二次曲線の平行移動と直線｜高校数学C

学習指導要領数学C (2) 平面上の曲線と複素数平面ア (ア)「放物線，楕円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

放物線・楕円・双曲線の 3 つの二次曲線を、まとめて扱います。やることは 3 つです。
標準形の曲線を平行移動すること、二次曲線と直線の共有点を調べること、曲線上の点での接線を求めることです。
どれも、数学Ⅱで円について学んだやり方（平方完成・判別式・接線の公式）がそのまま使えます。

	放物線	楕円	双曲線
定義	焦点と準線から等しい距離	2 つの焦点からの距離の和が一定	2 つの焦点からの距離の差が一定
標準形	$y^{2} = 4 p x$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$
焦点	$(p, 0)$	$(\pm a^{2} - b^{2}, 0)$ （ $a > b$ ）	$(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$
準線・漸近線	準線 $x = - p$	—	漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$
点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線	$y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$	$\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$	$\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$

分かれ目は次の 3 つ。

平行移動は、式では $x$ を $x - p$ 、 $y$ を $y - q$ に置き換える。図形が $+ p$ 動くとき、式は $- p$ になる
焦点・準線・漸近線は、標準形で求めてから同じだけ移す。移動後の式から直接読もうとしない
共有点が 1 個でも接するとは限らない。放物線の軸に平行な直線、双曲線の漸近線に平行な直線は、1 点で交わるだけ

なお、このパックで扱う二次曲線は標準形とその平行移動までです。曲線を回転させた式（ $x y$ の項をもつ式）は、学習指導要領の範囲に含まれません。

1. 二次曲線の平行移動

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

曲線を平行移動しても、形は変わりません。焦点・頂点・準線・漸近線も、曲線と一緒に同じだけ動きます。
展開された式は、 $x$ と $y$ のそれぞれについて平方完成すると、どの標準形をどれだけ平行移動したものかが読めます。

方程式 $F (x, y) = 0$ で表される曲線を、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は？

$F (x - p, y - q) = 0$

$x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換える。図形が正の向きに動くとき、式では引き算になる。

二次曲線を平行移動したとき、焦点・準線・漸近線はどうなるか？

曲線と同じだけ平行移動する

長軸や短軸の長さ、焦点の間の距離、漸近線の傾きなど、形を決める量は変わらない。標準形で求めてから移す。

楕円 $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{25} + \frac{( y + 1 ) ^{2}}{9} = 1$ の中心と焦点は？

中心 $(2, - 1)$ 、焦点 $(6, - 1)$ と $(- 2, - 1)$

楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ （焦点 $(\pm 4, 0)$ ）を $x$ 軸方向に 2、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動したもの。

放物線 $(y - 1)^{2} = 8 (x + 3)$ の頂点、焦点、準線は？

頂点 $(- 3, 1)$ 、焦点 $(- 1, 1)$ 、準線 $x = - 5$

放物線 $y^{2} = 8 x$ （焦点 $(2, 0)$ 、準線 $x = - 2$ ）を $x$ 軸方向に $- 3$ 、 $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動したもの。

双曲線 $\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の漸近線は？

2 直線 $y - q = \frac{b}{a} (x - p)$ と $y - q = - \frac{b}{a} (x - p)$

もとの漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ を同じだけ平行移動したもの。中心 $(p, q)$ を通り、傾きは変わらない。

$A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0$ の形の式（ $x y$ の項が無い）が表す二次曲線の種類は、どこを見て、どう確かめるか？

$x^{2}$ と $y^{2}$ の係数の符号を見て、平方完成で標準形の平行移動に直して確かめる

係数が同符号なら楕円（等しければ円）、異符号なら双曲線、 $x^{2}$ か $y^{2}$ の一方しか無ければ放物線。

2. 二次曲線と直線の共有点

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

二次曲線と直線の共有点の座標は、2 つの方程式を連立させた解です。直線の式を曲線の式に代入して 1 文字を消去すると、ふつうは二次方程式になり、その実数解の個数が共有点の個数になります。

二次曲線と直線の共有点の個数は、どう調べるか？

2 つの式から 1 文字を消去し、得られた二次方程式の判別式 $D$ の符号を見る

$D > 0$ なら 2 点で交わり、 $D = 0$ なら接し（共有点 1 個）、 $D < 0$ なら共有点が無い。円と直線のときと同じ。

二次曲線と直線の式から 1 文字を消去したら一次方程式になった。このとき、直線と曲線はどんな関係か？

1 点で交わるが、接してはいない

放物線とその軸に平行な直線、双曲線とその漸近線に平行な直線のとき起こる。判別式が使えるのは二次方程式になったときだけ。

3. 二次曲線の接線

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線には公式があります。円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の接線 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ と同じ形で、2 乗の片方を接点の座標に置き換えます。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$

$x^{2}$ を $x_{1} x$ に、 $y^{2}$ を $y_{1} y$ に置き換えた形。円の接線 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ と同じつくり。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$

楕円の接線の式で、 $y$ の項の符号を双曲線の式に合わせてマイナスにしたもの。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$

$y^{2}$ を $y_{1} y$ に、 $x$ を $\frac{x + x _{1}}{2}$ に置き換えた形。 $4 p$ が $2 p$ になることに注意。

二次曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線の公式は、もとの式をどう置き換えると作れるか？

$x^{2}$ を $x_{1} x$ に、 $y^{2}$ を $y_{1} y$ に、1 次の $x$ を $\frac{x + x _{1}}{2}$ に、1 次の $y$ を $\frac{y + y _{1}}{2}$ に置き換える

2 乗の項は片方だけを接点の座標にし、1 次の項は接点との平均にする。放物線・楕円・双曲線のどれにも使える。

曲線上に無い点から二次曲線に引いた接線は、どう求めるか？

接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおいて接線の公式を書き、「その接線が与えられた点を通る」「接点が曲線上にある」の 2 つの式を連立させる

傾きを $m$ とおいた直線の式を曲線の式に代入し、判別式 $D = 0$ から $m$ を求めてもよい。

【発展】離心率による二次曲線の統一的な定義

定点 $F$ からの距離と、 $F$ を通らない定直線 $l$ からの距離の比が $e : 1$ で一定である点の軌跡は、 $F$ を焦点の 1 つとする二次曲線になる。
この $e$ を離心率、 $l$ を準線という。 $0 < e < 1$ なら楕円、 $e = 1$ なら放物線、 $e > 1$ なら双曲線。

放物線の定義は $e = 1$ の場合にあたる。焦点が $x$ 軸上にある標準形の楕円と双曲線では、中心から焦点までの距離を $c$ として $e = \frac{c}{a}$ 、準線は $x = \frac{a}{e}$ と $x = - \frac{a}{e}$ の 2 本。
たとえば楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は $c = 4$ なので $e = \frac{4}{5}$ 、焦点 $(4, 0)$ に対応する準線は $x = \frac{25}{4}$ 。

学習指導要領の解説は離心率を例として挙げるだけなので、このパックではカードにしていない。

練習問題

問 1　方程式 $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 16 y - 11 = 0$ はどんな図形を表すか。中心と焦点も求めよ。

楕円 $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} = 1$ 。中心 $(1, - 2)$ 、焦点 $(1, - 2 + 5)$ と $(1, - 2 - 5)$

方針　 $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数が同じ符号で値が違うので、楕円だと見当がつく。 $x$ と $y$ のそれぞれについて平方完成し、標準形を平行移動した形に直す。焦点は、移動後の式から直接読まず、標準形で求めてから同じだけ移す。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめ、定数を右辺に移す。 $9 (x^{2} - 2 x) + 4 (y^{2} + 4 y) = 11$
かっこの中を平方完成する。 $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ 、 $y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4$
代入してかっこを外すと、 $9 (x - 1)^{2} - 9 + 4 (y + 2)^{2} - 16 = 11$
$- 9$ と $- 16$ を右辺に移す。右辺は $11 + 9 + 16 = 36$ なので、 $9 (x - 1)^{2} + 4 (y + 2)^{2} = 36$
両辺を 36 で割って、 $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{9} = 1$
これは、楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の $x$ を $x - 1$ に、 $y$ を $y + 2$ に置き換えた式。つまり $x$ 軸方向に 1、 $y$ 軸方向に $- 2$ だけ平行移動した楕円で、中心は原点が移った $(1, - 2)$
もとの楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は、 $y^{2}$ の分母 9 のほうが大きいので縦長で、焦点は $y$ 軸上。 $9 - 4 = 5$ から、焦点は $(0, 5)$ と $(0, - 5)$
焦点も同じだけ移す。 $x$ 座標に 1 を足し、 $y$ 座標に $- 2$ を足して、 $(1, - 2 + 5)$ と $(1, - 2 - 5)$

ここで間違えやすい　平方完成で出る $- 1$ と $- 4$ には、かっこの外の係数が掛かる（9 倍で $- 9$ 、4 倍で $- 16$ ）。右辺に足すのは 1 と 4 ではなく 9 と 16。また、 $y + 2$ は $y$ 軸方向に $- 2$ の移動で、符号が逆になる。

問 2　方程式 $y^{2} - 4 y - 4 x = 0$ はどんな図形を表すか。頂点、焦点、準線も求めよ。

放物線 $(y - 2)^{2} = 4 (x + 1)$ 。頂点 $(- 1, 2)$ 、焦点 $(0, 2)$ 、準線 $x = - 2$

方針　2 乗の項が $y^{2}$ だけで $x^{2}$ が無いので、放物線だと見当がつく。2 乗になっている $y$ について平方完成し、 $(y - q)^{2} = 4 p (x - s)$ の形にすれば、 $y^{2} = 4 p x$ をどれだけ平行移動したものかが読める。

$y$ について平方完成する。 $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$
もとの式に代入して、 $(y - 2)^{2} - 4 - 4 x = 0$
$- 4$ と $- 4 x$ を右辺に移して、 $(y - 2)^{2} = 4 x + 4$
右辺を 4 でくくって、 $(y - 2)^{2} = 4 (x + 1)$
これは、放物線 $y^{2} = 4 x$ の $x$ を $x + 1$ に、 $y$ を $y - 2$ に置き換えた式。つまり $x$ 軸方向に $- 1$ 、 $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動した放物線。
もとの放物線 $y^{2} = 4 x$ は、 $4 p = 4$ から $p = 1$ 。頂点は原点、焦点は $(1, 0)$ 、準線は $x = - 1$
同じだけ移す。頂点は $(- 1, 2)$ 。焦点は $(1, 0)$ の $x$ 座標に $- 1$ 、 $y$ 座標に 2 を足して $(0, 2)$
準線 $x = - 1$ は、 $x$ 軸方向に $- 1$ 動いて $x = - 2$ 。 $y$ 軸方向に動かしても、 $y$ 軸に平行な直線は変わらない。

ここで間違えやすい　 $x + 1$ は $x$ 軸方向に $- 1$ の移動（符号が逆）。頂点を $(1, - 2)$ としない。

問 3　方程式 $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 16 y - 19 = 0$ はどんな図形を表すか。中心、焦点、漸近線も求めよ。

双曲線 $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} - (y - 2)^{2} = 1$ 。中心 $(- 1, 2)$ 、焦点 $(- 1 + 5, 2)$ と $(- 1 - 5, 2)$ 、漸近線 $y - 2 = \pm \frac{1}{2} (x + 1)$

方針　 $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数の符号が違うので、双曲線だと見当がつく。 $x$ と $y$ のそれぞれについて平方完成して標準形を平行移動した形に直し、焦点と漸近線は標準形で求めてから同じだけ移す。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめ、定数を右辺に移す。 $y$ の項は $- 4$ でくくるので、 $(x^{2} + 2 x) - 4 (y^{2} - 4 y) = 19$
かっこの中を平方完成する。 $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ 、 $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$
代入して、 $(x + 1)^{2} - 1 - 4 {(y - 2)^{2} - 4} = 19$
中かっこを外す。 $- 4$ と $- 4$ を掛けると 16 なので、 $(x + 1)^{2} - 1 - 4 (y - 2)^{2} + 16 = 19$
$- 1$ と 16 を右辺に移す。右辺は $19 + 1 - 16 = 4$ なので、 $(x + 1)^{2} - 4 (y - 2)^{2} = 4$
両辺を 4 で割って、 $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} - (y - 2)^{2} = 1$
これは、双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ の $x$ を $x + 1$ に、 $y$ を $y - 2$ に置き換えた式。つまり $x$ 軸方向に $- 1$ 、 $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動した双曲線で、中心は $(- 1, 2)$
もとの双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ は、 $a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 1$ から $a = 2$ 、 $b = 1$ 。右辺が 1 なので焦点は $x$ 軸上で、 $4 + 1 = 5$ から $(5, 0)$ と $(- 5, 0)$ 。漸近線は $y = \pm \frac{1}{2} x$
同じだけ移す。焦点は $x$ 座標に $- 1$ 、 $y$ 座標に 2 を足して $(- 1 + 5, 2)$ と $(- 1 - 5, 2)$ 。漸近線は $x$ を $x + 1$ に、 $y$ を $y - 2$ に置き換えて $y - 2 = \pm \frac{1}{2} (x + 1)$

ここで間違えやすい　 $y$ の項を $- 4$ でくくると、かっこの中は $y^{2} - 4 y$ になる（ $16 y$ の符号が変わる）。 $y^{2} + 4 y$ のままにすると、中心の $y$ 座標の符号が逆になる。

問 4　楕円 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を、定数 $k$ の値で分類せよ。

$- 5 < k < 5$ のとき 2 個、 $k = \pm 5$ のとき 1 個（接する）、 $k < - 5$ または $5 < k$ のとき 0 個

方針　共有点の座標は、2 つの式を連立させた解。直線の式を楕円の式に代入して $y$ を消すと $x$ の二次方程式になり、その実数解の個数が共有点の個数になる。だから、判別式 $D$ の符号を $k$ の値で分ける。

$y = x + k$ を $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ に代入して、 $x^{2} + 4 (x + k)^{2} = 4$
$(x + k)^{2} = x^{2} + 2 k x + k^{2}$ と展開して、 $x^{2} + 4 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} = 4$
整理して、 $5 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} - 4 = 0$
$x$ の係数 $8 k$ は $2 \times 4 k$ の形なので、判別式 $D$ は $\frac{D}{4}$ で計算する。 $\frac{D}{4} = (4 k)^{2} - 5 (4 k^{2} - 4)$
展開すると $16 k^{2} - 20 k^{2} + 20$ で、まとめて $\frac{D}{4} = - 4 k^{2} + 20$
$- 4$ でくくると $- 4 (k^{2} - 5)$ 。 $D$ の符号は、 $k^{2} - 5$ の符号と逆になる。
$D > 0$ になるのは $k^{2} - 5 < 0$ 、つまり $k^{2} < 5$ のときで、 $- 5 < k < 5$ 。このとき共有点は 2 個
$D = 0$ になるのは $k^{2} = 5$ 、つまり $k = \pm 5$ のとき。このとき共有点は 1 個で、直線は楕円に接する。
$D < 0$ になるのは $k^{2} > 5$ 、つまり $k < - 5$ または $5 < k$ のとき。このとき共有点は無い。

ここで間違えやすい　 $- 4 k^{2} + 20 > 0$ を解くとき、 $- 4$ で割ると不等号の向きが変わる。 $k^{2} > 5$ としない。図で考えると、 $k$ は直線の $y$ 切片なので、切片が 0 に近いときに楕円と 2 点で交わるのが自然。

問 5　次の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。
(1) 楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 上の点 $(2, 1)$
(2) 放物線 $y^{2} = 4 x$ 上の点 $(1, 2)$
(3) 双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 上の点 $(4, 6)$

(1) $x + 2 y = 4$ 　(2) $y = x + 1$ 　(3) $2 x - y = 2$

方針　与えられた点は曲線上にある（接点である）ので、接線の公式がそのまま使える。楕円と双曲線は $x^{2}$ を $x_{1} x$ に、 $y^{2}$ を $y_{1} y$ に置き換える。放物線 $y^{2} = 4 p x$ は $y^{2}$ を $y_{1} y$ に、 $x$ を $\frac{x + x _{1}}{2}$ に置き換えて $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ 。

(1) 点 $(2, 1)$ が楕円上にあることを確かめる。 $\frac{4}{8} + \frac{1}{2} = 1$ なので、曲線上にある。
(1) 公式 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ に $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1$ 、 $a^{2} = 8$ 、 $b^{2} = 2$ を入れて、 $\frac{2 x}{8} + \frac{y}{2} = 1$
(1) 約分して $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 。両辺に 4 を掛けて、 $x + 2 y = 4$
(2) $y^{2} = 4 x$ は $4 p = 4$ から $p = 1$ 。点 $(1, 2)$ は $2^{2} = 4 \times 1$ なので、曲線上にある。
(2) 公式 $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$ に $x_{1} = 1$ 、 $y_{1} = 2$ 、 $p = 1$ を入れて、 $2 y = 2 (x + 1)$
(2) 両辺を 2 で割って、 $y = x + 1$
(3) 点 $(4, 6)$ が双曲線上にあることを確かめる。 $\frac{16}{4} - \frac{36}{12} = 4 - 3 = 1$ なので、曲線上にある。
(3) 公式 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ に $x_{1} = 4$ 、 $y_{1} = 6$ 、 $a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 12$ を入れて、 $\frac{4 x}{4} - \frac{6 y}{12} = 1$
(3) 約分して $x - \frac{y}{2} = 1$ 。両辺に 2 を掛けて、 $2 x - y = 2$

(3) を確かめる。接線 $y = 2 x - 2$ を、双曲線の式の両辺に 12 を掛けた $3 x^{2} - y^{2} = 12$ に代入すると $3 x^{2} - (2 x - 2)^{2} = 12$ 。展開して $3 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x - 4 = 12$ 、整理して $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ 、つまり $(x - 4)^{2} = 0$ 。重解 $x = 4$ をもつので、共有点は接点 $(4, 6)$ だけになる。

ここで間違えやすい　放物線の公式は右辺が $2 p$ （ $4 p$ の半分）。 $2 y = 4 (x + 1)$ としない。 $x$ を $\frac{x + x _{1}}{2}$ に置き換えるので、 $4 p$ が 2 で割られる。

問 6　点 $A (0, 2)$ から楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。

接線は $3 x + 2 y = 4$ と $- 3 x + 2 y = 4$ 。接点はそれぞれ $(3, \frac{1}{2})$ 、 $(- 3, \frac{1}{2})$

方針　点 $A$ は楕円上に無い（代入すると左辺は 4 で、1 にならない）ので、 $A$ を接点として公式に入れることはできない。接点を $(x_{1}, y_{1})$ と文字でおいて接線の公式を書き、「その接線が $A$ を通る」「接点が楕円上にある」の 2 つの式から $x_{1}$ 、 $y_{1}$ を求める。

接点を $(x_{1}, y_{1})$ とおくと、接線の公式から、接線は $\frac{x _{1} x}{4} + y_{1} y = 1$
この直線が $A (0, 2)$ を通るので、 $x = 0$ 、 $y = 2$ を代入する。 $x$ の項が消えて $2 y_{1} = 1$ 、よって $y_{1} = \frac{1}{2}$
接点は楕円上にあるので、 $\frac{x _{1}^{2}}{4} + y_{1}^{2} = 1$ 。 $y_{1} = \frac{1}{2}$ を入れて、 $\frac{x _{1}^{2}}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$\frac{1}{4}$ を移項して $\frac{x _{1}^{2}}{4} = \frac{3}{4}$ 。両辺に 4 を掛けて $x_{1}^{2} = 3$ 、よって $x_{1} = 3$ または $x_{1} = - 3$
接点は $(3, \frac{1}{2})$ と $(- 3, \frac{1}{2})$
$x_{1} = 3$ のとき、接線は $\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} y = 1$ 。両辺に 4 を掛けて、 $3 x + 2 y = 4$
$x_{1} = - 3$ のとき、接線は $- \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} y = 1$ 。両辺に 4 を掛けて、 $- 3 x + 2 y = 4$

確かめると、どちらの式も $x = 0$ 、 $y = 2$ を入れると左辺が $2 \times 2 = 4$ になり、 $A$ を通っている。

ここで間違えやすい　 $x_{1}^{2} = 3$ の解は正と負の 2 つで、接線は 2 本ある。楕円の外の点からは、ふつう接線が 2 本引ける。