$
3. 6 乗する。絶対値は $2^6=64$、偏角は $6\times \frac{\pi }{6}=\pi$ なので、$(\sqrt{3}+i{)}^6=64(\cos \pi +i\sin \pi )$
4. $\cos \pi =-1$、$\sin \pi =0$ なので、値は $64\times (-1)=-64$
5. (2) $1-i$ の絶対値を出す。$\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$
6. 偏角を出す。$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、第 4 象限の角で $\theta =-\frac{\pi }{4}$
7. 10 乗する。絶対値は $(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$、偏角は $10\times \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{5}{2}\pi$
8. $-\frac{5}{2}\pi =-\frac{\pi }{2}-2\pi$ なので、$-\frac{\pi }{2}$ と同じ向き。$\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$、$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ から、値は $32\cdot (-i)$、すなわち $-32i$
9. (3) $1+\sqrt{3}i$ の絶対値を出す。$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
10. 偏角を出す。$\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta =\frac{\pi }{3}$
11. ド・モアブルの定理は $n$ が負の整数でも成り立つ。$-3$ 乗すると、絶対値は $2^{-3}=\frac{1}{8}$、偏角は $-3\times \frac{\pi }{3}=-\pi$
12. $\cos (-\pi )=-1$、$\sin (-\pi )=0$ なので、値は $\frac{1}{8}\times (-1)=-\frac{1}{8}$

ここで間違えやすい　$n$ 乗するのは絶対値で、偏角は $n$ 倍する（偏角を $n$ 乗しない）。(2) の絶対値は $\sqrt{2}$ を 10 乗するので、$2^{10}$ ではなく $2^5$。偏角が $2\pi$ を超えたり負になったりしたら、$2\pi$ の整数倍を足し引きして、見慣れた角に直してから値を読む。

$z=\sqrt{3}+i$、$-\sqrt{3}+i$、$-2i$

方針　$z$ を極形式でおき、両辺を極形式で表して、絶対値どうし・偏角どうしを比べる。ド・モアブルの定理で左辺の 3 乗がすぐ書けるからである。偏角は $2\pi$ の整数倍だけちがっても同じ点を表すので、比べるときに $2k\pi$ を足す。これで 3 個の解がすべて出る。

1. $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$）とおく。ド・モアブルの定理から、左辺は $z^3=r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )$
2. 右辺 $8i$ を極形式に直す。虚軸の正の部分にあり、原点からの距離は 8 なので、絶対値は 8、偏角は $\frac{\pi }{2}$。$8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$
3. 絶対値を比べる。$r^3=8$ で、$r$ は正の実数なので、$r=2$
4. 偏角を比べる。$2\pi$ の整数倍のずれを入れて、$3\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k$ は整数）
5. 両辺を 3 で割って、$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$
6. $0\leqq \theta <2\pi$ に入るものを、$k$ を動かして拾う。$k=0$ のとき $\theta =\frac{\pi }{6}$
7. $k=1$ のとき、$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2}{3}\pi =\frac{1}{6}\pi +\frac{4}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi$
8. $k=2$ のとき、$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{4}{3}\pi =\frac{1}{6}\pi +\frac{8}{6}\pi =\frac{9}{6}\pi =\frac{3}{2}\pi$
9. $k=3$ にすると $\theta =\frac{\pi }{6}+2\pi$ で、$k=0$ と同じ点に戻る。だから解は $k=0,1,2$ の 3 個。
10. $z=2(\cos \theta +i\sin \theta )$ に入れる。$\theta =\frac{\pi }{6}$ のとき $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)$、すなわち $\sqrt{3}+i$
11. $\theta =\frac{5}{6}\pi$ のとき $2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)$、すなわち $-\sqrt{3}+i$
12. $\theta =\frac{3}{2}\pi$ のとき $\cos \theta =0$、$\sin \theta =-1$ なので $2\cdot (-i)$、すなわち $-2i$

3 点は原点を中心とする半径 2 の円周上にあり、偏角が $\frac{2}{3}\pi$ ずつずれているので、正三角形の頂点になる。

ここで間違えやすい　$2k\pi$ を足さずに $3\theta =\frac{\pi }{2}$ とすると、解が $\sqrt{3}+i$ の 1 個しか出ない。三次方程式の解は 3 個ある。また、$2k\pi$ も 3 で割るので、解の偏角は $2\pi$ ずつではなく $\frac{2}{3}\pi$ ずつずれる。

$z=1+i$、$-1+i$、$-1-i$、$1-i$

方針　$z^n=\alpha$ の形なので、両辺を極形式で表して、絶対値どうし・偏角どうしを比べる。右辺の $-4$ は負の実数で、絶対値は 4、偏角は $\pi$。偏角を比べるときに $2k\pi$ を足して、4 個の解をすべて拾う。

1. 右辺 $-4$ を極形式に直す。実軸の負の部分にあり、原点からの距離は 4 なので、絶対値は 4、偏角は $\pi$。$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$
2. $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$）とおく。ド・モアブルの定理から、左辺は $z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$
3. 絶対値を比べる。$r^4=4$ で、$r>0$ なので $r^2=2$。よって $r=\sqrt{2}$
4. 偏角を比べる。$2\pi$ の整数倍のずれを入れて、$4\theta =\pi +2k\pi$（$k$ は整数）
5. 両辺を 4 で割って、$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$
6. $0\leqq \theta <2\pi$ に入るものを、$k$ を動かして拾う。$k=0$ のとき $\theta =\frac{\pi }{4}$、$k=1$ のとき $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{2}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi$
7. $k=2$ のとき $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{4}{4}\pi =\frac{5}{4}\pi$、$k=3$ のとき $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{6}{4}\pi =\frac{7}{4}\pi$。$k=4$ にすると $\frac{\pi }{4}+2\pi$ で最初の点に戻る。
8. $z=\sqrt{2}(\cos \theta +i\sin \theta )$ に入れる。$\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$、すなわち $1+i$
9. 残りの 3 つは、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の符号だけが変わる。$\theta =\frac{3}{4}\pi$ のとき $-1+i$、$\theta =\frac{5}{4}\pi$ のとき $-1-i$、$\theta =\frac{7}{4}\pi$ のとき $1-i$
10. 確かめ。$(1+i{)}^2=1+2i+i^2$ で、これは $2i$。もう 1 回 2 乗すると $(2i{)}^2=4i^2$ で、$-4$ になる。

絶対値 $\sqrt{2}$ でこの偏角の点は、複素数平面で順に $(1,1)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$、$(1,-1)$。正方形の頂点になっている。
実数の範囲には解が無いが、複素数の範囲では 4 個ある。

ここで間違えやすい　右辺の絶対値を $-4$ としない。絶対値は 4 で、マイナスは偏角 $\pi$ が引き受ける。偏角を 0 としてしまうと $z^4=4$ を解くことになる。また、$r^4=4$ から $r=1$ や $r=2$ としない（$r=\sqrt{2}$）。

$1$、$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$、$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$、$-1$、$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$、$\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$

方針　1 の 6 乗根とは、方程式 $z^6=1$ の解のこと。$z^n=\alpha$ の形なので、両辺を極形式で表して絶対値と偏角を比べる。右辺の 1 は絶対値 1・偏角 0。偏角に $2k\pi$ を足して $k$ を動かせば、6 個がすべて出る。

1. $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$）とおく。ド・モアブルの定理から、$z^6=r^6(\cos 6\theta +i\sin 6\theta )$
2. 右辺の 1 を極形式に直す。$1=\cos 0+i\sin 0$（絶対値 1・偏角 0）
3. 絶対値を比べる。$r^6=1$ で、$r>0$ なので $r=1$
4. 偏角を比べる。$2\pi$ の整数倍のずれを入れて、$6\theta =0+2k\pi$（$k$ は整数）
5. 両辺を 6 で割って、$\theta =\frac{k\pi }{3}$。$0\leqq \theta <2\pi$ に入るのは $k=0,1,\cdots ,5$ の 6 個で、偏角は 0、$\frac{\pi }{3}$、$\frac{2}{3}\pi$、$\pi$、$\frac{4}{3}\pi$、$\frac{5}{3}\pi$
6. よって解は $z_k=\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}$（$k=0,1,\cdots ,5$）。値を入れていく。$k=0$ のとき $1$、$k=3$ のとき $\cos \pi +i\sin \pi$ で $-1$
7. $k=1$ のとき $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$、$k=2$ のとき $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
8. $k=4$ のとき $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$、$k=5$ のとき $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

単位円周上で、点 1 を頂点の 1 つとする正六角形の頂点になる。1 の 3 乗根（$k=0,2,4$）もこの中に入っている。

ここで間違えやすい　実数の範囲で考えて $z=\pm 1$ だけで終わらせない。複素数の範囲では $n$ 乗根は $n$ 個ある。$k=6$ にすると偏角が $2\pi$ になり、$k=0$ の点 1 に戻るので、7 個目は無い。

0

方針　$\cos \frac{2}{5}\pi$ などの値は簡単には出ないので、5 つの項を 1 つずつ計算して足すことはしない。$\omega$ の偏角が $2\pi$ の 5 分の 1 であることから ${\omega }^5=1$（$\omega$ は 1 の 5 乗根）となる。求める式は、${\omega }^5-1$ を因数分解したときに出てくる式そのものである。

1. ド・モアブルの定理で 5 乗する。偏角は $5\times \frac{2}{5}\pi =2\pi$ になるので、${\omega }^5=\cos 2\pi +i\sin 2\pi$
2. $\cos 2\pi =1$、$\sin 2\pi =0$ なので、${\omega }^5=1$。移項して、${\omega }^5-1=0$
3. 左辺を因数分解する。${\omega }^5-1=(\omega -1)({\omega }^4+{\omega }^3+{\omega }^2+\omega +1)$ なので、$(\omega -1)({\omega }^4+{\omega }^3+{\omega }^2+\omega +1)=0$
4. $\omega$ の偏角 $\frac{2}{5}\pi$ は 0 でないので、$\omega \ne 1$。つまり $\omega -1\ne 0$
5. 積が 0 で前のかっこが 0 でないので、後ろのかっこが 0。$1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0$

ここで間違えやすい　3. の因数分解は、右辺を展開すると途中の項がすべて打ち消し合って ${\omega }^5-1$ だけが残ることで確かめられる。$\omega \ne 1$ の確認を省かない。$\omega =1$ なら前のかっこが 0 になり、後ろのかっこが 0 とは言えなくなる（実際、$\omega$ のところを 1 にすると、和は $1+1+1+1+1=5$ で 0 にならない）。

図で見ると、1、$\omega$、$\cdots$、${\omega }^4$ は正五角形の頂点で、その重心が原点にあることを表している。

$-64$

方針　かっこの中を $a+bi$ の形に直してから 12 乗するのは大変である。分子と分母をそれぞれ極形式に直せば、割り算は「絶対値は割り算、偏角は引き算」、12 乗は「絶対値は 12 乗、偏角は 12 倍」で済む。先に割り算、あとで 12 乗の順に進める。

1. 分子 $1+\sqrt{3}i$ を極形式に直す。絶対値は $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。$\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、偏角は $\frac{\pi }{3}$
2. 分母 $1+i$ を極形式に直す。絶対値は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、偏角は $\frac{\pi }{4}$
3. 商の絶対値は、絶対値の商。$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
4. 商の偏角は、偏角の差。$\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{4}{12}\pi -\frac{3}{12}\pi =\frac{\pi }{12}$
5. よってかっこの中は $\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$
6. ド・モアブルの定理で 12 乗する。絶対値は $(\sqrt{2}{)}^{12}=2^6=64$、偏角は $12\times \frac{\pi }{12}=\pi$
7. $64(\cos \pi +i\sin \pi )$ で、$\cos \pi =-1$、$\sin \pi =0$ なので、値は $64\times (-1)=-64$

ここで間違えやすい　$\frac{\pi }{12}$ の三角関数の値を求める必要はない。12 倍すると $\pi$ になり、値の分かる角になる。絶対値は $\sqrt{2}$ を 12 乗するので、$2^{12}$ ではなく $2^6$。