空間のベクトルと成分｜高校数学C

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (ウ)「座標及びベクトルの考えが平面から空間に拡張できることを理解すること。」。

0. どういうまとまりか

空間のベクトルも、平面のときと同じく「向きと大きさをもつ量」で、有向線分で表します。
相等・和・差・実数倍の決め方も、演算法則も、平面とまったく同じです。空間座標の上で成分を考えると、成分が 3 つになります。

	平面のベクトル	空間のベクトル
成分表示	$a = (a_{1}, a_{2})$	$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$
大きさ	$a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$	$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$
和・差・実数倍	成分ごとに計算	成分ごとに計算（同じ）
平行条件	$b = k a$	$b = k a$ （同じ）
すべてのベクトルを表すのに要る数	平行でない 2 つ	同じ平面上にない 3 つ

分かれ目は次の 3 つ。

変わるのは成分の個数だけ。計算の決まりは平面から何も変わらない
空間では、平行でない 2 つのベクトルだけでは足りない。 $s a + t b$ で表せるのは 1 つの平面の中だけ
平行条件 $b = k a$ は、3 つの成分すべてで同じ $k$ になることを確かめる

1. 空間のベクトルの演算

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ウ)

空間でも、2 つのベクトルは始点をそろえれば 1 つの平面の上にのります。だから和や差の作り方は平面のときのままです。

空間のベクトルの相等・和・差・実数倍は、平面のベクトルとどう違うか？

違わない。定義も演算法則（交換法則・結合法則・分配法則）も平面と同じ

向きと大きさが等しければ等しいベクトル。和は始点と終点をつなぎ、実数倍は向きを保って（負なら逆向きにして）大きさを変える。

平行六面体 $A B C D - E F G H$ で $A B = a$ 、 $A D = b$ 、 $A E = c$ とするとき、 $A G$ は？

$A G = a + b + c$

$A G = A B + B C + C G$ で、 $B C = A D = b$ 、 $C G = A E = c$ 。向かい合う辺は等しいベクトルになる。

同じ平面上にない 3 つのベクトル $a$ 、 $b$ 、 $c$ があるとき、空間の任意のベクトル $p$ はどう表せるか？

$p = s a + t b + u c$ の形に、ただ 1 通りに表せる（ $s$ 、 $t$ 、 $u$ は実数）

平面では平行でない 2 つのベクトルで足りた。空間では 1 つ増えて 3 つ要る。

同じ平面上にない $a$ 、 $b$ 、 $c$ について、 $s a + t b + u c = s^{'} a + t^{'} b + u^{'} c$ が成り立つとき、何が言えるか？

$s = s^{'}$ 、 $t = t^{'}$ 、 $u = u^{'}$ （係数を比べてよい）

表し方がただ 1 通りだから。 $a$ 、 $b$ 、 $c$ が同じ平面上にあるときは、係数を比べてはいけない。

空間で、 $s a + t b$ （ $a$ 、 $b$ は平行でない）の形で表せるベクトルは、どんな範囲に限られるか？

$a$ と $b$ が定める 1 つの平面に平行なベクトルだけ

その平面から外に出るには、平面上にない 3 つ目のベクトル $c$ が要る。

2. 成分表示

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ウ)

空間座標の原点 $O$ を始点にして $a = O A$ となる点 $A$ をとると、 $A$ の座標 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ がそのまま $a$ の成分になります。

空間のベクトルの成分表示とは？

$a = O A$ となる点 $A$ の座標 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ を使って、 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ と書くこと

$x$ 軸・ $y$ 軸・ $z$ 軸の正の向きの大きさ 1 のベクトル（基本ベクトル） $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ を使うと $a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ 。

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ が等しいのは、どんなときか？

$a_{1} = b_{1}$ 、 $a_{2} = b_{2}$ 、 $a_{3} = b_{3}$ のとき

3 つの成分がすべて等しいとき。1 つのベクトルの等式から、式が 3 本できる。

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ の大きさ $∣ a ∣$ は？

$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$

原点と点 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ の距離。平面の式に $a_{3}^{2}$ が増えただけ。

成分で表された空間のベクトルの和・差・実数倍は、どう計算するか？

成分ごとに計算する

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}) + (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$ 、 $k (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$ 。差も同じ。

2 点 $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $B (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ について、 $A B$ の成分と大きさは？

$A B = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3})$ 、 $∣ A B ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}$

終点の座標から始点の座標を引く。大きさは 2 点間の距離と同じ式になる。

$a = (1, - 2, 3)$ 、 $b = (2, 1, - 1)$ のとき、 $2 a - 3 b$ の成分は？

$(- 4, - 7, 9)$

$2 a = (2, - 4, 6)$ 、 $3 b = (6, 3, - 3)$ なので、 $(2 - 6, - 4 - 3, 6 + 3) = (- 4, - 7, 9)$ 。

$a = (2, - 1, 2)$ の大きさは？

$2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2} = 9 = 3$ 。

$0$ でない空間のベクトル $a$ 、 $b$ が平行である条件は？

$b = k a$ となる実数 $k$ があること

平面と同じ。成分では $b_{1} = k a_{1}$ 、 $b_{2} = k a_{2}$ 、 $b_{3} = k a_{3}$ が同じ $k$ で成り立つこと。

練習問題

問 1　 $a = (1, 2, - 2)$ 、 $b = (3, - 1, 4)$ のとき、 $a + b$ と $2 a - b$ の成分、および $∣ a ∣$ を求めよ。

$a + b = (4, 1, 2)$ 、 $2 a - b = (- 1, 5, - 8)$ 、 $∣ a ∣ = 3$

方針　成分で表されたベクトルの和・差・実数倍は、成分ごとに計算する。大きさは、成分の 2 乗をすべて足して平方根をとる。空間では成分が 3 つあるだけで、やり方は平面と同じ。

和は成分ごとに足す。 $a + b = (1 + 3, 2 - 1, - 2 + 4) = (4, 1, 2)$
$2 a$ は各成分を 2 倍する。 $2 a = (2 \times 1, 2 \times 2, 2 \times (- 2)) = (2, 4, - 4)$
そこから $b$ を成分ごとに引く。 $2 a - b = (2 - 3, 4 - (- 1), - 4 - 4) = (- 1, 5, - 8)$
大きさは成分の 2 乗の和の平方根。 $∣ a ∣ = 1^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2} = 1 + 4 + 4 = 9 = 3$

ここで間違えやすい　 $y$ 成分の引き算は $4 - (- 1)$ で、 $4 + 1 = 5$ になる。 $b$ の成分が負のとき、符号を落としやすい。

問 2　2 点 $A (2, - 1, 3)$ 、 $B (4, 2, - 3)$ について、 $A B$ の成分と大きさを求めよ。

$A B = (2, 3, - 6)$ 、 $∣ A B ∣ = 7$

方針　 $A B$ の成分は、終点 $B$ の座標から始点 $A$ の座標を引いたもの。成分が出れば、大きさは成分の 2 乗の和の平方根で求まる。

終点の座標から始点の座標を成分ごとに引く。 $A B = (4 - 2, 2 - (- 1), - 3 - 3) = (2, 3, - 6)$
成分を 2 乗して足す。 $2^{2} + 3^{2} + (- 6)^{2} = 4 + 9 + 36 = 49$
大きさはその正の平方根なので、 $∣ A B ∣ = 49 = 7$

ここで間違えやすい　引く順番は「終点 $-$ 始点」。逆にすると $B A = (- 2, - 3, 6)$ になる（大きさは同じ 7 だが、成分の符号がすべて逆）。

問 3　 $a = (2, - 3, x)$ と $b = (y, 6, - 8)$ が平行になるように、 $x$ 、 $y$ の値を定めよ。

$x = 4$ 、 $y = - 4$

方針　平行である条件は、 $b = k a$ となる実数 $k$ があること。成分で書くと式が 3 本できる。文字 $x$ 、 $y$ が入っていない $y$ 成分の式から先に $k$ を決め、残りの 2 本で $x$ 、 $y$ を求める。

$b = k a$ とおく。 $k a$ の成分は、 $x$ 成分が $2 k$ 、 $y$ 成分が $- 3 k$ 、 $z$ 成分が $k x$
$b$ の成分と比べて、 $y = 2 k$ 、 $6 = - 3 k$ 、 $- 8 = k x$
第 2 式には $k$ しか無いので、ここから $k$ が決まる。両辺を $- 3$ で割って、 $k = - 2$
第 1 式に入れると、 $y = 2 \times (- 2) = - 4$
第 3 式に入れると、 $- 8 = - 2 x$ 。両辺を $- 2$ で割って、 $x = 4$
確かめ。 $a = (2, - 3, 4)$ を $- 2$ 倍すると $(- 4, 6, - 8)$ で、 $b$ と一致する。

ここで間違えやすい　 $k$ は 3 つの成分すべてで同じ値でなければならない。 $k$ が負なので、 $a$ と $b$ は逆向きに平行である（逆向きでも平行と言う）。

問 4　 $a = (1, 1, 0)$ 、 $b = (0, 1, 1)$ 、 $c = (1, 0, 1)$ のとき、 $p = (4, 3, 5)$ を $s a + t b + u c$ の形で表せ。

$p = a + 2 b + 3 c$

方針　 $s a + t b + u c$ を成分で書いて $p$ の成分と比べると、 $s$ 、 $t$ 、 $u$ の連立方程式が 3 本できる。どの式も文字が 2 つずつなので、3 本を全部足して $s + t + u$ を先に出すと早い。

成分ごとに計算する。 $x$ 成分は $s \times 1 + t \times 0 + u \times 1 = s + u$ 、 $y$ 成分は $s \times 1 + t \times 1 + u \times 0 = s + t$ 、 $z$ 成分は $s \times 0 + t \times 1 + u \times 1 = t + u$
$p = (4, 3, 5)$ と成分を比べて、 $s + u = 4$ 、 $s + t = 3$ 、 $t + u = 5$
3 式を辺ごとに足す。左辺はどの文字も 2 回ずつ出るので $2 (s + t + u)$ 、右辺は $4 + 3 + 5 = 12$ 。よって $s + t + u = 6$
ここから $s + u = 4$ を引くと、 $t = 6 - 4 = 2$
$s + t = 3$ を引くと、 $u = 6 - 3 = 3$
$t + u = 5$ を引くと、 $s = 6 - 5 = 1$
確かめ。 $a + 2 b + 3 c$ の成分は $(1 + 3, 1 + 2, 2 + 3) = (4, 3, 5)$ で、 $p$ と一致する。

問 5　4 点 $A (1, 2, 3)$ 、 $B (3, 1, 4)$ 、 $C (4, 5, 6)$ 、 $D$ を頂点とする四角形 $A B C D$ が平行四辺形になるとき、点 $D$ の座標を求めよ。

$D (2, 6, 5)$

方針　四角形 $A B C D$ が平行四辺形になるのは、向かい合う辺 $A D$ と $B C$ が平行で長さが等しいとき。ベクトルで書くと $A D = B C$ の 1 本で済む。 $B$ 、 $C$ の座標は分かっているので、 $B C$ を出して $A$ から同じだけ進めばよい。

$B C$ の成分を出す。終点 $C$ の座標から始点 $B$ の座標を引いて、 $B C = (4 - 3, 5 - 1, 6 - 4) = (1, 4, 2)$
$A D = B C$ なので、 $A D = (1, 4, 2)$
$D$ の座標は、 $A$ の座標に $A D$ の成分を足したもの。 $(1 + 1, 2 + 4, 3 + 2) = (2, 6, 5)$
確かめ。 $A B = (3 - 1, 1 - 2, 4 - 3) = (2, - 1, 1)$ 、 $D C = (4 - 2, 5 - 6, 6 - 5) = (2, - 1, 1)$ で、もう 1 組の向かい合う辺も等しい。

ここで間違えやすい　頂点は $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ の順に一周するので、等しくなるのは $A D$ と $B C$ （または $A B$ と $D C$ ）。 $A B = C D$ とすると向きが逆になり、別の点が出る。

問 6　 $a = (3, 1, 2)$ 、 $b = (1, 1, 0)$ のとき、 $∣ a + t b ∣$ の最小値と、そのときの実数 $t$ の値を求めよ。

$t = - 2$ のとき最小値 $6$

方針　大きさには根号が付くので、そのままでは扱いにくい。大きさを 2 乗すると $t$ の二次式になるので、平方完成して最小値を求める。大きさは 0 以上だから、2 乗が最小のとき大きさも最小になる。

$a + t b$ の成分を出す。 $t b = (t, t, 0)$ なので、 $a + t b = (3 + t, 1 + t, 2)$
大きさの 2 乗は成分の 2 乗の和。 $∣ a + t b ∣^{2} = (3 + t)^{2} + (1 + t)^{2} + 2^{2}$
展開する。 $(t^{2} + 6 t + 9) + (t^{2} + 2 t + 1) + 4 = 2 t^{2} + 8 t + 14$
平方完成する。 $2 t^{2} + 8 t + 14 = 2 (t^{2} + 4 t) + 14 = 2 (t + 2)^{2} - 8 + 14 = 2 (t + 2)^{2} + 6$
$2 (t + 2)^{2} ≧ 0$ なので、2 乗は $t = - 2$ のとき最小値 $6$ をとる。
大きさは 0 以上なので、このとき大きさも最小で、最小値は $6$

ここで間違えやすい　 $6$ は大きさの 2 乗の最小値。答えは平方根をとった $6$ である。図で言えば、 $t = - 2$ のとき $a + t b = (1, - 1, 2)$ が $b$ と垂直になっている（内積は $1 - 1 + 0 = 0$ ）。