放物線｜高校数学C — みならいノート

学習指導要領数学C (2) 平面上の曲線と複素数平面ア (ア)「放物線，楕円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

数学Ⅰでは、放物線を「二次関数 $y = a x^{2}$ のグラフ」として扱いました。数学Cでは、同じ曲線を点の集まり（軌跡）として定義し直します。
定点 $F$ と、 $F$ を通らない定直線 $l$ から等しい距離にある点の軌跡が放物線で、 $F$ を焦点、 $l$ を準線といいます。
焦点を $(p, 0)$ 、準線を $x = - p$ に置くと、方程式は $y^{2} = 4 p x$ というかんたんな形になります。これを放物線の方程式の標準形といいます。

標準形	焦点	準線	軸	頂点	開く向き
$y^{2} = 4 p x$	$(p, 0)$	$x = - p$	$x$ 軸	原点	$p > 0$ なら右、 $p < 0$ なら左
$x^{2} = 4 p y$	$(0, p)$	$y = - p$	$y$ 軸	原点	$p > 0$ なら上、 $p < 0$ なら下

分かれ目は次の 3 つ。

2 乗になっていないほうの文字の軸が、放物線の軸。 $y^{2} = 4 p x$ の軸は $x$ 軸で、焦点も $x$ 軸上にある
$p$ を読むときは、右辺を $4 p \times$ （文字）の形にする。 $y^{2} = 8 x$ なら $4 p = 8$ なので $p = 2$ 。8 が $p$ ではない
焦点と準線は頂点をはさんで反対側。焦点が $(p, 0)$ なら準線は $x = - p$ で、符号が逆になる

1. 放物線の定義と標準形

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

焦点 $F (p, 0)$ と準線 $x = - p$ から等しい距離にある点を $P (x, y)$ とします。
$P$ と $F$ の距離は $(x - p)^{2} + y^{2}$ 、 $P$ と準線の距離は $∣ x + p ∣$ です。
この 2 つが等しいという式の両辺を 2 乗すると $(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$ で、展開して整理すると $y^{2} = 4 p x$ が残ります。

放物線とは、どんな点の軌跡か？

定点 $F$ と、 $F$ を通らない定直線 $l$ から等しい距離にある点の軌跡

$F$ を焦点、 $l$ を準線という。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ の焦点と準線は？

焦点は $(p, 0)$ 、準線は直線 $x = - p$

$y^{2} = 4 p x$ を放物線の方程式の標準形という。焦点と準線は、頂点（原点）をはさんで反対側にある。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ の軸と頂点は？

軸は $x$ 軸、頂点は原点

焦点を通り準線に垂直な直線が軸、軸と放物線の交点が頂点。放物線は軸について対称になる。

放物線の標準形 $y^{2} = 4 p x$ は、どんな等式から導くか？

$(x - p)^{2} + y^{2} = ∣ x + p ∣$ （焦点までの距離 = 準線までの距離）の両辺を 2 乗する

$(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$ を展開すると $x^{2}$ と $p^{2}$ が消えて、 $y^{2} = 4 p x$ が残る。

放物線 $y^{2} = 8 x$ の焦点と準線は？

焦点 $(2, 0)$ 、準線 $x = - 2$

$4 p = 8$ より $p = 2$ 。右辺の係数 8 をそのまま $p$ と読まない。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ で $p < 0$ のとき、グラフはどちらに開くか？

左に開く（ $x ≦ 0$ の側にある）

$y^{2} ≧ 0$ なので $4 p x ≧ 0$ 、 $p < 0$ なら $x ≦ 0$ 。たとえば $y^{2} = - 4 x$ は $p = - 1$ で、焦点 $(- 1, 0)$ 、準線 $x = 1$ 。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ （ $p > 0$ ）上の点 $P (x_{1}, y_{1})$ から焦点までの距離は？

$x_{1} + p$

焦点までの距離は準線 $x = - p$ までの距離に等しい（放物線の定義）。準線までの距離は $x_{1} - (- p)$ で求められる。

2. y 軸が軸の放物線

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

$y^{2} = 4 p x$ の $x$ と $y$ を入れ替えると $x^{2} = 4 p y$ になります。焦点は $y$ 軸上の $(0, p)$ 、準線は $y = - p$ です。
数学Ⅰの $y = a x^{2}$ はこの形で、 $x^{2} = \frac{1}{a} y$ と書き直すと $4 p = \frac{1}{a}$ と読めます。

放物線 $x^{2} = 4 p y$ の焦点と準線、軸は？

焦点は $(0, p)$ 、準線は直線 $y = - p$ 、軸は $y$ 軸

$y^{2} = 4 p x$ の $x$ と $y$ を入れ替えたもの。 $p > 0$ なら上に、 $p < 0$ なら下に開く。

数学Ⅰの放物線 $y = a x^{2}$ の焦点と準線は？

焦点 $(0, \frac{1}{4 a})$ 、準線 $y = - \frac{1}{4 a}$

$x^{2} = \frac{1}{a} y$ と書き直して $x^{2} = 4 p y$ と比べると、 $4 p = \frac{1}{a}$ 。

放物線の方程式 $y^{2} = 4 p x$ と $x^{2} = 4 p y$ で、軸はどう見分けるか？

2 乗になっていないほうの文字の軸が、放物線の軸

$y^{2} = 4 p x$ は $x$ 軸が軸（左右に開く）、 $x^{2} = 4 p y$ は $y$ 軸が軸（上下に開く）。焦点は軸の上にある。

焦点が $(0, - 3)$ 、準線が $y = 3$ の放物線の方程式は？

$x^{2} = - 12 y$

焦点が $y$ 軸上なので $x^{2} = 4 p y$ の形で、 $p = - 3$ 。下に開く。

3. 二次曲線

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

放物線の方程式 $y^{2} = 4 p x$ は $x$ 、 $y$ の二次方程式です。このあと学ぶ楕円と双曲線も $x$ 、 $y$ の二次方程式で表されます。

二次曲線とは何か？

$x$ 、 $y$ の二次方程式で表される曲線。放物線・楕円・双曲線（と円）をまとめた呼び名

どれも「焦点からの距離」についての条件で定義され、座標軸をうまく置くと標準形というかんたんな式になる。

練習問題

問 1　放物線 $y^{2} = 12 x$ の焦点と準線を求めよ。

焦点 $(3, 0)$ 、準線 $x = - 3$

方針　2 乗になっているのが $y$ なので、標準形 $y^{2} = 4 p x$ の形。右辺を「 $4 p \times x$ 」と見て $p$ を読み取れば、焦点 $(p, 0)$ と準線 $x = - p$ はすぐに書ける。

2 乗になっているのは $y$ なので、標準形 $y^{2} = 4 p x$ と比べる。軸は $x$ 軸で、焦点は $x$ 軸上にある。
$x$ の係数を比べると $4 p = 12$ 。両辺を 4 で割って $p = 3$
焦点は $(p, 0)$ なので、 $(3, 0)$
準線は $x = - p$ なので、 $x = - 3$

ここで間違えやすい　右辺の係数 12 をそのまま $p$ と読まない。12 は $4 p$ にあたる。

問 2　放物線 $x^{2} = - 8 y$ の焦点と準線を求めよ。また、グラフはどちらに開くか。

焦点 $(0, - 2)$ 、準線 $y = 2$ 。下に開く

方針　2 乗になっているのが $x$ なので、標準形 $x^{2} = 4 p y$ の形。このとき軸は $y$ 軸で、焦点は $y$ 軸上の $(0, p)$ 、準線は $y = - p$ 。開く向きは $p$ の符号で決まる。

2 乗になっているのは $x$ なので、標準形 $x^{2} = 4 p y$ と比べる。軸は $y$ 軸で、焦点は $y$ 軸上にある。
$y$ の係数を比べると $4 p = - 8$ 。両辺を 4 で割って $p = - 2$
焦点は $(0, p)$ なので、 $(0, - 2)$
準線は $y = - p$ なので、 $p = - 2$ を入れて $y = 2$
$p < 0$ なので下に開く。実際、 $x^{2} ≧ 0$ から $- 8 y ≧ 0$ 、つまり $y ≦ 0$ の側にしかグラフが無い。

ここで間違えやすい　焦点と準線は頂点（原点）をはさんで反対側にある。焦点が下の $(0, - 2)$ なら、準線は上の $y = 2$ 。両方を $- 2$ にしない。

問 3　焦点が $(- 2, 0)$ 、準線が $x = 2$ の放物線の方程式を求めよ。

$y^{2} = - 8 x$

方針　焦点が $x$ 軸上にあり、準線が $x =$ （数）の形で、原点が焦点と準線のちょうど真ん中にある。これは標準形 $y^{2} = 4 p x$ の置き方なので、焦点の座標から $p$ を読めば式が決まる。

焦点が $x$ 軸上の $(- 2, 0)$ なので $y^{2} = 4 p x$ の形。焦点 $(p, 0)$ と比べて $p = - 2$
このとき準線は $x = - p$ で、 $p = - 2$ を入れると $x = 2$ 。問題の準線と合うので、標準形がそのまま使える。
$4 p$ を計算する。 $4 \times (- 2) = - 8$
よって、 $y^{2} = - 8 x$

定義から確かめる。放物線上の点を $P (x, y)$ とすると、焦点までの距離と準線までの距離が等しいので

$(x + 2)^{2} + y^{2} = ∣ x - 2 ∣$
両辺を 2 乗して、 $(x + 2)^{2} + y^{2} = (x - 2)^{2}$
展開して、 $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} = x^{2} - 4 x + 4$
$x^{2}$ と 4 が両辺で消えるので、 $4 x + y^{2} = - 4 x$ 。移項して $y^{2} = - 8 x$ 。同じ式になる。

問 4　放物線 $y = 2 x^{2}$ の焦点と準線を求めよ。

焦点 $(0, \frac{1}{8})$ 、準線 $y = - \frac{1}{8}$

方針　 $y = a x^{2}$ の形のままでは $p$ が読めない。2 乗の項を左辺に 1 つだけ残した $x^{2} = 4 p y$ の形に書き直してから、 $y$ の係数を $4 p$ と比べる。

両辺を 2 で割って左右を入れ替えると、 $x^{2} = \frac{1}{2} y$
2 乗になっているのは $x$ なので、標準形 $x^{2} = 4 p y$ と比べる。軸は $y$ 軸で、焦点は $y$ 軸上にある。
$y$ の係数を比べると、 $4 p = \frac{1}{2}$
両辺を 4 で割る。 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ なので、 $p = \frac{1}{8}$
焦点は $(0, p)$ なので $(0, \frac{1}{8})$ 、準線は $y = - p$ なので $y = - \frac{1}{8}$

ここで間違えやすい　 $y = 2 x^{2}$ の 2 を $4 p$ と読まない。 $4 p$ は、 $x^{2} =$ の形にしたときの $y$ の係数（ここでは $\frac{1}{2}$ ）。

問 5　放物線 $y^{2} = 8 x$ 上の点で、焦点からの距離が 6 である点の座標を求めよ。

$(4, 42)$ と $(4, - 42)$

方針　焦点までの距離を 2 点間の距離の公式で書くと、根号が出て計算が重い。放物線の定義「焦点までの距離 = 準線までの距離」を使えば、準線までの距離は $x$ 座標だけで書けるので、 $x$ がすぐに決まる。

$y^{2} = 4 p x$ と比べると $4 p = 8$ なので $p = 2$ 。焦点は $(2, 0)$ 、準線は $x = - 2$
放物線上の点を $(x, y)$ とする。 $y^{2} = 8 x$ で $y^{2} ≧ 0$ なので $x ≧ 0$ 。だから、準線 $x = - 2$ までの距離は $x + 2$
放物線の定義から、焦点までの距離も $x + 2$ に等しい。これが 6 なので $x + 2 = 6$ 、よって $x = 4$
$x = 4$ を $y^{2} = 8 x$ に代入する。 $8 \times 4 = 32$ なので、 $y^{2} = 32$
$32 = 42$ なので、 $y = 42$ または $y = - 42$
求める点は $(4, 42)$ と $(4, - 42)$

確かめると、焦点 $(2, 0)$ と点 $(4, 42)$ の距離は、 $x$ 座標の差が 2、 $y$ 座標の差が $42$ なので $4 + 32 = 36 = 6$ 。

ここで間違えやすい　 $y^{2} = 32$ の解は正と負の 2 つ。放物線は $x$ 軸について対称なので、点も上下に 2 つある。

問 6　直線 $x = - 2$ に接し、点 $A (2, 0)$ を通る円の中心 $P$ の軌跡を求めよ。

放物線 $y^{2} = 8 x$

方針　「直線に接する」は「中心から直線までの距離が半径」、「点を通る」は「中心からその点までの距離が半径」と言い換えられる。2 つの距離がどちらも半径で等しいので、放物線の定義（定点と定直線から等しい距離）がそのまま使える。

円が直線 $x = - 2$ に接するので、中心 $P$ から直線 $x = - 2$ までの距離は半径に等しい。
円が点 $A$ を通るので、 $P$ から $A$ までの距離も半径に等しい。
よって $P$ は、定点 $A (2, 0)$ と定直線 $x = - 2$ から等しい距離にある。 $A$ はこの直線上に無いので、 $P$ の軌跡は $A$ を焦点、直線 $x = - 2$ を準線とする放物線。
焦点 $(2, 0)$ 、準線 $x = - 2$ は、標準形 $y^{2} = 4 p x$ で $p = 2$ としたもの。
$4 \times 2 = 8$ なので、 $y^{2} = 8 x$

式でも確かめる。 $P (x, y)$ とすると、条件は $∣ x + 2 ∣ = (x - 2)^{2} + y^{2}$ 。

両辺を 2 乗して、 $(x + 2)^{2} = (x - 2)^{2} + y^{2}$
展開して、 $x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2}$
$x^{2}$ と 4 が両辺で消えて $4 x = - 4 x + y^{2}$ 。移項して $y^{2} = 8 x$ 。同じ式になる。