媒介変数表示｜高校数学C — みならいノート

学習指導要領数学C (2) 平面上の曲線と複素数平面ア (イ)「曲線の媒介変数表示について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

曲線上の点の座標 $(x, y)$ を、 $x$ と $y$ の関係式 1 本ではなく、別の 1 つの変数 $t$ を使って $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ の 2 本で表すことを、曲線の媒介変数表示といいます。 $t$ が媒介変数です。
$t$ を「時刻」と思えば、媒介変数表示は「時刻 $t$ に点がどこにいるか」を表す式です。 $t$ を消去すると、点が通る道すじ（曲線）の方程式が得られます。

曲線	方程式	媒介変数表示
円	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	$x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$
楕円	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$x = a cos θ$ 、 $y = b sin θ$
双曲線	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$x = \frac{a}{c o s θ}$ 、 $y = b tan θ$
放物線	$y^{2} = 4 p x$	$x = p t^{2}$ 、 $y = 2 pt$
サイクロイド	（ $x$ 、 $y$ のかんたんな式では書けない）	$x = a (θ - sin θ)$ 、 $y = a (1 - cos θ)$

分かれ目は次の 3 つ。

媒介変数を消去したら、 $x$ や $y$ の範囲を必ず確かめる。 $x = cos θ$ なら $- 1 ≦ x ≦ 1$ で、曲線の一部しか動かない
三角関数の消去は、2 乗の関係式に持ち込む。円と楕円は $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、双曲線は $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$
楕円は $a$ が $cos$ 、 $b$ が $sin$ に付く。 $x$ の分母が $a^{2}$ 、 $y$ の分母が $b^{2}$ であることに対応する

1. 媒介変数表示と媒介変数の消去

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(イ)

媒介変数表示された曲線がどんな図形かを知るには、2 つの式から媒介変数を消去して $x$ と $y$ の関係式を作ります。
ただし、消去した式が表す曲線の全体を点が動くとは限りません。媒介変数の動く範囲から、 $x$ や $y$ の範囲を調べます。

曲線の媒介変数表示とは何か？

曲線上の点の座標 $(x, y)$ を、1 つの変数 $t$ を使って $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ の形に表したもの

この変数 $t$ を媒介変数（パラメータ）という。 $t$ の値を 1 つ決めると、曲線上の点が 1 つ決まる。

媒介変数表示された曲線の方程式（ $x$ と $y$ の関係式）は、どう求めるか？

2 つの式から媒介変数を消去する。そのあと、 $x$ や $y$ のとりうる値の範囲を確かめる

一方の式を媒介変数について解いて他方に代入するか、三角関数なら 2 乗の関係式を使う。範囲を確かめないと、動かない部分まで答えに含めてしまう。

$x = t + 1$ 、 $y = t^{2}$ で媒介変数表示された曲線は？

放物線 $y = (x - 1)^{2}$

$x = t + 1$ から $t = x - 1$ 。これを $y = t^{2}$ に代入する。 $t$ はすべての実数値をとるので、 $x$ もすべての実数値をとり、放物線の全体になる。

$x = cos θ$ 、 $y = cos 2 θ$ で媒介変数表示された曲線は？

放物線 $y = 2 x^{2} - 1$ の $- 1 ≦ x ≦ 1$ の部分

2 倍角の公式 $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ に $x = cos θ$ を代入する。 $x = cos θ$ は $- 1$ から 1 までしか動かないので、放物線の一部になる。

1 つの曲線の媒介変数表示は、1 通りに決まるか？

決まらない（何通りもある）

放物線 $y = x^{2}$ は $x = t$ 、 $y = t^{2}$ とも、 $x = 2 t$ 、 $y = 4 t^{2}$ とも表せる。同じ道すじを、違う進み方でたどっているだけ。

2. 円と二次曲線の媒介変数表示

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(イ)

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点は、三角関数の定義から $(r cos θ, r sin θ)$ と表せます。
楕円は円を $y$ 軸方向に $\frac{b}{a}$ 倍した図形なので、円の媒介変数表示の $y$ だけを $\frac{b}{a}$ 倍すれば楕円の媒介変数表示になります。
楕円の $θ$ は、もとの円上の点の角です。楕円上の点と原点を結ぶ線分が $x$ 軸となす角ではありません。

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の媒介変数表示は？

$x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$

$θ$ は、点と原点を結ぶ線分が $x$ 軸の正の向きとなす角。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ から $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ が出る。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の媒介変数表示は？

$x = a cos θ$ 、 $y = b sin θ$

$\frac{x}{a} = cos θ$ 、 $\frac{y}{b} = sin θ$ を $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ に代入すると、楕円の方程式になる。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の媒介変数表示は？

$x = \frac{a}{c o s θ}$ 、 $y = b tan θ$

$\frac{x}{a} = \frac{1}{c o s θ}$ 、 $\frac{y}{b} = tan θ$ を $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ に代入すると、双曲線の方程式になる。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ の媒介変数表示は？

$x = p t^{2}$ 、 $y = 2 pt$

$y^{2} = 4 p^{2} t^{2}$ と $4 p x = 4 p^{2} t^{2}$ が等しい。 $t$ がすべての実数値をとると、放物線の全体を動く。

媒介変数 $θ$ を消去するとき、円・楕円と双曲線ではそれぞれどの関係式を使うか？

円・楕円は $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 、双曲線は $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$

$cos θ$ と $sin θ$ の組なら前者、 $\frac{1}{c o s θ}$ と $tan θ$ の組なら後者。和が 1 になるか、差が 1 になるかの違い。

$x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ で表される曲線を、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の媒介変数表示は？

$x = f (t) + p$ 、 $y = g (t) + q$

各点の座標に移動の量を足すだけ。中心が $(p, q)$ 、半径が $r$ の円なら $x = r cos θ + p$ 、 $y = r sin θ + q$ 。

3. サイクロイド

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(イ)

媒介変数表示を使うと、 $x$ と $y$ のかんたんな関係式では書けない曲線も表せます。その代表がサイクロイドです。
半径 $a$ の円が $x$ 軸に接しながら角 $θ$ だけ回転すると、すべらずに転がるので中心は $(a θ, a)$ に進みます。
はじめ原点にあった円周上の点 $P$ は、中心から見て $(- a sin θ, - a cos θ)$ の位置にあるので、この 2 つを足したものが $P$ の座標です。

サイクロイドとは、どんな曲線か？

円が定直線上をすべることなく転がるとき、円周上の定点がえがく曲線

自転車の車輪のふちに付けた印の動き。円が 1 回転するごとに、同じ山の形をくり返す。

半径 $a$ の円が $x$ 軸上を転がるときのサイクロイドの媒介変数表示は？（ $θ$ は円が回転した角）

$x = a (θ - sin θ)$ 、 $y = a (1 - cos θ)$

円の中心 $(a θ, a)$ に、中心から見た点の位置 $(- a sin θ, - a cos θ)$ を足したもの。 $θ = 2 π$ で 1 回転し、点は $x$ 軸上の $(2 π a, 0)$ に戻る。

練習問題

問 1　 $x = 2 t - 1$ 、 $y = 4 t^{2}$ で媒介変数表示された曲線の方程式を求めよ。

放物線 $y = (x + 1)^{2}$

方針　媒介変数 $t$ を消去して、 $x$ と $y$ だけの式を作る。 $x$ の式は $t$ の一次式なので、 $t$ （ここでは $2 t$ のかたまり）について解いて $y$ の式に代入する。最後に、 $x$ のとりうる値の範囲を確かめる。

$x = 2 t - 1$ の $- 1$ を移項して、 $2 t = x + 1$
$y = 4 t^{2}$ は、 $2 t$ のかたまりで書くと $y = (2 t)^{2}$
$2 t = x + 1$ を代入して、 $y = (x + 1)^{2}$
範囲を確かめる。 $t$ はすべての実数値をとるので、 $x = 2 t - 1$ もすべての実数値をとる。だから、放物線 $y = (x + 1)^{2}$ の全体を動く。

$t$ について解いて $t = \frac{x + 1}{2}$ を代入しても同じで、 $y = 4 \times \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4}$ から $y = (x + 1)^{2}$ になる。

問 2　 $x = 3 cos θ + 1$ 、 $y = 2 sin θ - 1$ で媒介変数表示された曲線の方程式を求めよ。

楕円 $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} = 1$

方針　 $cos θ$ と $sin θ$ の組で表されているので、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使って $θ$ を消去する。そのために、まず 2 つの式を $cos θ$ 、 $sin θ$ について解く。

$x = 3 cos θ + 1$ の 1 を移項して $x - 1 = 3 cos θ$ 。両辺を 3 で割って、 $cos θ = \frac{x - 1}{3}$
$y = 2 sin θ - 1$ の $- 1$ を移項して $y + 1 = 2 sin θ$ 。両辺を 2 で割って、 $sin θ = \frac{y + 1}{2}$
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ に代入して、 $(\frac{y + 1}{2})^{2} + (\frac{x - 1}{3})^{2} = 1$
2 乗を計算して順番を入れ替えると、 $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{4} = 1$
これは、楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ を $x$ 軸方向に 1、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動したもの（中心は $(1, - 1)$ ）。
範囲を確かめる。 $cos θ$ と $sin θ$ はどちらも $- 1$ から 1 まで動くので、 $- 2 ≦ x ≦ 4$ 、 $- 3 ≦ y ≦ 1$ 。これはこの楕円がもともとある範囲と同じで、 $θ$ が 0 から $2 π$ まで動くと点は楕円を 1 周する。だから、楕円の全体を動く。

ここで間違えやすい　 $x - 1$ の分母は $x$ の式の係数 3 の 2 乗で 9、 $y + 1$ の分母は $y$ の式の係数 2 の 2 乗で 4。 $cos$ に付く数が $x$ の側、 $sin$ に付く数が $y$ の側に来る。

問 3　 $x = sin θ$ 、 $y = cos 2 θ$ で媒介変数表示された曲線を求めよ。

放物線 $y = 1 - 2 x^{2}$ の $- 1 ≦ x ≦ 1$ の部分

方針　 $y$ の式の角が $2 θ$ なので、2 倍角の公式で角を $θ$ にそろえる。 $x$ が $sin θ$ なので、 $cos 2 θ$ の 3 つの形のうち、 $sin θ$ だけで書ける $1 - 2 sin^{2} θ$ を選ぶ。消去したあと、 $x$ の範囲を必ず確かめる。

2 倍角の公式から、 $y = cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$
$sin θ = x$ を代入して、 $y = 1 - 2 x^{2}$
範囲を確かめる。 $- 1 ≦ sin θ ≦ 1$ なので、 $- 1 ≦ x ≦ 1$
このとき $y$ は、 $x = 0$ で最大の 1、 $x = \pm 1$ で最小の $1 - 2 \times 1 = - 1$ をとるので、 $- 1 ≦ y ≦ 1$ 。これは $y = cos 2 θ$ が $- 1$ から 1 まで動くことと合っている。
よって、放物線 $y = 1 - 2 x^{2}$ のうち、 $- 1 ≦ x ≦ 1$ の部分だけを動く。

ここで間違えやすい　範囲を書かずに「放物線 $y = 1 - 2 x^{2}$ 」と答えると、点が動かない部分（ $x > 1$ や $x < - 1$ ）まで含めてしまう。三角関数を消去したら、必ず範囲を付ける。

問 4　 $x = \frac{2}{c o s θ}$ 、 $y = 3 tan θ$ で媒介変数表示された曲線の方程式を求めよ。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$

方針　 $\frac{1}{c o s θ}$ と $tan θ$ の組で表されているので、この 2 つを結ぶ関係式 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ を使って $θ$ を消去する。そのために、まず 2 つの式を $\frac{1}{c o s θ}$ 、 $tan θ$ について解く。

$x = \frac{2}{c o s θ}$ の両辺を 2 で割って、 $\frac{1}{c o s θ} = \frac{x}{2}$
$y = 3 tan θ$ の両辺を 3 で割って、 $tan θ = \frac{y}{3}$
$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ に代入して、 $1 + \frac{y ^{2}}{9} = \frac{x ^{2}}{4}$
$\frac{y ^{2}}{9}$ を右辺に移して左右を入れ替えると、 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$
範囲を確かめる。 $cos θ$ は $- 1$ から 1 まで（0 を除く）動くので、 $\frac{1}{c o s θ}$ は 1 以上か $- 1$ 以下。よって $x ≧ 2$ または $x ≦ - 2$ 。 $tan θ$ はすべての実数値をとるので、 $y$ はすべての実数値をとる。
双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は、もともと $x ≧ 2$ と $x ≦ - 2$ の 2 つの枝だけでできている。だから、双曲線の全体を動く。

ここで間違えやすい　使う関係式を $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ と取り違えて、和の形（楕円）にしない。 $\frac{1}{c o s θ}$ と $tan θ$ の組は、差が 1 になる。

問 5　 $t > 0$ のとき、 $x = t + \frac{1}{t}$ 、 $y = t - \frac{1}{t}$ で媒介変数表示された曲線を求めよ。

双曲線 $x^{2} - y^{2} = 4$ の $x ≧ 2$ の部分（右側の枝）

方針　 $t$ について解くのは難しいので、 $x$ と $y$ をそれぞれ 2 乗してみる。どちらにも $t^{2} + \frac{1}{t ^{2}}$ が出るので、引き算すれば $t$ が消える。そのあと、条件 $t > 0$ から $x$ と $y$ のとりうる値の範囲を調べる。

$x$ を 2 乗する。 $t$ と $\frac{1}{t}$ の積は 1 なので、真ん中の項は 2 になり、 $x^{2} = t^{2} + 2 + \frac{1}{t ^{2}}$
$y$ も同じように 2 乗して、 $y^{2} = t^{2} - 2 + \frac{1}{t ^{2}}$
上の式から下の式を引く。 $t^{2}$ と $\frac{1}{t ^{2}}$ が消えて、残るのは $2 - (- 2) = 4$ 。よって $x^{2} - y^{2} = 4$
$x$ の範囲を調べる。 $t > 0$ で $\frac{1}{t} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係から $t + \frac{1}{t} ≧ 2 t \cdot \frac{1}{t}$ 。根号の中は 1 なので右辺は 2 で、 $x ≧ 2$ 。等号は $t = \frac{1}{t}$ 、つまり $t = 1$ のとき。
$y$ の範囲を調べる。 $y = t - \frac{1}{t}$ は、 $t$ が 0 に近づくといくらでも小さくなり、 $t$ が大きくなるといくらでも大きくなる。だから $y$ はすべての実数値をとる。
よって、双曲線 $x^{2} - y^{2} = 4$ のうち $x ≧ 2$ の部分（右側の枝）の全体を動く。

ここで間違えやすい　 $x^{2} - y^{2} = 4$ を出したところで止めて「双曲線」と答えない。 $t > 0$ では $x$ が正にしかならないので、左側の枝（ $x ≦ - 2$ ）は通らない。

問 6　サイクロイド $x = 2 (θ - sin θ)$ 、 $y = 2 (1 - cos θ)$ について、 $θ = \frac{π}{2}$ と $θ = π$ に対応する点の座標を求めよ。

$θ = \frac{π}{2}$ のとき $(π - 2, 2)$ 、 $θ = π$ のとき $(2 π, 4)$

方針　媒介変数の値が与えられているので、 $x$ と $y$ の式に代入するだけでよい。先に $sin θ$ と $cos θ$ の値を求めておき、それから式に入れる。 $θ$ そのもの（角の大きさ）も $x$ の式に入ることに注意する。

$θ = \frac{π}{2}$ のとき、 $sin θ = 1$ 、 $cos θ = 0$
$x$ の式に入れて $x = 2 (\frac{π}{2} - 1)$ 。かっこを外して、 $x = π - 2$
$y$ の式に入れると、かっこの中は $1 - 0 = 1$ なので、 $y = 2$ 。点は $(π - 2, 2)$
$θ = π$ のとき、 $sin θ = 0$ 、 $cos θ = - 1$
$x$ の式に入れると、かっこの中は $π - 0$ で $π$ なので、 $x = 2 π$
$y$ の式に入れると、かっこの中は $1 - (- 1) = 2$ なので、 $y$ は $2 \times 2 = 4$ 。点は $(2 π, 4)$

$θ = π$ の点は山の頂上で、高さは転がる円（半径 2）の直径 4 に等しい。

ここで間違えやすい　 $x$ の式の $θ$ は角度そのものの値（弧度法）で、 $\frac{π}{2}$ や $π$ をそのまま入れる。 $sin$ や $cos$ の値と混ぜない。