位置ベクトル｜高校数学C — みならいノート

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (ア)「平面上のベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル，ベクトルの成分表示について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

ベクトルは位置を問わない量ですが、基準の点 $O$ を 1 つ決めておくと、点 $P$ の位置を $O P$ というベクトルで表せます。これが位置ベクトルです。
点を位置ベクトルで表しておくと、内分点・外分点・重心のような「点の位置」を、ベクトルの式で書けるようになります。

$A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ とします。

点	位置ベクトル
線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点	$\frac{n a + m b}{m + n}$
線分 $A B$ を $m : n$ に外分する点	$\frac{- n a + m b}{m - n}$
線分 $A B$ の中点	$\frac{a + b}{2}$
三角形 $A B C$ の重心	$\frac{a + b + c}{3}$

分かれ目は次の 3 つ。

2 点を結ぶベクトルは「終点引く始点」。 $A B = b - a$
内分の式は「たすきがけ」。 $a$ には $B$ 側の比 $n$ を、 $b$ には $A$ 側の比 $m$ を掛ける。外分は $n$ を $- n$ にかえる
基準の点はどこにとってもよい。頂点の 1 つを基準にすると、文字が 1 つ減って計算が楽になる

1. 位置ベクトルの意味

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

基準の点 $O$ を固定すると、点とベクトルが 1 対 1 に対応します。座標平面で $O$ を原点にとれば、位置ベクトルの成分は点の座標そのものです。

点 $P$ の位置ベクトルとは何か？ $P (p)$ という書き方の意味は？

基準の点 $O$ を決めたときの $O P$ 。 $P (p)$ は「点 $P$ の位置ベクトルが $p$ 」という意味

$O$ を決めれば、点 $P$ とベクトル $p$ が 1 つずつ対応する。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ について、 $A B$ を位置ベクトルで表すと？

$A B = b - a$

$A B = O B - O A$ 。終点の位置ベクトルから始点の位置ベクトルを引く。

2 点 $P$ 、 $Q$ が一致することを、位置ベクトルで示すには？

$P$ と $Q$ の位置ベクトルが等しいことを示す

基準の点を決めると点と位置ベクトルが 1 対 1 に対応するので、位置ベクトルが等しければ同じ点。「3 本の線分が 1 点で交わる」ことの証明に使う。

位置ベクトルの基準の点 $O$ は、どこにとるのか？

どこにとってもよい。図形の頂点の 1 つにとると計算が楽になる

例えば三角形 $A B C$ で $A$ を基準にすると、 $A$ の位置ベクトルが $0$ になり、 $A B$ と $A C$ の 2 つだけですべての点が表せる。

2. 内分点・外分点

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点 $P$ は、 $A P = \frac{m}{m + n} A B$ を満たします。これを位置ベクトルで書き直すと、内分点の式になります。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を結ぶ線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点の位置ベクトルは？

$\frac{n a + m b}{m + n}$

$a$ には $B$ 側の比 $n$ 、 $b$ には $A$ 側の比 $m$ を掛ける（たすきがけ）。座標の内分点の式と同じ形。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を結ぶ線分 $A B$ を $m : n$ に外分する点の位置ベクトルは？

$\frac{- n a + m b}{m - n}$ （ $m \neq = n$ ）

内分の式の $n$ を $- n$ にかえたもの。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を結ぶ線分 $A B$ の中点の位置ベクトルは？

$\frac{a + b}{2}$

$1 : 1$ に内分する点。2 つの位置ベクトルの平均。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ について、線分 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点と、 $2 : 1$ に外分する点の位置ベクトルは？

内分する点 $\frac{a + 2 b}{3}$ 、外分する点 $- a + 2 b$

内分は $\frac{1 a + 2 b}{2 + 1}$ 。外分は $\frac{- 1 a + 2 b}{2 - 1}$ で、分母が 1 になる。

三角形 $A B C$ の辺 $B C$ を $m : n$ に内分する点を $P$ とするとき、 $A P$ を $A B$ 、 $A C$ で表すと？

$A P = \frac{n A B + m A C}{m + n}$

$A$ を基準の点にとった内分点の式。基準の点はどこでもよいので、始点を $A$ にそろえればそのまま使える。

3. 三角形の重心

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

重心は 3 本の中線の交点で、各中線を頂点のほうから $2 : 1$ に内分します。中点の式と内分点の式を続けて使うと、重心の位置ベクトルが出ます。

3 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ を頂点とする三角形 $A B C$ の重心 $G$ の位置ベクトルは？

$\frac{a + b + c}{3}$

辺 $B C$ の中点 $M$ の位置ベクトルは $\frac{b + c}{2}$ 。 $G$ は $A M$ を $2 : 1$ に内分するので $\frac{a + 2 \times \frac{b + c}{2}}{3}$ 。3 頂点の位置ベクトルの平均になる。

三角形 $A B C$ の重心 $G$ について、 $G A + GB + GC$ はどうなるか？

$0$

$G$ の位置ベクトルを $g$ とすると、和は $(a - g) + (b - g) + (c - g) = a + b + c - 3 g$ で、 $3 g = a + b + c$ だから $0$ 。

【発展】 $a P A + b P B + c P C = 0$ と面積比

三角形 $A B C$ の内部の点 $P$ が、正の数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ について $a P A + b P B + c P C = 0$ を満たすとき、
三角形 $P B C$ 、 $P C A$ 、 $P A B$ の面積の比は $a : b : c$ になる。 $a = b = c$ のときが重心で、3 つの三角形の面積が等しい。
練習問題の問 5 のように $P$ の位置を求めてから、底辺の比と高さの比で確かめられる。

練習問題

問 1　2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ について、線分 $A B$ を $3 : 2$ に内分する点 $P$ 、 $3 : 2$ に外分する点 $Q$ 、 $2 : 3$ に外分する点 $R$ の位置ベクトルを求めよ。

$P$ : $\frac{2 a + 3 b}{5}$ 、 $Q$ : $- 2 a + 3 b$ 、 $R$ : $3 a - 2 b$

方針　線分 $A B$ を $m : n$ に分ける点の位置ベクトルは、内分なら $\frac{n a + m b}{m + n}$ 、外分ならその $n$ を $- n$ にかえた $\frac{- n a + m b}{m - n}$ 。3 つとも、比から $m$ と $n$ を読み取ってこの式に入れるだけでよい。 $a$ には $B$ 側の比 $n$ 、 $b$ には $A$ 側の比 $m$ を掛ける（たすきがけ）ことに気をつける。

$P$ は $3 : 2$ に内分するので、 $m = 3$ 、 $n = 2$ 。内分の式に入れて $\frac{2 a + 3 b}{3 + 2} = \frac{2 a + 3 b}{5}$
$Q$ は $3 : 2$ に外分するので、 $m = 3$ 、 $n = 2$ 。外分の式に入れて $\frac{- 2 a + 3 b}{3 - 2}$
分母は $3 - 2 = 1$ なので、 $Q$ の位置ベクトルは $- 2 a + 3 b$
$R$ は $2 : 3$ に外分するので、 $m = 2$ 、 $n = 3$ 。外分の式に入れて $\frac{- 3 a + 2 b}{2 - 3}$
分母は $2 - 3 = - 1$ 。 $- 1$ で割ると分子の符号がすべて入れかわるので、 $R$ の位置ベクトルは $3 a - 2 b$

$Q$ は $B$ の外側、 $R$ は $A$ の外側にある（外分点は、比の小さいほうの端点の外側にくる）。

ここで間違えやすい　 $3 : 2$ に外分する点と $2 : 3$ に外分する点は別の点。 $R$ では分母が負になるので、符号を入れかえるのを忘れない。

問 2　2 点 $A (1, 2)$ 、 $B (7, - 1)$ について、線分 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点と、 $2 : 1$ に外分する点の座標を求めよ。

内分する点 $(5, 0)$ 、外分する点 $(13, - 4)$

方針　原点を基準の点にすると、位置ベクトルの成分は点の座標そのものになる。だから、内分点・外分点の位置ベクトルの式を作り、そこに成分を入れて成分ごとに計算すれば、座標が出る。

原点を基準にして、 $A$ 、 $B$ の位置ベクトルを $a = (1, 2)$ 、 $b = (7, - 1)$ とする。
$2 : 1$ に内分する点は、 $m = 2$ 、 $n = 1$ を内分の式に入れて $\frac{1 a + 2 b}{2 + 1} = \frac{a + 2 b}{3}$
成分ごとに計算する。 $x$ 座標は $\frac{1 + 2 \times 7}{3} = \frac{15}{3} = 5$ 、 $y$ 座標は $\frac{2 + 2 \times ( - 1 )}{3} = \frac{0}{3} = 0$ 。よって内分する点は $(5, 0)$
$2 : 1$ に外分する点は、 $m = 2$ 、 $n = 1$ を外分の式に入れて $\frac{- 1 a + 2 b}{2 - 1}$ 。分母は $2 - 1 = 1$ なので、 $- a + 2 b$
成分ごとに計算する。 $x$ 座標は $- 1 + 2 \times 7 = 13$ 、 $y$ 座標は $- 2 + 2 \times (- 1) = - 4$ 。よって外分する点は $(13, - 4)$
確かめ。 $A B = (7 - 1, - 1 - 2) = (6, - 3)$ で、 $A$ から内分する点へは $(5 - 1, 0 - 2) = (4, - 2)$ 。これは $A B$ の $\frac{2}{3}$ 倍で、確かに $2 : 1$ に内分している。

ここで間違えやすい　 $2 : 1$ のとき、2 を掛けるのは遠いほうの $b$ （たすきがけ）。 $\frac{2 a + b}{3}$ とすると、 $1 : 2$ に内分する点 $(3, 1)$ になってしまう。

問 3　三角形 $A B C$ の辺 $B C$ を $2 : 1$ に内分する点を $D$ 、重心を $G$ とする。 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ として $G D$ を表し、 $G D$ と $A C$ の関係を答えよ。

$G D = \frac{c - a}{3}$ 。 $G D$ は $A C$ に平行で、長さは $A C$ の $\frac{1}{3}$

方針　2 点を結ぶベクトルは「終点の位置ベクトル引く始点の位置ベクトル」。だから、まず $D$ と $G$ の位置ベクトルをそれぞれ $a$ 、 $b$ 、 $c$ で表し、引き算をする。出てきた式を $A C = c - a$ と見比べれば、 $G D$ と $A C$ の関係（平行かどうか・長さの比）が読める。

$D$ は辺 $B C$ を $2 : 1$ に内分するので、位置ベクトルは $\frac{1 b + 2 c}{2 + 1} = \frac{b + 2 c}{3}$
$G$ は重心なので、位置ベクトルは $\frac{a + b + c}{3}$
終点 $D$ から始点 $G$ を引く。 $G D = \frac{b + 2 c}{3} - \frac{a + b + c}{3}$
分母が同じなので、分子をまとめて書く。 $G D = \frac{b + 2 c - a - b - c}{3}$
分子を整理する。 $b$ は消え、 $c$ は $2 c - c = c$ なので、 $G D = \frac{c - a}{3}$
$A C = c - a$ だから、 $G D = \frac{1}{3} A C$
$G D$ は $A C$ の実数倍なので、 $G D$ は $A C$ に平行。倍率が $\frac{1}{3}$ なので、長さは $A C$ の $\frac{1}{3}$

問 4　三角形 $A B C$ の辺 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ の中点をそれぞれ $L$ 、 $M$ 、 $N$ とする。三角形 $L M N$ の重心は、三角形 $A B C$ の重心と一致することを示せ。

どちらの重心も位置ベクトルが $\frac{a + b + c}{3}$ になる

方針　2 つの点が一致することは、位置ベクトルが等しいことを示せばよい（基準の点を決めると、点と位置ベクトルは 1 対 1 に対応するから）。重心の位置ベクトルは「3 頂点の位置ベクトルの和を 3 で割ったもの」なので、三角形 $L M N$ についてこれを計算し、三角形 $A B C$ の重心と同じ式になることを確かめる。

3 頂点の位置ベクトルを $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ とおく。
$L$ 、 $M$ 、 $N$ はそれぞれ辺 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ の中点なので、位置ベクトルは順に $\frac{b + c}{2}$ 、 $\frac{c + a}{2}$ 、 $\frac{a + b}{2}$
この 3 つを足す。分母が同じなので分子を足すと、 $(b + c) + (c + a) + (a + b) = 2 a + 2 b + 2 c$
よって 3 つの和は $\frac{2 a + 2 b + 2 c}{2} = a + b + c$
三角形 $L M N$ の重心の位置ベクトルは、この和を 3 で割って $\frac{a + b + c}{3}$
三角形 $A B C$ の重心の位置ベクトルも $\frac{a + b + c}{3}$
位置ベクトルが等しいから、2 つの重心は一致する。

問 5　三角形 $A B C$ と点 $P$ が $A P + 2 B P + 3 C P = 0$ を満たすとき、点 $P$ はどのような位置にあるか。

辺 $B C$ を $3 : 2$ に内分する点を $D$ とすると、 $P$ は線分 $A D$ を $5 : 1$ に内分する点

方針　与えられた式は始点が $A$ 、 $B$ 、 $C$ とばらばらで、このままでは $P$ の位置が読めない。始点を頂点 $A$ にそろえて、 $A P$ を $A B$ と $A C$ だけで表す。そのあと、内分点の式の形（分母が分子の係数の和）を作ると、 $P$ がどの線分をどんな比に分けるかが読める。

始点を $A$ にそろえる。差は「後ろ引く前」なので、 $B P = A P - A B$ 、 $C P = A P - A C$
与えられた式に代入する。 $A P + 2 (A P - A B) + 3 (A P - A C) = 0$
かっこを外してまとめる。 $A P$ の係数は $1 + 2 + 3 = 6$ なので、 $6 A P - 2 A B - 3 A C = 0$
移項して $6 A P = 2 A B + 3 A C$ 。両辺を 6 で割って $A P = \frac{2 A B + 3 A C}{6}$
内分点の式の形を作る。分子の係数の和は $2 + 3 = 5$ なので、分母が 5 の分数を取り出す。 $A P = \frac{5}{6} \times \frac{2 A B + 3 A C}{5}$
$\frac{2 A B + 3 A C}{3 + 2}$ は、辺 $B C$ を $3 : 2$ に内分する点 $D$ について $A D$ を表す式。よって $A P = \frac{5}{6} A D$
$P$ は線分 $A D$ 上にあり、 $A P$ は $A D$ の $\frac{5}{6}$ 、残りの $P D$ は $\frac{1}{6}$ 。だから $A P : P D = 5 : 1$ で、 $P$ は線分 $A D$ を $5 : 1$ に内分する。

ここで間違えやすい　手順 6 の比はたすきがけで読む。 $A B$ の係数 2 は $C$ 側の比、 $A C$ の係数 3 は $B$ 側の比なので、 $B D : D C = 3 : 2$ 。 $2 : 3$ ではない。

問 6　四角形 $A B C D$ の辺 $A B$ 、 $C D$ の中点をそれぞれ $M$ 、 $N$ とする。 $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ が成り立つことを示せ。

4 点の位置ベクトルで両辺を表すと、どちらも $\frac{c + d - a - b}{2}$ になる

方針　等式の証明なので、左辺と右辺を別々に計算して、同じ式になることを示す。出てくる点をすべて位置ベクトルで表しておけば、中点は「平均」、2 点を結ぶベクトルは「終点引く始点」で、どちらの辺も $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ の式に直せる。

4 頂点の位置ベクトルを $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ 、 $D (d)$ とおく。
$M$ は辺 $A B$ の中点なので位置ベクトルは $\frac{a + b}{2}$ 、 $N$ は辺 $C D$ の中点なので $\frac{c + d}{2}$
左辺を計算する。終点 $N$ から始点 $M$ を引いて、 $M N = \frac{c + d}{2} - \frac{a + b}{2} = \frac{c + d - a - b}{2}$
右辺の中身を位置ベクトルで書く。 $A D = d - a$ 、 $B C = c - b$
右辺を計算する。 $\frac{1}{2} {(d - a) + (c - b)} = \frac{c + d - a - b}{2}$
手順 3 と手順 5 が同じ式なので、 $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ が成り立つ。