複素数と図形

(1) $3$　(2) $7-4i$　(3) $2+2i$

方針　内分点・外分点・重心を表す複素数の式は、位置ベクトルの式と同じ形をしている。$m:n=2:1$ なので、内分は $\frac{n\alpha +m\beta }{m+n}$、外分は $n$ を $-n$ に変えた $\frac{-n\alpha +m\beta }{m-n}$、重心は 3 つの平均 $\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$。あとは複素数の足し算と割り算をする。

1. $\alpha =1+2i$、$\beta =4-i$、$\gamma =1+5i$ とする。どちらの小問にも出る $2\beta$ を先に出すと、$2\beta =8-2i$
2. (1) 内分する点は $\frac{1\alpha +2\beta }{2+1}$。分子は $(1+2i)+(8-2i)$ で、実部は $1+8=9$、虚部は $2-2=0$ なので、分子は $9$
3. 分母の 3 で割って、$\frac{9}{3}=3$
4. (2) 外分する点は $\frac{-1\alpha +2\beta }{2-1}$。分子は $(-1-2i)+(8-2i)$ で、実部は $-1+8=7$、虚部は $-2-2=-4$ なので、分子は $7-4i$
5. 分母は $2-1=1$ なので、そのまま $7-4i$
6. (3) 重心は $\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$。分子の実部は $1+4+1=6$、虚部は $2-1+5=6$ なので、分子は $6+6i$
7. 3 で割って、$2+2i$

ここで間違えやすい　比 $2:1$ の「2」を掛けるのは、遠い側の $\beta$（たすき掛け）。(1) の答えは実数 3 で、内分する点がちょうど実軸の上にのっている。

点 $-1$ を中心とする半径 2 の円

方針　$|z-3|$ は点 3 との距離、$|z|$ は原点との距離なので、この式は「2 点からの距離の比が一定」という条件である。図形を知るには、式を $|z-\alpha |=r$（点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円）の形に直せばよい。絶対値のままでは変形できないので、両辺を 2 乗して $|w{|}^2=w\overline{w}$ で共役複素数の式に直し、展開して整理する。

1. 両辺とも 0 以上なので、2 乗しても同じ条件。$|z-3{|}^2=4|z{|}^2$
2. 共役複素数で書く。$z-3$ の共役複素数は $\overline{z}-3$ なので、$(z-3)(\overline{z}-3)=4z\overline{z}$
3. 左辺を展開する。$z\overline{z}-3z-3\overline{z}+9=4z\overline{z}$
4. 左辺をすべて右辺に移項すると、$0=3z\overline{z}+3z+3\overline{z}-9$
5. 両辺を 3 で割って、$z\overline{z}+z+\overline{z}-3=0$
6. 積の形にまとめる。$(z+1)(\overline{z}+1)=z\overline{z}+z+\overline{z}+1$ なので、左辺は $(z+1)(\overline{z}+1)-4$ と書ける。よって $(z+1)(\overline{z}+1)=4$
7. $\overline{z}+1$ は $z+1$ の共役複素数なので、左辺は $|z+1{|}^2$。$|z+1{|}^2=4$
8. 絶対値は 0 以上なので、$|z+1|=2$。これは点 $-1$ との距離が 2 ということなので、点 $-1$ を中心とする半径 2 の円。

ここで間違えやすい　右辺の 2 乗は $4|z{|}^2$（2 も 2 乗する）。6. では、$z\overline{z}+z+\overline{z}$ に 1 を足せば積の形になるので、$-3$ を $+1-4$ と分ける。$|z+1|=2$ の中心は $+1$ ではなく $-1$（$z-(-1)$ と読む）。

確かめ: 円周上の点 $z=1$ では、$|z-3|$ が 2、$2|z|$ も 2 で成り立つ。点 $z=-3$ では、どちらも 6。

点 2 を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円

方針　条件が分かっているのは $z$（$|z|=1$）で、知りたいのは $w$ の動き方。そこで $w$ の式を $z$ について解き、$|z|=1$ に代入して、$w$ だけの条件に直す。

1. $w=(1+i)z+2$ を $z$ について解く。2 を移項して、$w-2=(1+i)z$
2. 両辺を $1+i$ で割って、$z=\frac{w-2}{1+i}$
3. これを $|z|=1$ に代入する。$\left|\frac{w-2}{1+i}\right|=1$
4. 商の絶対値は絶対値の商なので、$\frac{|w-2|}{|1+i|}=1$
5. 分母を計算する。$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
6. 両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて、$|w-2|=\sqrt{2}$
7. これは点 2 との距離が $\sqrt{2}$ ということなので、点 $w$ は点 2 を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円を描く。

別の見方もできる。$1+i$ を掛けるのは、原点のまわりに $\frac{\pi }{4}$ 回転して $\sqrt{2}$ 倍する移動。単位円は半径 $\sqrt{2}$ の円になり、$+2$ で中心が点 2 に移る。

(1) $3i$　(2) $\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i$

方針　複素数を掛けて回転できるのは、原点のまわりだけ。点 $\alpha$ のまわりに回すときは、3 つの手順に分ける。$\alpha$ を引いて回転の中心を原点に移す、$\cos \theta +i\sin \theta$ を掛けて回転する、$\alpha$ を足してもとに戻す。式では $\alpha +(\beta -\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$ になる。

1. 回転の中心を原点に移す。$\beta -\alpha =(3+2i)-(1+i)$ で、実部は $3-1=2$、虚部は $2-1=1$ なので、$\beta -\alpha =2+i$
2. (1) $\frac{\pi }{2}$ の回転は、$\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ すなわち $i$ を掛けること。$(2+i)\cdot i=2i+i^2$
3. $i^2=-1$ なので、これは $-1+2i$
4. $\alpha$ を足してもとに戻す。$(-1+2i)+(1+i)$ は、実部が $-1+1=0$、虚部が $2+1=3$ なので、$3i$
5. (2) $\frac{\pi }{3}$ の回転は、$\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ すなわち $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛けること。展開すると、$(2+i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i+\frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}{i}^2$
6. $i^2=-1$ なので $\frac{\sqrt{3}}{2}{i}^2$ は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。実部と虚部に分けると、$\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}+\sqrt{3}\right)i$
7. $\alpha =1+i$ を足してもとに戻す。実部は $1-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$ で $2-\frac{\sqrt{3}}{2}$、虚部は $\frac{1}{2}+\sqrt{3}+1$ で $\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
8. よって $\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i$

ここで間違えやすい　$\beta$ にそのまま $i$ を掛けると、原点のまわりの回転になってしまう（$(3+2i)\cdot i$ は $-2+3i$ で、別の点）。最後に $\alpha$ を足して戻すのも忘れやすい。

確かめ: (1) の点と $\alpha$ の差は $-1+2i$ で絶対値 $\sqrt{5}$。$|\beta -\alpha |$ も $\sqrt{5}$ で、距離が変わっていない。

$\angle \mathrm{B}$ が直角で、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ の直角二等辺三角形

方針　三角形の形は、1 つの頂点から出る 2 辺の「長さの比」と「間の角」で決まる。複素数平面では、$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ を計算すると、その絶対値が辺の比 $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$、偏角が $\angle \mathrm{A}$ になる。だから、この商を計算して極形式で読む。

1. $\alpha =1+i$、$\beta =3+2i$、$\gamma =2+4i$ とする。A を原点に移した位置を出す。$\beta -\alpha =(3-1)+(2-1)i$ で $2+i$、$\gamma -\alpha =(2-1)+(4-1)i$ で $1+3i$
2. 商は $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{1+3i}{2+i}$。分母を実数にするため、分母の共役複素数 $2-i$ を分母・分子に掛ける。
3. 分子を展開する。$(1+3i)(2-i)=2-i+6i-3i^2$。$i^2=-1$ なので $-3i^2$ は $3$ になり、分子は $5+5i$
4. 分母は $(2+i)(2-i)=4-i^2$ で、$4+1=5$
5. よって $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{5+5i}{5}$、すなわち $1+i$
6. $1+i$ を極形式で読む。絶対値は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、偏角は $\frac{\pi }{4}$
7. 絶対値から $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{2}$、すなわち $\mathrm{AC}=\sqrt{2}\mathrm{AB}$。偏角から $\angle \mathrm{A}=\frac{\pi }{4}$
8. 2 辺の比が $1:\sqrt{2}$ で、その間の角が $\frac{\pi }{4}$。これは直角二等辺三角形の「等しい辺と斜辺」の関係なので、AC を斜辺とする直角二等辺三角形。直角は斜辺の向かいの $\angle \mathrm{B}$ で、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$

（B を頂点にして調べると $\frac{\alpha -\beta }{\gamma -\beta }=i$ で、直接 $\angle \mathrm{B}=\frac{\pi }{2}$、$\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ が出る。）

ここで間違えやすい　$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ から分かるのは頂点 A のところの角と、A から出る 2 辺の比。偏角 $\frac{\pi }{4}$ を見て「$\angle \mathrm{A}$ が直角」としない。どの角が直角かは、辺の比と合わせて判断する。「直角三角形」「二等辺三角形」だけで止めず、どの角が直角で、どの辺が等しいかまで答える。

(1) $a=5$　(2) $a=-\frac{5}{2}$

方針　3 点の位置関係は、$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ の偏角（$\angle \mathrm{A}$ にあたる）で決まる。一直線上にあるのは偏角が 0 か $\pi$、つまりこの商が実数のとき。AB と AC が垂直なのは偏角が $\pm \frac{\pi }{2}$、つまり純虚数のとき。そこで、まず商を「実部 $+$ 虚部 $i$」の形に計算しておき、(1) では虚部、(2) では実部を 0 とおく。

1. $\alpha =-1+i$、$\beta =1+2i$、$\gamma =a+4i$ とする。$\beta -\alpha =(1+1)+(2-1)i$ で $2+i$、$\gamma -\alpha =(a+1)+(4-1)i$ で $(a+1)+3i$
2. 商は $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{(a+1)+3i}{2+i}$。分母を実数にするため、$2-i$ を分母・分子に掛ける。
3. 分子を展開する。$\{(a+1)+3i\}(2-i)=2(a+1)-(a+1)i+6i-3i^2$
4. $i^2=-1$ なので $-3i^2$ は $3$。実部は $2(a+1)+3=2a+5$、虚部は $-(a+1)+6=5-a$ なので、分子は $(2a+5)+(5-a)i$
5. 分母は $(2+i)(2-i)=4-i^2$ で、$4+1=5$。よって $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{(2a+5)+(5-a)i}{5}$
6. (1) 一直線上にあるのは、これが実数になるとき、つまり虚部が 0 のとき。$5-a=0$ から、$a=5$
7. (2) 垂直なのは、これが純虚数になるとき、つまり実部が 0 で虚部が 0 でないとき。$2a+5=0$ から、$a=-\frac{5}{2}$
8. このとき虚部の分子は $5-a=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$ で 0 でないので、たしかに純虚数になっている。

ここで間違えやすい　純虚数は「実部が 0」だけでは足りず、「虚部が 0 でない」ことの確認が要る（0 は純虚数ではない）。また、(1) と (2) で 0 とおくものを取りちがえない。実数なら虚部が 0、純虚数なら実部が 0。