ベクトルの成分｜高校数学C

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (ア)「平面上のベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル，ベクトルの成分表示について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

座標平面の上にベクトルを置くと、「 $x$ 方向にいくつ、 $y$ 方向にいくつ進むか」という 2 つの数でベクトルが決まります。
この 2 つの数の組が成分で、成分で書くことを成分表示といいます。成分で書けば、図をかかなくても和・差・実数倍・大きさが計算できます。

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ とします。

求めるもの	成分での計算
大きさ	$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
和・差	$a \pm b = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2})$
実数倍	$k a = (k a_{1}, k a_{2})$
2 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ を結ぶベクトル	$A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$

分かれ目は次の 3 つ。

計算はすべて成分ごと。 $x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしで別々に計算する
$A B$ の成分は「終点引く始点」。点の座標とベクトルの成分は同じ書き方なので、取り違えない
$c = s a + t b$ の $s$ 、 $t$ は、成分ごとに等しいとおいた連立方程式で求める

1. 成分表示と大きさ

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

ベクトルは位置を問わないので、始点を原点 $O$ に移せます。そのときの終点の座標が、そのベクトルの成分です。

ベクトル $a$ の成分表示 $a = (a_{1}, a_{2})$ とは、何を表しているか？

$a = O A$ となる点 $A$ の座標が $(a_{1}, a_{2})$ であること

$a_{1}$ を $x$ 成分、 $a_{2}$ を $y$ 成分という。 $x$ 軸・ $y$ 軸の正の向きの単位ベクトル（基本ベクトル） $e_{1}$ 、 $e_{2}$ を使うと $a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2}$ 。

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ が等しい（ $a = b$ ）のは、成分がどうなっているときか？

$a_{1} = b_{1}$ かつ $a_{2} = b_{2}$

対応する成分がそれぞれ等しいとき。ベクトルの等式 1 つから、成分の等式が 2 つ出てくる。

$a = (a_{1}, a_{2})$ の大きさ $∣ a ∣$ は？

$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$

原点 $O$ と点 $(a_{1}, a_{2})$ の距離（三平方の定理）。

$a = (3, 4)$ の大きさと、 $a$ と同じ向きの単位ベクトルは？

大きさ 5、単位ベクトル $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

$3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 。同じ向きの単位ベクトルは $\frac{a}{∣ a ∣}$ なので、各成分を 5 で割る。

2. 成分による演算

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

和・差・実数倍は、基本ベクトルの係数をまとめるだけなので、成分ごとの計算になります。

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ のとき、和 $a + b$ と差 $a - b$ の成分は？

$a + b = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$ 、 $a - b = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2})$

$x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしを足す（引く）。

$a = (a_{1}, a_{2})$ の実数倍 $k a$ の成分は？

$k a = (k a_{1}, k a_{2})$

両方の成分に $k$ を掛ける。片方だけに掛けない。

$a = (2, 1)$ 、 $b = (- 1, 3)$ のとき、 $2 a + 3 b$ の成分は？

$(1, 11)$

$2 a = (4, 2)$ 、 $3 b = (- 3, 9)$ を成分ごとに足す。 $(4 - 3, 2 + 9) = (1, 11)$ 。

2 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ について、 $A B$ の成分と大きさは？

$A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ 、 $∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

$A B = O B - O A$ だから、終点の座標から始点の座標を引く。大きさは二点間の距離の式と同じ。

4 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ について、四角形 $A B C D$ が平行四辺形になる条件を、ベクトルの等式で書くと？

$A D = B C$ （または $A B = D C$ ）

1 組の対辺が平行で長さが等しい、という条件がベクトルの相等 1 つで書ける。頂点の順番に注意する（ $A B = C D$ ではない）。

3. 平行条件と分解

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

平行条件 $b = k a$ も、ベクトルの分解 $c = s a + t b$ も、成分で書けば数の等式になります。

$0$ でない $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ が平行になる条件を、成分で書くと？

$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$

$b = k a$ から $b_{1} = k a_{1}$ 、 $b_{2} = k a_{2}$ 。 $k$ を消去するとこの式になる。成分の比が等しい（ $a_{1} : a_{2} = b_{1} : b_{2}$ ）ということ。

$c$ を $s a + t b$ の形に表すとき（成分が分かっている）、実数 $s$ 、 $t$ はどう求めるか？

$s a + t b$ の成分を $s$ 、 $t$ で表し、 $c$ の $x$ 成分・ $y$ 成分とそれぞれ等しいとおいて、連立方程式を解く

ベクトルの等式 1 つが、成分の等式 2 つになる。未知数も 2 つなので解ける（ $a$ と $b$ が平行でないとき、解はただ 1 組）。

$∣ a + t b ∣$ の最小値を求めるとき（ $t$ は実数、成分が分かっている）、どう進めるか？

$∣ a + t b ∣^{2}$ を成分で計算して $t$ の 2 次式にし、平方完成する

大きさは根号を含むので 2 乗して考える。 $∣ a + t b ∣ ≧ 0$ だから、2 乗が最小のとき大きさも最小。最後に根号をつけ直すのを忘れない。

練習問題

問 1　 $a = (2, - 3)$ 、 $b = (- 1, 4)$ のとき、 $3 a - 2 b$ の成分と、 $∣ a + b ∣$ を求めよ。

$3 a - 2 b = (8, - 17)$ 、 $∣ a + b ∣ = 2$

方針　成分で与えられたベクトルの計算は、すべて成分ごとに行う。実数倍を先に済ませてから、 $x$ 成分どうし・ $y$ 成分どうしで引く。大きさは、まず $a + b$ の成分を出し、それから $(x 成分)^{2} + (y 成分)^{2}$ に入れる。

$a$ を 3 倍する。両方の成分に 3 を掛けて、 $x$ 成分は $3 \times 2 = 6$ 、 $y$ 成分は $3 \times (- 3) = - 9$ 。よって $3 a = (6, - 9)$
$b$ を 2 倍する。 $x$ 成分は $2 \times (- 1) = - 2$ 、 $y$ 成分は $2 \times 4 = 8$ 。よって $2 b = (- 2, 8)$
成分ごとに引く。 $x$ 成分は $6 - (- 2) = 8$ 、 $y$ 成分は $- 9 - 8 = - 17$ 。よって $3 a - 2 b = (8, - 17)$
次に $a + b$ の成分を出す。 $x$ 成分は $2 + (- 1) = 1$ 、 $y$ 成分は $- 3 + 4 = 1$ 。よって $a + b = (1, 1)$
大きさの式に入れる。 $∣ a + b ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$

ここで間違えやすい　大きさは和の成分を出してから計算する。 $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ とは別のものである。

問 2　2 点 $A (1, 2)$ 、 $B (4, - 2)$ について、 $A B$ の成分と大きさ、および $A B$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

$A B = (3, - 4)$ 、大きさ 5、単位ベクトル $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

方針　2 点を結ぶベクトルの成分は「終点の座標引く始点の座標」。成分が出れば大きさが計算でき、ベクトルを自分の大きさで割れば、同じ向きの単位ベクトル（大きさ 1）になる。この順に進める。

終点 $B$ の座標から始点 $A$ の座標を引く。 $x$ 成分は $4 - 1 = 3$ 、 $y$ 成分は $- 2 - 2 = - 4$ 。よって $A B = (3, - 4)$
大きさを求める。 $∣ A B ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
同じ向きの単位ベクトルは $\frac{A B}{∣ A B ∣}$ なので、各成分を 5 で割る。 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$
確かめ。この大きさの 2 乗は $(\frac{3}{5})^{2} + (- \frac{4}{5})^{2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ で、確かに大きさ 1 になっている。

問 3　 $a = (1, 2)$ 、 $b = (3, - 1)$ のとき、 $c = (9, 4)$ を $s a + t b$ の形で表せ。

$c = 3 a + 2 b$

方針　求めるのは 2 つの実数 $s$ 、 $t$ 。ベクトルが等しいのは $x$ 成分どうし・ $y$ 成分どうしが等しいときなので、 $s a + t b$ の成分を $s$ 、 $t$ で表して $c$ の成分と比べれば、式が 2 つできる。未知数 2 つに式 2 つなので、連立方程式として解ける。

$s a = (s, 2 s)$ 、 $t b = (3 t, - t)$ なので、成分ごとに足して $s a + t b = (s + 3 t, 2 s - t)$
これが $c = (9, 4)$ に等しいので、 $x$ 成分から $s + 3 t = 9$ （第 1 式）、 $y$ 成分から $2 s - t = 4$ （第 2 式）
第 2 式を $t$ について解く。 $t = 2 s - 4$
これを第 1 式に代入する。 $s + 3 (2 s - 4) = 9$
かっこを外してまとめる。 $s + 6 s - 12 = 9$ から $7 s - 12 = 9$
移項して $7 s = 21$ 。両辺を 7 で割って $s = 3$
手順 3 の式に戻して、 $t = 2 \times 3 - 4 = 2$ 。よって $c = 3 a + 2 b$

確かめ: $x$ 成分は $3 \times 1 + 2 \times 3 = 9$ 、 $y$ 成分は $3 \times 2 + 2 \times (- 1) = 4$ 。

問 4　 $a = (x, 3)$ 、 $b = (2, x - 1)$ が平行になるような $x$ の値を求めよ。

$x = 3$ 、 $- 2$

方針　成分が分かっている 2 つのベクトルの平行条件は $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ 。 $b = k a$ とおくと文字が $k$ と $x$ の 2 つになるが、この式を使えば $x$ だけの方程式になる。

$a_{1} = x$ 、 $a_{2} = 3$ 、 $b_{1} = 2$ 、 $b_{2} = x - 1$ を平行条件に入れる。 $x (x - 1) - 3 \times 2 = 0$
展開する。 $x^{2} - x - 6 = 0$
因数分解する。掛けて $- 6$ 、足して $- 1$ になる 2 つの数は $- 3$ と $2$ なので、 $(x - 3) (x + 2) = 0$
よって $x = 3$ 、 $- 2$
確かめ。 $x = 3$ のとき $a = (3, 3)$ 、 $b = (2, 2)$ で、 $a = \frac{3}{2} b$ 。 $x = - 2$ のとき $a = (- 2, 3)$ 、 $b = (2, - 3)$ で、 $a = - b$ 。どちらも実数倍になっていて、確かに平行。

ここで間違えやすい　平行条件は「たすきに掛けて引く」 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ 。「同じ成分どうしを掛けて足す」 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ は垂直条件で、別のものである。

問 5　3 点 $A (1, 1)$ 、 $B (4, 2)$ 、 $C (6, 5)$ がある。四角形 $A B C D$ が平行四辺形になるような点 $D$ の座標を求めよ。

$D (3, 4)$

方針　四角形 $A B C D$ が平行四辺形になる条件は、ベクトルの等式 $A D = B C$ の 1 つで書ける（1 組の対辺が平行で長さが等しい）。分からない点 $D$ の座標を文字でおき、この等式を成分で比べる。

分かっている 2 点から $B C$ を求める。終点引く始点で、 $B C = (6 - 4, 5 - 2) = (2, 3)$
$D (s, t)$ とおく。終点引く始点で、 $A D = (s - 1, t - 1)$
$A D = B C$ なので、成分ごとに等しい。 $x$ 成分から $s - 1 = 2$ 、 $y$ 成分から $t - 1 = 3$
それぞれ解いて $s = 3$ 、 $t = 4$ 。よって $D (3, 4)$
確かめ。もう 1 組の対辺は $A B = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1)$ 、 $D C = (6 - 3, 5 - 4) = (3, 1)$ で、確かに等しい。

ここで間違えやすい　頂点の順番。四角形 $A B C D$ は $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ の順に回るので、等しいのは $A D$ と $B C$ （または $A B$ と $D C$ ）。 $A B = C D$ とすると、別の四角形 $A B D C$ の頂点が出てしまう。

問 6　 $a = (2, 1)$ 、 $b = (1, - 1)$ のとき、 $∣ a + t b ∣$ の最小値と、そのときの実数 $t$ の値を求めよ。

$t = - \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{3 2}{2}$

方針　大きさ $∣ a + t b ∣$ は根号を含むので、そのままでは最小値を調べにくい。大きさは 0 以上だから、2 乗が最小のとき大きさも最小になる。そこで 2 乗を成分で計算して $t$ の 2 次式にし、平方完成で最小値を出す。最後に根号をつけ直す。

成分を出す。 $t b = (t, - t)$ なので、 $a + t b = (2 + t, 1 - t)$
大きさの 2 乗を書く。 $∣ a + t b ∣^{2} = (2 + t)^{2} + (1 - t)^{2}$
それぞれ展開する。 $(2 + t)^{2} = t^{2} + 4 t + 4$ 、 $(1 - t)^{2} = t^{2} - 2 t + 1$
足してまとめる。 $∣ a + t b ∣^{2} = 2 t^{2} + 2 t + 5$
平方完成する。 $t^{2}$ の係数 2 でくくって $2 (t^{2} + t) + 5$ 。 $t^{2} + t = (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ なので、 $2 (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} + 5$
定数をまとめる。 $- \frac{1}{2} + 5 = \frac{9}{2}$ なので、 $∣ a + t b ∣^{2} = 2 (t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{2}$
2 乗の部分は 0 以上で、0 になるのは $t = - \frac{1}{2}$ のとき。このとき $∣ a + t b ∣^{2}$ は最小値 $\frac{9}{2}$ をとる。
根号をつけ直す。大きさの最小値は $\frac{9}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$