双曲線｜高校数学C — みならいノート

学習指導要領数学C (2) 平面上の曲線と複素数平面ア (ア)「放物線，楕円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

2 定点 $F$ 、 $F^{'}$ からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、 $F$ 、 $F^{'}$ を双曲線の焦点といいます。
焦点を $x$ 軸上の $(c, 0)$ 、 $(- c, 0)$ に置き、距離の差を $2 a$ とすると、方程式は $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ）になります。
これが双曲線の方程式の標準形です。楕円の「和」を「差」に変えただけですが、曲線は 2 つの枝に分かれ、漸近線をもちます。双曲線も二次曲線の 1 つです。

	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$
焦点	$(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$	$(0, \pm a^{2} + b^{2})$
頂点	$(\pm a, 0)$	$(0, \pm b)$
距離の差	$2 a$	$2 b$
漸近線	$y = \pm \frac{b}{a} x$	$y = \pm \frac{b}{a} x$
枝の向き	左右	上下

分かれ目は次の 3 つ。

焦点は楕円が引き算、双曲線は足し算。楕円は $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 、双曲線は $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
右辺が 1 なら焦点は $x$ 軸上、 $- 1$ なら $y$ 軸上。分母の大小では決まらない（楕円との違い）
漸近線は右辺の符号によらず同じ。右辺を 0 に置き換えた式から求める

1. 双曲線の定義と標準形

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

$F (c, 0)$ 、 $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の差が $2 a$ （ $c > a > 0$ ）である点を $P (x, y)$ とします。
$(x - c)^{2} + y^{2} - (x + c)^{2} + y^{2} = 2 a$ から、楕円のときと同じように根号を外すと、 $(c^{2} - a^{2}) x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$ になります。
$c^{2} - a^{2} = b^{2}$ （ $b > 0$ ）とおいて両辺を $a^{2} b^{2}$ で割ったものが標準形です。

双曲線とは、どんな点の軌跡か？

2 定点 $F$ 、 $F^{'}$ からの距離の差が一定である点の軌跡

$F$ 、 $F^{'}$ を双曲線の焦点という。距離の差は、焦点の間の距離 $F F^{'}$ より小さい（0 ではない）。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の焦点は？

$(a^{2} + b^{2}, 0)$ と $(- a^{2} + b^{2}, 0)$

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を双曲線の方程式の標準形という。楕円と違い、根号の中は足し算。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の頂点と、曲線上の点から 2 つの焦点までの距離の差は？

頂点は $(a, 0)$ と $(- a, 0)$ 、距離の差は $2 a$

双曲線と、焦点を通る直線（ $x$ 軸）との交点が頂点。距離の差は、2 つの頂点の間の距離に等しい。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は、 $y$ 軸と交わるか？

交わらない

$x = 0$ とすると $y^{2} = - b^{2}$ となり、実数の解が無い。曲線は $x ≧ a$ の部分と $x ≦ - a$ の部分の 2 つの枝に分かれる。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点、頂点、漸近線は？

焦点 $(5, 0)$ 、 $(- 5, 0)$ 。頂点 $(3, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ 。漸近線 $y = \frac{4}{3} x$ と $y = - \frac{4}{3} x$

$a = 3$ 、 $b = 4$ 。焦点の $x$ 座標は $9 + 16 = 25 = 5$ とその符号を変えたもの。

2. 漸近線

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

双曲線の式を $y$ について解くと $y = \pm \frac{b}{a} x^{2} - a^{2}$ です。 $∣ x ∣$ が大きくなると $x^{2} - a^{2}$ は $∣ x ∣$ にいくらでも近づくので、
曲線は 2 直線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ に限りなく近づきます。この 2 直線が漸近線です。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の漸近線は？

2 直線 $y = \frac{b}{a} x$ と $y = - \frac{b}{a} x$

原点から遠ざかるにつれて、曲線が限りなく近づいていく直線。曲線と漸近線は交わらない。

双曲線の漸近線の方程式を、標準形からすばやく求めるには？

右辺の 1（または $- 1$ ）を 0 に置き換える

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ は $(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) (\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 0$ と因数分解でき、2 直線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ を表す。

直角双曲線とは何か？

2 本の漸近線が直交する双曲線。 $a = b$ のときで、方程式は $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ （または $x^{2} - y^{2} = - a^{2}$ ）

漸近線は $y = x$ と $y = - x$ で、傾きの積が $- 1$ になる。

3. 焦点が y 軸上にある双曲線

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

右辺が $- 1$ の $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ も双曲線で、こちらは焦点が $y$ 軸上にあり、枝は上下に分かれます。
両辺に $- 1$ を掛けると $\frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1$ となり、 $x$ と $y$ の役割が入れ替わった形になっています。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ の焦点、頂点、距離の差、漸近線は？

焦点 $(0, \pm a^{2} + b^{2})$ 、頂点 $(0, \pm b)$ 、距離の差 $2 b$ 、漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$

焦点と頂点は $y$ 軸上に移り、距離の差は $2 b$ になる。漸近線は右辺が 1 のときと変わらない。

双曲線の方程式から、焦点がどちらの軸上にあるかをどう見分けるか？

右辺を 1 にしたとき、係数が正の項の文字の軸上にある

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら $x$ 軸上、 $\frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1$ （右辺が $- 1$ の形）なら $y$ 軸上。楕円と違い、分母の大小では決まらない。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = - 1$ の焦点と頂点は？

焦点 $(0, 5)$ 、 $(0, - 5)$ 。頂点 $(0, 4)$ 、 $(0, - 4)$

右辺が $- 1$ なので焦点は $y$ 軸上。 $9 + 16 = 5$ 。頂点は $x = 0$ とおいた $y^{2} = 16$ から。漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ のまま。

4. 楕円との取り違え

根拠: 学習指導要領数学C-(2)-ア-(ア)

楕円と双曲線は式の形が似ているので、焦点を求める式の符号を取り違えやすいところです。
図で考えると、楕円の焦点は頂点より内側に、双曲線の焦点は頂点より外側にあります。

中心から焦点までの距離を $c$ とするとき、 $c^{2}$ は楕円と双曲線でそれぞれどう表されるか？

楕円は $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ （ $a > b$ のとき）、双曲線は $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

楕円の焦点は頂点より内側（ $c < a$ ）、双曲線の焦点は頂点より外側（ $c > a$ ）にある。式の符号（和の形か差の形か）と、 $c^{2}$ の符号は逆になる。

練習問題

問 1　双曲線 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の焦点、頂点、漸近線を求めよ。

焦点 $(5, 0)$ 、 $(- 5, 0)$ 。頂点 $(4, 0)$ 、 $(- 4, 0)$ 。漸近線 $y = \frac{3}{4} x$ 、 $y = - \frac{3}{4} x$

方針　すでに標準形 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ で、右辺が 1 なので焦点は $x$ 軸上にある。分母から $a$ 、 $b$ を読めば、焦点 $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ 、頂点 $(\pm a, 0)$ 、漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$ が順に書ける。

分母を比べて、 $a^{2} = 16$ 、 $b^{2} = 9$ 。よって $a = 4$ 、 $b = 3$
右辺が 1（ $x^{2}$ の項が正）なので、焦点と頂点は $x$ 軸上にある。
中心から焦点までの距離は $a^{2} + b^{2}$ で、 $16 + 9 = 25 = 5$ 。焦点は $(5, 0)$ と $(- 5, 0)$
頂点は $(\pm a, 0)$ なので、 $(4, 0)$ と $(- 4, 0)$ 。 $y = 0$ とおくと $x^{2} = 16$ になることからも分かる。
漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ なので、 $y = \frac{3}{4} x$ と $y = - \frac{3}{4} x$

ここで間違えやすい　双曲線の焦点は足し算。 $16 - 9$ と引くのは楕円のときの式。また、漸近線の傾きは $\frac{b}{a}$ で、 $y^{2}$ の側の数が分子に来る。 $\frac{4}{3}$ としない。

問 2　双曲線 $4 x^{2} - 9 y^{2} = - 36$ の焦点、頂点、漸近線を求めよ。

焦点 $(0, 13)$ 、 $(0, - 13)$ 。頂点 $(0, 2)$ 、 $(0, - 2)$ 。漸近線 $y = \frac{2}{3} x$ 、 $y = - \frac{2}{3} x$

方針　まず両辺を 36 で割って、右辺を 1 か $- 1$ にする。双曲線では、焦点がどちらの軸上にあるかは分母の大小ではなく右辺の符号で決まるので、標準形に直してから右辺を見る。

両辺を 36 で割る。 $x^{2}$ の項は 4 を 36 で割って分母が 9、 $y^{2}$ の項は 9 を 36 で割って分母が 4、右辺は $- 1$ になるので、 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = - 1$
分母を比べて、 $a^{2} = 9$ 、 $b^{2} = 4$ 。よって $a = 3$ 、 $b = 2$
右辺が $- 1$ なので、焦点と頂点は $y$ 軸上にある。実際、 $x = 0$ とおくと $y^{2} = 4$ で $y$ 軸と交わり、 $y = 0$ とおくと $x^{2} = - 9$ で $x$ 軸とは交わらない。
中心から焦点までの距離は $a^{2} + b^{2}$ で、 $9 + 4 = 13$ 。焦点は $(0, 13)$ と $(0, - 13)$
頂点は $(0, \pm b)$ なので、 $(0, 2)$ と $(0, - 2)$
漸近線は右辺の符号によらず $y = \pm \frac{b}{a} x$ なので、 $y = \frac{2}{3} x$ と $y = - \frac{2}{3} x$

ここで間違えやすい　 $x^{2}$ の分母 9 のほうが大きいから焦点は $x$ 軸上、としない。それは楕円の見分け方。双曲線は右辺の符号（どちらの項が正か）で決まる。

問 3　2 点 $(5, 0)$ 、 $(- 5, 0)$ を焦点とし、焦点からの距離の差が 6 である双曲線の方程式を求めよ。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

方針　2 つの焦点が $x$ 軸上にあって原点について対称なので、標準形 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ とおける。距離の差から $a$ が、焦点の座標から $c$ が分かるので、残りの $b^{2}$ を $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ で計算する。

焦点が $x$ 軸上なので、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ とおく。このとき距離の差は $2 a$ に等しい。 $2 a = 6$ から $a = 3$
焦点 $(\pm c, 0)$ と比べて、 $c = 5$
双曲線では $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ なので、 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$
数を入れると、 $5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16$ 。よって $b^{2} = 16$
$a^{2} = 9$ 、 $b^{2} = 16$ を標準形に入れて、 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

ここで間違えやすい　楕円の $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ と引く向きが逆。双曲線の焦点は頂点より外側にある（ $c > a$ ）ので、 $c^{2}$ から $a^{2}$ を引く。

問 4　2 点 $(5, 0)$ 、 $(- 5, 0)$ を焦点とし、2 直線 $y = 2 x$ 、 $y = - 2 x$ を漸近線とする双曲線の方程式を求めよ。

$x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$

方針　求めるものは $a$ と $b$ の 2 つなので、式が 2 本要る。漸近線の傾きから 1 本（ $\frac{b}{a}$ の値）、焦点の座標から 1 本（ $a^{2} + b^{2}$ の値）を作り、連立して解く。

焦点が $x$ 軸上なので、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0$ 、 $b > 0$ ）とおく。
漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ 。これが $y = \pm 2 x$ なので $\frac{b}{a} = 2$ 、よって $b = 2 a$
焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ 。これが $(\pm 5, 0)$ なので、根号の中を比べて $a^{2} + b^{2} = 5$
$b = 2 a$ を代入して、 $a^{2} + (2 a)^{2} = 5$ 。 $(2 a)^{2}$ は $4 a^{2}$ なので $5 a^{2} = 5$ 、よって $a^{2} = 1$
$b^{2} = (2 a)^{2}$ は $a^{2}$ の 4 倍なので、 $b^{2} = 4$
$a^{2} = 1$ 、 $b^{2} = 4$ を入れて、 $x^{2} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$

確かめると、焦点は $1 + 4 = 5$ 、漸近線の傾きは $a = 1$ 、 $b = 2$ から $\pm 2$ で、条件に合う。

問 5　2 点 $(2, 0)$ 、 $(- 2, 0)$ を焦点とする直角双曲線の方程式を求めよ。

$x^{2} - y^{2} = 2$

方針　直角双曲線は、2 本の漸近線が直交する双曲線で、 $a = b$ になる。未知数が $a$ の 1 つだけになるので、焦点の条件 1 本で決まる。

焦点が $x$ 軸上なので、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0$ 、 $b > 0$ ）とおく。
漸近線 $y = \frac{b}{a} x$ と $y = - \frac{b}{a} x$ が直交するので、傾きの積が $- 1$ 。 $- \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = - 1$ から $b^{2} = a^{2}$ 、よって $a = b$
焦点は $(\pm a^{2} + b^{2}, 0)$ 。これが $(\pm 2, 0)$ なので、 $a^{2} + b^{2} = 2$ 。両辺を 2 乗して $a^{2} + b^{2} = 4$
$b^{2} = a^{2}$ を代入して $2 a^{2} = 4$ 、よって $a^{2} = 2$ 。 $b^{2}$ も 2
方程式は $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 。両辺に 2 を掛けて、 $x^{2} - y^{2} = 2$

確かめると、焦点は $2 + 2 = 4 = 2$ で、条件に合う。

ここで間違えやすい　焦点の 2 をそのまま使って $x^{2} - y^{2} = 4$ としない。 $a^{2} + b^{2} = 4$ を $a^{2}$ と $b^{2}$ で半分ずつ分けるので、右辺は 2 になる。

問 6　双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点を $F (5, 0)$ 、 $F^{'} (- 5, 0)$ とする。曲線上の点 $P (5, \frac{16}{3})$ について、 $P F$ 、 $P F^{'}$ とその差を求めよ。

$P F = \frac{16}{3}$ 、 $P F^{'} = \frac{34}{3}$ 、差は 6

方針　 $P F$ と $P F^{'}$ を、2 点間の距離の公式でそれぞれ計算する。 $P$ と $F$ は $x$ 座標が同じなので、 $P F$ は $y$ 座標の差だけで済む。最後に、差が双曲線の定義どおり $2 a$ になっていることを確かめる。

$P$ が曲線上にあることを確かめておく。 $\frac{25}{9} - \frac{1}{16} \times \frac{256}{9} = \frac{25}{9} - \frac{16}{9} = 1$ なので、たしかに曲線上にある。
$P (5, \frac{16}{3})$ と $F (5, 0)$ は $x$ 座標が同じなので、距離は $y$ 座標の差。 $P F = \frac{16}{3}$
$P$ と $F^{'} (- 5, 0)$ は、 $x$ 座標の差が $5 - (- 5) = 10$ 、 $y$ 座標の差が $\frac{16}{3}$ 。三平方の定理から、 $P F^{'}$ の 2 乗は $100 + \frac{256}{9}$
通分して足す。 $100 + \frac{256}{9} = \frac{900}{9} + \frac{256}{9} = \frac{1156}{9}$
$1156 = 3 4^{2}$ なので、 $\frac{1156}{9} = \frac{34}{3}$ 。よって $P F^{'} = \frac{34}{3}$
差をとる。 $\frac{34}{3} - \frac{16}{3} = \frac{18}{3} = 6$
この双曲線は $a^{2} = 9$ から $a = 3$ で、 $2 a$ は 6。距離の差は $2 a$ に一致していて、双曲線の定義どおりになっている。