ベクトルの内積｜高校数学C

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (イ)「ベクトルの内積及びその基本的な性質について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

2 つのベクトルから 1 つの実数を作る計算が内積です。内積には、2 つのベクトルのなす角の情報が入っています。
そのため、内積を使うと「角の大きさ」「垂直かどうか」「長さ」「面積」を、図をかかずに計算で出せます。

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ 、なす角を $θ$ とします。

内積の表し方	式	使う場面
大きさとなす角で	$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$	大きさと角が分かっている
成分で	$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$	成分が分かっている

分かれ目は次の 3 つ。

内積はベクトルではなく実数。 $a \cdot b$ の「 $\cdot$ 」は省かず、 $a b$ や $a^{2}$ とは書かない
垂直なら内積は 0。 $0$ でない 2 つのベクトルについて、垂直と $a \cdot b = 0$ は同じこと
大きさは 2 乗して内積に直す。 $∣ a + b ∣$ は $∣ a + b ∣^{2} = (a + b) \cdot (a + b)$ として展開する

1. 内積の定義

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

2 つのベクトルの始点をそろえたときにできる角が、なす角です。内積は、2 つの大きさとなす角の余弦を掛けたものと定めます。

$0$ でない 2 つのベクトル $a$ 、 $b$ のなす角とは？その範囲は？

始点をそろえて $a = O A$ 、 $b = O B$ としたときの $∠ A O B$ の大きさ $θ$ 。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$

始点がそろっていないベクトルは、平行移動して始点をそろえてから角を測る。同じ向きなら $0^{\circ}$ 、反対の向きなら $18 0^{\circ}$ 。

$0$ でない $a$ 、 $b$ のなす角を $θ$ とするとき、内積 $a \cdot b$ の定義は？

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$

内積はベクトルではなく実数。 $a = 0$ または $b = 0$ のときは $a \cdot b = 0$ と定める。

$∣ a ∣ = 2$ 、 $∣ b ∣ = 3$ で、なす角が $6 0^{\circ}$ のとき、内積 $a \cdot b$ の値は？

$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので、 $2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$ 。

$0$ でない $a$ 、 $b$ のなす角 $θ$ が鋭角・直角・鈍角のとき、内積 $a \cdot b$ の符号はそれぞれどうなるか？

鋭角なら正、直角なら 0、鈍角なら負

大きさは正なので、内積の符号は $cos θ$ の符号で決まる。

2. 成分による内積となす角

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

三角形 $O A B$ に余弦定理を使うと、内積が成分だけで計算できることが分かります。成分から内積が出れば、定義の式を逆に使ってなす角が求められます。

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ のとき、内積 $a \cdot b$ を成分で表すと？

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

$x$ 成分どうしの積と $y$ 成分どうしの積の和。結果は 1 つの数で、成分の組にはならない。

$0$ でない $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ のなす角 $θ$ を求める式は？

$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} b _{1}^{2} + b _{2}^{2}}$

内積の定義の式を $cos θ$ について解いたもの。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の範囲で $θ$ はただ 1 つに決まる。

$a = (1, 2)$ 、 $b = (3, 1)$ のなす角 $θ$ は？

$4 5^{\circ}$

内積は $1 \times 3 + 2 \times 1 = 5$ 。大きさは $∣ a ∣ = 5$ 、 $∣ b ∣ = 10$ 。 $cos θ = \frac{5}{5 \times 10} = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}$ 。

$0$ でない 2 つのベクトル $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ が垂直（ $a ⊥ b$ ）になる条件は？

$a \cdot b = 0$ 。成分で書くと $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

なす角が $9 0^{\circ}$ で $cos 9 0^{\circ} = 0$ だから。平行条件 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ と取り違えない。

$a = (a_{1}, a_{2})$ （ $a \neq = 0$ ）に垂直な単位ベクトルは、どう求めるか？

$(a_{2}, - a_{1})$ が $a$ に垂直なので、これを大きさ $a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ で割る。反対向きと合わせて 2 つ

$a_{1} a_{2} + a_{2} (- a_{1}) = 0$ だから垂直。求めるベクトルを $(x, y)$ とおいて、垂直の条件 $a_{1} x + a_{2} y = 0$ と大きさの条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ を連立してもよい。

3. 内積の性質

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

内積は、数の掛け算と同じように展開できます。違うのは、同じベクトルどうしの内積が大きさの 2 乗になることです。

内積について成り立つ計算法則（交換・分配・実数倍）は？

$a \cdot b = b \cdot a$ 、 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 、 $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$

成分で書けばどれも確かめられる。この法則があるので、内積の式は文字式の積と同じように展開できる。

同じベクトルどうしの内積 $a \cdot a$ は、何に等しいか？

$a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$

なす角が $0^{\circ}$ で $cos 0^{\circ} = 1$ だから。逆に $∣ a ∣ = a \cdot a$ で、大きさを内積から出せる。

$∣ a + b ∣^{2}$ を、内積を使って展開すると？

$∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$

$(a + b) \cdot (a + b)$ を展開する。 $(a + b)^{2}$ の展開と同じ形だが、 $a^{2}$ にあたるのは $∣ a ∣^{2}$ 、 $ab$ にあたるのは内積 $a \cdot b$ 。差なら $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ 。

$O A = a$ 、 $O B = b$ のとき、三角形 $O A B$ の面積 $S$ を内積で表すと？

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ$ に $sin θ = 1 - cos^{2} θ$ を入れて、 $∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$ を内積に置きかえたもの。成分 $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ で書くと $S = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$ 。

【発展】内積の絶対値は、大きさの積をこえない

$- 1 ≦ cos θ ≦ 1$ だから、 $∣ a \cdot b ∣ ≦ ∣ a ∣ ∣ b ∣$ が成り立つ。等号は $a$ と $b$ が平行（またはどちらかが $0$ ）のとき。
成分で書くと $(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} ≦ (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})$ で、コーシー・シュワルツの不等式とよばれる。

練習問題

問 1　 $a = (1, 3)$ 、 $b = (3, 1)$ の内積となす角 $θ$ を求めよ。

$a \cdot b = 23$ 、 $θ = 3 0^{\circ}$

方針　成分が分かっているので、内積は成分の式 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ で出す。なす角は、内積の定義 $a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$ を $cos θ$ について解いた式に、内積と 2 つの大きさを入れて求める。だから、内積・大きさ・ $cos θ$ の順に計算する。

内積を成分で計算する。 $x$ 成分どうしの積は $1 \times 3 = 3$ 、 $y$ 成分どうしの積は $3 \times 1 = 3$ 。足して $a \cdot b = 23$
$a$ の大きさを求める。 $(3)^{2} = 3$ なので、 $∣ a ∣ = 1 + 3 = 4 = 2$
$b$ の大きさも同じように、 $∣ b ∣ = 3 + 1 = 4 = 2$
$cos θ$ の式に入れる。 $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{2 3}{2 \times 2} = \frac{3}{2}$
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の範囲で $cos θ = \frac{3}{2}$ となるのは、 $θ = 3 0^{\circ}$

問 2　 $a = (2, 1)$ 、 $b = (x, - 4)$ が垂直になるような $x$ の値を求めよ。

$x = 2$

方針　 $0$ でない 2 つのベクトルが垂直になる条件は、内積が 0 になること。成分が分かっているので、内積を成分の式で書けば $x$ の方程式になる。

内積を成分で書く。 $a \cdot b = 2 \times x + 1 \times (- 4) = 2 x - 4$
垂直なので内積は 0。 $2 x - 4 = 0$
移項して $2 x = 4$ 。両辺を 2 で割って $x = 2$
確かめ。 $x = 2$ のとき $b = (2, - 4)$ で、内積は $2 \times 2 + 1 \times (- 4) = 0$ 。

ここで間違えやすい　垂直条件は「同じ成分どうしを掛けて足す」 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ 。平行条件 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ と取り違えると、 $2 \times (- 4) - 1 \times x = 0$ から $x = - 8$ という別の答えになる。

問 3　 $∣ a ∣ = 3$ 、 $∣ b ∣ = 2$ で、 $a$ と $b$ のなす角が $6 0^{\circ}$ のとき、 $∣ a + 2 b ∣$ を求めよ。

$37$

方針　成分が分からないので、 $∣ a + 2 b ∣$ を直接は計算できない。大きさは 2 乗すると内積になる（ $∣ p ∣^{2} = p \cdot p$ ）ので、2 乗して展開し、分かっている $∣ a ∣$ 、 $∣ b ∣$ と内積 $a \cdot b$ の式に直す。そのために、先に内積を定義から出しておく。

内積を定義から求める。 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので、 $a \cdot b = 3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 3$
求める大きさを 2 乗して、内積の形に書く。 $∣ a + 2 b ∣^{2} = (a + 2 b) \cdot (a + 2 b)$
文字式の $(a + 2 b)^{2}$ と同じように展開する。 $∣ a + 2 b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 4 a \cdot b + 4 ∣ b ∣^{2}$
値を入れる。 $∣ a ∣^{2} = 3^{2} = 9$ 、 $4 a \cdot b$ は $4 \times 3 = 12$ 、 $4 ∣ b ∣^{2}$ は $4 \times 2^{2} = 16$
足して、 $9 + 12 + 16 = 37$ 。つまり $∣ a + 2 b ∣^{2} = 37$
大きさは 0 以上なので、 $∣ a + 2 b ∣ = 37$

ここで間違えやすい　手順 3 の係数。真ん中の項は $2 \times a \cdot (2 b)$ なので $4 a \cdot b$ 、最後の項は $(2 b) \cdot (2 b)$ なので $4 ∣ b ∣^{2}$ になる。2 のままにしない。

問 4　 $∣ a ∣ = 2$ 、 $∣ b ∣ = 1$ 、 $∣ a - b ∣ = 7$ のとき、内積 $a \cdot b$ と、 $a$ と $b$ のなす角 $θ$ を求めよ。

$a \cdot b = - 1$ 、 $θ = 12 0^{\circ}$

方針　与えられているのは大きさだけで、内積が直接は分からない。大きさの条件は、2 乗して展開すると内積 $a \cdot b$ が現れる。 $∣ a - b ∣ = 7$ を 2 乗して、 $a \cdot b$ についての方程式にする。内積が出れば、なす角は $cos θ$ の式で求められる。

$∣ a - b ∣^{2}$ を展開する。 $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$
分かっている値を入れる。左辺は $(7)^{2} = 7$ 、右辺の $∣ a ∣^{2}$ は $2^{2} = 4$ 、 $∣ b ∣^{2}$ は $1^{2} = 1$ なので、 $7 = 4 - 2 a \cdot b + 1$
右辺の数をまとめる。 $7 = 5 - 2 a \cdot b$
移項する。 $2 a \cdot b = 5 - 7$ から $2 a \cdot b = - 2$ 。両辺を 2 で割って $a \cdot b = - 1$
なす角の式に入れる。 $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} = \frac{- 1}{2 \times 1} = - \frac{1}{2}$
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の範囲で $cos θ = - \frac{1}{2}$ となるのは、 $θ = 12 0^{\circ}$

大きさの条件は、2 乗して内積の条件に直すのが定石。

ここで間違えやすい　内積が負なので、なす角は鈍角になる。 $cos θ = - \frac{1}{2}$ を $6 0^{\circ}$ と答えない。

問 5　 $a = (4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

$(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ と $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

方針　条件は「 $a$ に垂直」と「大きさが 1」の 2 つ。まず垂直なベクトルを 1 つ作り、それを自分の大きさで割って大きさを 1 にする。 $(a_{1}, a_{2})$ に垂直なベクトルは、成分を入れかえて片方の符号を変えた $(a_{2}, - a_{1})$ ですぐに作れる。

$a = (4, 3)$ の成分を入れかえ、片方の符号を変えて $(3, - 4)$ を作る。
垂直であることを内積で確かめる。 $4 \times 3 + 3 \times (- 4) = 12 - 12 = 0$ なので、 $(3, - 4)$ は $a$ に垂直。
このベクトルの大きさを求める。 $3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
大きさ 5 で割ると単位ベクトルになる。 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$
反対向きのベクトルも $a$ に垂直で大きさ 1 なので、逆ベクトル $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ も答え。

別解: 求めるベクトルを $(x, y)$ とおき、垂直の条件 $4 x + 3 y = 0$ と大きさの条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ を連立する。 $y = - \frac{4}{3} x$ を代入すると $x^{2} + \frac{16}{9} x^{2} = 1$ 、すなわち $\frac{25}{9} x^{2} = 1$ から $x = \pm \frac{3}{5}$ となり、同じ 2 つが出る。

問 6　3 点 $A (1, 1)$ 、 $B (5, 2)$ 、 $C (3, 6)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

方針　三角形の面積は、1 つの頂点から出る 2 つのベクトルの大きさと内積で決まる（ $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ ）。底辺や高さを求めなくてよいので、座標が分かっているときに向いている。頂点 $A$ を始点にして $A B$ 、 $A C$ の成分を出し、この式に入れる。

終点引く始点で成分を出す。 $A B = (5 - 1, 2 - 1) = (4, 1)$ 、 $A C = (3 - 1, 6 - 1) = (2, 5)$
大きさの 2 乗を計算する。 $∣ A B ∣^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 17$ 、 $∣ A C ∣^{2} = 2^{2} + 5^{2} = 29$
内積を計算する。 $A B \cdot A C = 4 \times 2 + 1 \times 5 = 13$
根号の中を計算する。 $17 \times 29 = 493$ 、 $1 3^{2} = 169$ なので、 $17 \times 29 - 1 3^{2} = 493 - 169 = 324$
面積の式に入れる。 $324 = 1 8^{2}$ なので、 $\frac{1}{2} 324 = \frac{1}{2} \times 18 = 9$

別解: 成分の式 $S = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$ を使うと、 $\frac{1}{2} ∣ 4 \times 5 - 1 \times 2 ∣ = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ で、同じ値になる。成分が分かっているときは、こちらのほうが計算が少ない。