空間の位置ベクトルと図形

【発展】平面の方程式と、点と平面の距離

平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を $\vec{n}=(a,b,c)$ とする。点 $A(x_0,y_0,z_0)$ を通りこれに垂直な平面の上の点 $P(x,y,z)$ は $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ を満たすので、
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$。整理すると $ax+by+cz+d=0$ の形になる。座標平面上の直線 $ax+by+c=0$ に $z$ の項が増えた形。

点 $(x_1,y_1,z_1)$ と平面 $ax+by+cz+d=0$ の距離は $\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$。点と直線の距離の公式に $z$ の項が増えただけ。

例: 3 点 $A(1,0,0)$、$B(2,1,0)$、$C(1,1,1)$ を通る平面は、法線ベクトルが $(1,-1,1)$ なので $(x-1)-y+z=0$、すなわち $x-y+z-1=0$。
点 $D(3,1,2)$ との距離は $\frac{|3-1+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ で、練習問題の問 5 の答えと一致する。

【発展】外積

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対して、ベクトル $(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積といい、$\vec{a}\times \vec{b}$ と書く。
外積は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直で、その大きさは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積に等しい。内積が数であるのに対して、外積はベクトルになる。

例: $\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(0,1,1)$ なら、外積の成分は $(1\times 1-0\times 1,0\times 0-1\times 1,1\times 1-1\times 0)=(1,-1,1)$。
大きさは $\sqrt{3}$ なので、この 2 つのベクトルを 2 辺とする三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{2}$。両方に垂直なベクトルや面積の検算に使える。

内分する点 $(3,0,5)$、外分する点 $(7,-4,9)$

方針　内分点・外分点の式は平面と同じで、空間では $x$・$y$・$z$ の成分ごとに同じ式を 3 回使う。$m:n=2:1$ なので、内分は $\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ で $A$ 側に 1、$B$ 側に 2 を掛ける。外分は $n$ を $-n$ に変えた $\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ を使う。

1. 内分する点の $x$ 座標。$\frac{1\times 1+2\times 4}{2+1}=\frac{9}{3}=3$
2. 内分する点の $y$ 座標。$\frac{1\times 2+2\times (-1)}{2+1}=\frac{0}{3}=0$
3. 内分する点の $z$ 座標。$\frac{1\times 3+2\times 6}{2+1}=\frac{15}{3}=5$
4. よって内分する点は $(3,0,5)$
5. 外分する点の $x$ 座標。$\frac{-1\times 1+2\times 4}{2-1}=\frac{7}{1}=7$
6. 外分する点の $y$ 座標。$\frac{-1\times 2+2\times (-1)}{2-1}=\frac{-4}{1}=-4$
7. 外分する点の $z$ 座標。$\frac{-1\times 3+2\times 6}{2-1}=\frac{9}{1}=9$
8. よって外分する点は $(7,-4,9)$

ここで間違えやすい　比 $2:1$ の「2」を掛けるのは、遠い側の $B$ の座標（たすき掛け）。$A$ に 2 を掛けると、$1:2$ に分ける点になってしまう。外分する点は線分 $AB$ を $B$ の側に延ばした先にあり、$B$ は $A$ とその点の中点になっている。

$y=-1$、$z=9$

方針　3 点 $A$、$B$、$C$ が一直線上にある条件は、$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ があること。成分で書くと式が 3 本できる。文字の入っていない $x$ 成分の式から $k$ を決め、残りの 2 本で $y$、$z$ を求める。

1. $\overrightarrow{AB}$ の成分を出す。$\overrightarrow{AB}=(3-1,1-2,5-3)=(2,-1,2)$
2. $\overrightarrow{AC}$ の成分を出す。$x$ 成分は $7-1=6$、$y$ 成分は $y-2$、$z$ 成分は $z-3$
3. $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ とおいて成分を比べる。$6=2k$、$y-2=-k$、$z-3=2k$
4. 第 1 式の両辺を 2 で割って、$k=3$
5. 第 2 式に入れると $y-2=-3$。$-2$ を移項して、$y=-1$
6. 第 3 式に入れると $z-3=6$。$-3$ を移項して、$z=9$
7. 確かめ。$C(7,-1,9)$ のとき $\overrightarrow{AC}=(6,-3,6)$ で、$\overrightarrow{AB}=(2,-1,2)$ のちょうど 3 倍になっている。

$z=5$

方針　4 点が同じ平面上にあるとは、点 $P$ が平面 $ABC$ の上にあること。その条件は $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s$、$t$ があること。成分で書くと式が 3 本できるので、$z$ の入っていない 2 本で $s$、$t$ を決め、残りの 1 本で $z$ を求める。

1. $A$ を始点とするベクトルを 3 つ作る。$\overrightarrow{AB}=(2-1,3-1,1-0)=(1,2,1)$
2. 同じように、$\overrightarrow{AC}=(0-1,2-1,3-0)=(-1,1,3)$
3. $\overrightarrow{AP}$ は、$x$ 成分が $2-1=1$、$y$ 成分が $6-1=5$、$z$ 成分が $z-0=z$
4. $s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ の成分は、$x$ 成分が $s-t$、$y$ 成分が $2s+t$、$z$ 成分が $s+3t$
5. $\overrightarrow{AP}$ と成分を比べて、$s-t=1$、$2s+t=5$、$s+3t=z$
6. はじめの 2 式を辺ごとに足すと $t$ が消える。$3s=6$ なので、$s=2$
7. $s-t=1$ に入れると $2-t=1$ なので、$t=1$
8. 第 3 式に入れて、$z=2+3\times 1=5$

ここで間違えやすい　始点を平面上の点 $A$ にしているので、$s+t=1$ のような係数の和の条件は付かない。係数の和が 1 になるのは、始点が平面の外の点 $O$ で、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}$ と書いたときである。

$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{4}{9}\vec{b}+\frac{2}{9}\vec{c}$

方針　$Q$ には条件が 2 つある。直線 $OP$ 上にあるので $\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$ と書けること、平面 $ABC$ 上にあるので $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ の係数の和が 1 になること。そこで、まず $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ で表し、$k$ 倍して係数の和を 1 にする。

1. $M$ は辺 $OA$ の中点なので、$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}$
2. $N$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、$\overrightarrow{ON}=\frac{2\vec{b}+1\vec{c}}{1+2}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$
3. $P$ は線分 $MN$ の中点なので、$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\right)$
4. かっこを外すと、$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}$
5. $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}=\frac{k}{4}\vec{a}+\frac{k}{3}\vec{b}+\frac{k}{6}\vec{c}$ とおける（$k$ は実数）。
6. $Q$ は平面 $ABC$ 上にあるので、係数の和が 1。$\frac{k}{4}+\frac{k}{3}+\frac{k}{6}=1$
7. $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ なので、$\frac{3}{4}k=1$。よって $k=\frac{4}{3}$
8. 係数はそれぞれ $\frac{4}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{3}$、$\frac{4}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{9}$、$\frac{4}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{2}{9}$
9. よって $\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{4}{9}\vec{b}+\frac{2}{9}\vec{c}$。確かめると、係数の和は $\frac{3}{9}+\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=1$

ここで間違えやすい　$N$ の式で、比 $1:2$ の「2」を掛けるのは $\vec{b}$（たすき掛け）。$\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}$ とすると $2:1$ に内分する点になる。また、$\overrightarrow{OP}$ の係数の和は $\frac{3}{4}$ で 1 ではないので、$P$ 自身は平面 $ABC$ の上にない。

$H(2,2,1)$、$DH=\sqrt{3}$

方針　$H$ には条件が 2 つある。平面 $ABC$ 上にあるので $\overrightarrow{AH}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ と書けること（文字 2 つ）、$DH$ が平面に垂直なので $\overrightarrow{DH}$ が $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ の両方と垂直であること（式 2 本）。文字 2 つに式 2 本なので、$s$、$t$ が決まる。

1. $A$ を始点とするベクトルを作る。$\overrightarrow{AB}=(2-1,1-0,0-0)=(1,1,0)$、$\overrightarrow{AC}=(1-1,1-0,1-0)=(0,1,1)$、$\overrightarrow{AD}=(3-1,1-0,2-0)=(2,1,2)$
2. $H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、$\overrightarrow{AH}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ とおく。成分は $(s,s+t,t)$
3. $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AD}$ なので、成分は $(s-2,s+t-1,t-2)$
4. $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ から、$(s-2)\times 1+(s+t-1)\times 1+(t-2)\times 0=0$。まとめて $2s+t-3=0$ …①
5. $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ から、$(s-2)\times 0+(s+t-1)\times 1+(t-2)\times 1=0$。まとめて $s+2t-3=0$ …②
6. ①から $t=3-2s$。②に入れると $s+2(3-2s)-3=0$、すなわち $-3s+3=0$ なので、$s=1$
7. $t=3-2s$ に入れて、$t=3-2\times 1=1$
8. $\overrightarrow{AH}$ の成分は $(1,1+1,1)$、すなわち $(1,2,1)$。$H$ の座標は $A$ の座標にこれを足して、$(1+1,0+2,0+1)=(2,2,1)$
9. $\overrightarrow{DH}$ の成分は $(1-2,1+1-1,1-2)=(-1,1,-1)$ なので、$DH=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

ここで間違えやすい　平面に垂直と言うには、平面上の平行でない 2 つのベクトルの両方と垂直でなければならない。$\overrightarrow{AB}$ との内積だけを 0 にしても、式が 1 本足りず $s$、$t$ は決まらない。また、求める $H$ の座標は $\overrightarrow{AH}$ の成分 $(1,2,1)$ そのものではなく、$A$ の座標を足したものである。

$\frac{1}{2}$

方針　四面体の体積は $\frac{1}{3}\times$ 底面積 $\times$ 高さ。底面を三角形 $ABC$ にとれば、高さは $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さで、問 5 ですでに求めてある。残るのは底面積で、これは大きさと内積から出す。

1. 底面を三角形 $ABC$ とする。問 5 から $\overrightarrow{AB}=(1,1,0)$、$\overrightarrow{AC}=(0,1,1)$
2. 大きさの 2 乗は、$|\overrightarrow{AB}{|}^2=1+1+0=2$、$|\overrightarrow{AC}{|}^2=0+1+1=2$
3. 内積は、$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 0+1\times 1+0\times 1=0+1+0=1$
4. 底面積は $S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^2|\overrightarrow{AC}{|}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2}$ に入れる。根号の中は $2\times 2-1^2=3$ なので、$S=\frac{\sqrt{3}}{2}$
5. 高さは、問 5 で求めた垂線の長さ $DH=\sqrt{3}$
6. 体積は、$\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$ で、$\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$）

ここで間違えやすい　高さは頂点 $D$ と底面の頂点を結ぶ辺の長さ（$AD=3$ など）ではなく、底面に下ろした垂線の長さ。また、錐の体積なので $\frac{1}{3}$ を掛け忘れない。