ベクトルと図形｜高校数学C

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (ア)「平面上のベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル，ベクトルの成分表示について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

図形の性質を、ベクトルの式に翻訳して計算で確かめます。翻訳の型は決まっています。
点は位置ベクトルで表し、「一直線上にある」は実数倍、「交点」は 2 通りに表して係数比較、「垂直」は内積が 0、と読みかえます。

図形の言葉	ベクトルの式
3 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ が一直線上にある	$A C = k A B$ となる実数 $k$ がある
点 $P$ が直線 $A B$ 上にある	$O P = s O A + t O B$ 、 $s + t = 1$
$A B ⊥ C D$	$A B \cdot C D = 0$
線分 $A B$ の長さ	$∣ A B ∣^{2} = A B \cdot A B$

分かれ目は次の 3 つ。

交点は「2 通りに表して係数を比べる」。比べる前に、2 つのベクトルが 1 次独立（ $0$ でなく平行でない）と断る
$O P = s O A + t O B$ の点 $P$ の範囲は、 $s + t$ の条件と $s$ 、 $t$ の符号の条件で決まる。 $s + t = 1$ だけなら直線 $A B$ 、これに $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$ が付けば線分 $A B$ 、 $s + t ≦ 1$ 、 $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$ なら三角形 $O A B$ の周と内部
垂直や長さが出てきたら内積。それ以外（平行・一直線・比）は内積を使わずに済む

1. 3 点が一直線上にある条件

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

$A$ を始点にした 2 つのベクトル $A B$ と $A C$ が平行なら、 $A$ を共有しているので 3 点は同じ直線の上に並びます。

異なる 2 点 $A$ 、 $B$ に対して、点 $C$ が直線 $A B$ 上にある条件を、ベクトルで書くと？

$A C = k A B$ となる実数 $k$ があること

始点を同じ点 $A$ にそろえるのがこつ。 $A C$ が $A B$ の実数倍なら、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ は一直線上に並ぶ。

3 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ が一直線上にあることを示して $A C = k A B$ が得られたとき、 $k$ から何が分かるか？

線分の長さの比 $A B : A C = 1 : ∣ k ∣$

例えば $A C = \frac{3}{4} A B$ なら $A C : A B = 3 : 4$ で、 $C$ は線分 $A B$ を $3 : 1$ に内分する。一直線の証明と比が同時に出る。

3 点 $A (1, 1)$ 、 $B (3, 2)$ 、 $C (7, 4)$ は一直線上にあるか？

ある。 $A C = 3 A B$

$A B = (3 - 1, 2 - 1) = (2, 1)$ 、 $A C = (7 - 1, 4 - 1) = (6, 3)$ 。 $A C$ は $A B$ の 3 倍になっている。

2. 交点の位置ベクトル

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

2 本の線分の交点は、「一方の線分上にある」と「もう一方の線分上にある」の 2 つの条件を同時に満たす点です。それぞれを式にして、等しいとおきます。

三角形 $O A B$ の中で、線分 $A D$ と線分 $B C$ の交点 $P$ の位置ベクトルを求める手順は？

$A P : P D = s : (1 - s)$ 、 $B P : P C = t : (1 - t)$ とおいて $O P$ を $a$ 、 $b$ で 2 通りに表し、係数を比べて $s$ 、 $t$ を求める

内分点の式で $O P = (1 - s) O A + s O D$ 、 $O P = (1 - t) O B + t O C$ と書き、どちらも $a = O A$ 、 $b = O B$ の式に直す。

$O P$ を $a$ 、 $b$ で 2 通りに表して係数を比べるとき、必ず断っておくことは？

$a \neq = 0$ 、 $b \neq = 0$ で、 $a$ と $b$ が平行でない（1 次独立である）こと

1 次独立なら $s a + t b$ の表し方はただ 1 通りなので、係数が比べられる。三角形 $O A B$ の 2 辺 $O A$ 、 $O B$ はこの条件を満たす。

3. 点の存在範囲

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

$O P = s O A + t O B$ で $s + t = 1$ のとき、 $s = 1 - t$ を代入すると $O P = O A + t A B$ となり、 $P$ は直線 $A B$ 上を動きます。
係数の条件を変えると、 $P$ の動く範囲が変わります。 $O$ 、 $A$ 、 $B$ は一直線上にないとします。

$O P = s O A + t O B$ で、 $s + t = 1$ のとき、点 $P$ の存在範囲は？

直線 $A B$

$O P = O A + t A B$ と書き直せる。逆に、直線 $A B$ 上の点は必ず係数の和が 1 の形で表せる。

$O P = s O A + t O B$ で、 $s + t = 1$ 、 $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$ のとき、点 $P$ の存在範囲は？

線分 $A B$

$P$ は線分 $A B$ を $t : s$ に内分する点（ $t = 0$ で $A$ 、 $s = 0$ で $B$ ）。係数が負になると、線分の外へ出る。

$O P = s O A + t O B$ で、 $s + t ≦ 1$ 、 $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$ のとき、点 $P$ の存在範囲は？

三角形 $O A B$ の周と内部

$s + t = k$ （ $0 ≦ k ≦ 1$ ）とおくと、 $P$ は $O A$ 、 $O B$ を $k$ 倍に縮めた線分の上を動く。 $k$ を 0 から 1 まで動かすと、三角形 $O A B$ 全体をおおう。

$O P = s O A + t O B$ で、 $s + t = 2$ のように係数の和が 1 でないとき、点 $P$ の存在範囲はどう調べるか？

係数の和が 1 になるように式を作り直す。 $\frac{s}{2} + \frac{t}{2} = 1$ として $O P = \frac{s}{2} (2 O A) + \frac{t}{2} (2 O B)$

$2 O A = O A^{'}$ 、 $2 O B = O B^{'}$ となる点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ をとると、 $P$ は直線 $A^{'} B^{'}$ 上にある。係数を割ったぶん、ベクトルのほうに掛ける。

$O P = s O A + t O B$ で、 $0 ≦ s ≦ 1$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき、点 $P$ の存在範囲は？

$O A$ 、 $O B$ を 2 辺とする平行四辺形の周と内部

$s$ と $t$ が別々に動く。 $O C = O A + O B$ となる点 $C$ をとった平行四辺形 $O A C B$ になる。

4. 内積と図形

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

垂直と長さは、内積で式になります。図形の証明では、基準の点から出る 2 つのベクトルで全部の辺を表し、内積を計算します。

2 直線 $A B$ 、 $C D$ が垂直であることを、ベクトルで示すには？

$A B \cdot C D = 0$ を示す

$A B$ 、 $C D$ を基準になる 2 つのベクトルで表し、内積を展開して 0 になることを計算する。なす角が $9 0^{\circ}$ であることと同じ。

線分の長さの条件（ $O A = O B$ など）を、ベクトルの計算に持ち込むには？

2 乗して内積に直す。 $∣ a ∣^{2} = a \cdot a$

$O A = O B$ なら $∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2}$ 。内積を展開して出てきた $∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}$ を 0 にできる。

ひし形 $O A C B$ の対角線 $O C$ と $A B$ が垂直であることを、 $O A = a$ 、 $O B = b$ で示すと？

$O C \cdot A B = (a + b) \cdot (b - a) = ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0$

ひし形は 4 辺が等しいので $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ 。内積の展開は、和と差の積の展開と同じ形になる。

練習問題

問 1　平行四辺形 $A B C D$ で、辺 $B C$ を $1 : 2$ に内分する点を $E$ 、対角線 $B D$ を $1 : 3$ に内分する点を $F$ とする。3 点 $A$ 、 $F$ 、 $E$ は一直線上にあることを示せ。

$A F = \frac{3}{4} A E$ となるので、一直線上にある

方針　3 点 $A$ 、 $F$ 、 $E$ が一直線上にあることは、始点を $A$ にそろえた 2 つのベクトルについて $A F = k A E$ となる実数 $k$ があることを示せばよい。平行四辺形なので、 $A$ から出る 2 辺 $A B$ 、 $A D$ を基準にして $A E$ と $A F$ を表し、一方がもう一方の実数倍になっていることを見つける。

$A B = b$ 、 $A D = d$ とおく。平行四辺形の向かい合う辺なので、 $B C = A D = d$
$E$ は辺 $B C$ を $1 : 2$ に内分するので、 $B E$ は $B C$ の $\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$ 。よって $B E = \frac{1}{3} d$
$B$ を経由して、 $A E = A B + B E = b + \frac{1}{3} d$
$F$ は対角線 $B D$ を $1 : 3$ に内分するので、 $A$ を基準にした内分点の式から $A F = \frac{3 A B + 1 A D}{1 + 3} = \frac{3 b + d}{4}$
$A E$ と同じ形が出るように、 $\frac{3}{4}$ でくくる。 $\frac{3 b + d}{4} = \frac{3}{4} (b + \frac{1}{3} d)$
かっこの中は $A E$ なので、 $A F = \frac{3}{4} A E$ 。実数倍になっているから、3 点 $A$ 、 $F$ 、 $E$ は一直線上にある。

$A F$ は $A E$ の $\frac{3}{4}$ なので、 $A F : F E = 3 : 1$ であることも分かる。

ここで間違えやすい　2 つのベクトルの始点は同じ点 $A$ にそろえる。始点が違うと、平行であっても一直線上とは限らない。

問 2　三角形 $O A B$ で、辺 $O A$ を $2 : 1$ に内分する点を $C$ 、辺 $O B$ の中点を $D$ とし、線分 $A D$ と線分 $B C$ の交点を $P$ とする。 $O A = a$ 、 $O B = b$ として、 $O P$ を $a$ 、 $b$ で表せ。

$O P = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b$

方針　交点 $P$ は「線分 $A D$ 上にある」と「線分 $B C$ 上にある」を同時に満たす点。それぞれの線分を分ける比はまだ分からないので文字（ $s$ と $t$ ）でおき、内分点の式で $O P$ を 2 通りに表す。同じベクトルを $a$ 、 $b$ で 2 通りに表したのだから、係数が等しいはずで、そこから $s$ 、 $t$ が決まる。

$C$ 、 $D$ の位置を表す。 $C$ は辺 $O A$ を $2 : 1$ に内分するので $O C = \frac{2}{3} a$ 、 $D$ は辺 $O B$ の中点なので $O D = \frac{1}{2} b$
$P$ が線分 $A D$ 上にあることを式にする。 $A P : P D = s : (1 - s)$ とおくと、内分点の式から $O P = (1 - s) O A + s O D = (1 - s) a + \frac{s}{2} b$
$P$ が線分 $B C$ 上にあることを式にする。 $B P : P C = t : (1 - t)$ とおくと、 $O P = (1 - t) O B + t O C = \frac{2 t}{3} a + (1 - t) b$
$a$ 、 $b$ は $0$ でなく平行でもない（1 次独立）から、2 通りの表し方の係数は等しい。 $a$ の係数から $1 - s = \frac{2 t}{3}$ （第 1 式）、 $b$ の係数から $\frac{s}{2} = 1 - t$ （第 2 式）
第 2 式の両辺を 2 倍して、 $s = 2 - 2 t$
これを第 1 式に代入する。左辺は $1 - (2 - 2 t) = 2 t - 1$ なので、 $2 t - 1 = \frac{2 t}{3}$
両辺を 3 倍して $6 t - 3 = 2 t$ 。移項して $4 t = 3$ から $t = \frac{3}{4}$
手順 5 の式に戻す。 $2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ なので、 $s = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
$s = \frac{1}{2}$ を手順 2 の式に入れる。 $a$ の係数は $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $b$ の係数は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。よって $O P = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b$

確かめ: $t = \frac{3}{4}$ を手順 3 の式に入れても、 $a$ の係数は $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $b$ の係数は $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ で、同じ式になる。

ここで間違えやすい　内分点の式はたすきがけ。 $A P : P D = s : (1 - s)$ のとき、 $s$ が掛かるのは遠いほうの $O D$ で、 $O A$ には $1 - s$ が掛かる。

問 3　問 2 の三角形で、直線 $O P$ と辺 $A B$ の交点を $Q$ とする。 $O Q$ を $a$ 、 $b$ で表し、 $A Q : QB$ を求めよ。

$O Q = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$ 、 $A Q : QB = 1 : 2$

方針　 $Q$ は「直線 $O P$ 上にある」と「直線 $A B$ 上にある」を同時に満たす点。1 つ目は $O Q = k O P$ （実数倍）と書け、2 つ目は「 $O Q$ を $a$ 、 $b$ で表したとき係数の和が 1」と書ける。1 つ目で文字を $k$ だけにしてから、2 つ目で $k$ を決める。

問 2 から $O P = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b$ 。 $Q$ は直線 $O P$ 上にあるので、実数 $k$ を使って $O Q = k O P = \frac{k}{2} a + \frac{k}{4} b$
$Q$ は直線 $A B$ 上にあるので、 $a$ と $b$ の係数の和が 1。 $\frac{k}{2} + \frac{k}{4} = 1$
左辺を通分すると $\frac{2 k}{4} + \frac{k}{4} = \frac{3 k}{4}$ なので、 $\frac{3 k}{4} = 1$ 。両辺に $\frac{4}{3}$ を掛けて $k = \frac{4}{3}$
$k$ を手順 1 の式に戻す。 $a$ の係数は $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ 、 $b$ の係数は $\frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ 。よって $O Q = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$
内分点の式の形に直す。 $O Q = \frac{2 a + 1 b}{1 + 2}$ は、線分 $A B$ を $1 : 2$ に内分する点の式になっている。よって $A Q : QB = 1 : 2$

ここで間違えやすい　比はたすきがけで読む。 $a$ の係数のほうが大きいのは、 $Q$ が $A$ に近いということ。 $a$ に掛かっている 2 は $B$ 側の比なので、 $A Q : QB = 1 : 2$ になる。 $2 : 1$ ではない。

問 4　三角形 $O A B$ に対して $O P = s O A + t O B$ とする。次の条件を満たす点 $P$ の存在範囲を求めよ。（1） $2 s + t = 1$ 、 $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$ 　（2） $s + t ≦ 2$ 、 $s ≧ 0$ 、 $t ≧ 0$

（1）辺 $O A$ の中点を $A^{'}$ として、線分 $A^{'} B$ 　（2） $O A^{'} = 2 O A$ 、 $O B^{'} = 2 O B$ となる点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ をとって、三角形 $O A^{'} B^{'}$ の周と内部

方針　「係数の和が 1 で、係数が 0 以上なら線分」「係数の和が 1 以下で、係数が 0 以上なら三角形の周と内部」という結果は、係数の和が 1（または 1 以下）の形のときにだけ使える。そこで、条件の式がその形になるように係数を作り直す。係数を何倍かしたら、そのぶんベクトルのほうを割って、 $O P$ 全体は変えないようにする。

（1）条件 $2 s + t = 1$ は、 $2 s$ と $t$ の和が 1 という形。そこで $O A$ の係数が $2 s$ になるように書き直す。 $s O A = 2 s (\frac{1}{2} O A)$ なので、 $O P = 2 s (\frac{1}{2} O A) + t O B$
$2 s = s^{'}$ とおき、 $\frac{1}{2} O A = O A^{'}$ となる点 $A^{'}$ （辺 $O A$ の中点）をとると、 $O P = s^{'} O A^{'} + t O B$
条件を $s^{'}$ で書き直す。 $2 s + t = 1$ は $s^{'} + t = 1$ になり、 $s ≧ 0$ から $s^{'} ≧ 0$ 。 $t ≧ 0$ はそのまま。
係数の和が 1 で、どちらも 0 以上なので、 $P$ の存在範囲は線分 $A^{'} B$
（2）条件 $s + t ≦ 2$ の両辺を 2 で割って、和が 1 以下の形にする。 $\frac{s}{2} + \frac{t}{2} ≦ 1$
係数が $\frac{s}{2}$ 、 $\frac{t}{2}$ になるように書き直す。 $O P = \frac{s}{2} (2 O A) + \frac{t}{2} (2 O B)$
$\frac{s}{2} = s^{'}$ 、 $\frac{t}{2} = t^{'}$ とおき、 $2 O A = O A^{'}$ 、 $2 O B = O B^{'}$ となる点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ をとると、 $O P = s^{'} O A^{'} + t^{'} O B^{'}$ で、 $s^{'} + t^{'} ≦ 1$ 、 $s^{'} ≧ 0$ 、 $t^{'} ≧ 0$
係数の和が 1 以下で、どちらも 0 以上なので、 $P$ の存在範囲は三角形 $O A^{'} B^{'}$ の周と内部

確かめ: （1）で $s = 0$ 、 $t = 1$ とすると $P$ は $B$ 、 $s = \frac{1}{2}$ 、 $t = 0$ とすると $O P = \frac{1}{2} O A$ で $P$ は $A^{'}$ 。線分の両端になっている。

ここで間違えやすい　係数を 2 倍したらベクトルは $\frac{1}{2}$ 倍、係数を $\frac{1}{2}$ 倍したらベクトルは 2 倍。逆にすると、（1）で $A^{'}$ を $O A$ の 2 倍の点にとってしまう。

問 5　三角形 $A B C$ の頂点 $B$ から辺 $C A$ に下ろした垂線と、頂点 $C$ から辺 $A B$ に下ろした垂線の交点を $H$ とする。 $A H ⊥ B C$ であることを示せ。

$H$ を基準の点にとると、 $H A \cdot B C = 0$ が計算で出る

方針　垂直は「内積が 0」と読みかえる。分かっている垂直が 2 つ、示したい垂直が 1 つで、どれにも点 $H$ が出てくる。そこで $H$ を基準の点にとり、3 つの頂点を $H A$ 、 $H B$ 、 $H C$ で表す。こうすると、条件も結論も 3 つのベクトルの内積の式になり、条件の 2 式から結論の式が計算で出る。

$H A = a$ 、 $H B = b$ 、 $H C = c$ とおく。辺のベクトルは終点引く始点で、 $C A = a - c$ 、 $A B = b - a$ 、 $B C = c - b$
1 つ目の条件 $B H ⊥ C A$ を内積で書く。 $H B \cdot C A = 0$ なので、 $b \cdot (a - c) = 0$
展開すると $a \cdot b - b \cdot c = 0$ 。移項して $a \cdot b = b \cdot c$
2 つ目の条件 $C H ⊥ A B$ を内積で書く。 $H C \cdot A B = 0$ なので、 $c \cdot (b - a) = 0$
展開すると $b \cdot c - c \cdot a = 0$ 。移項して $b \cdot c = c \cdot a$
手順 3 と手順 5 をつなぐと、 $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a$ 。特に $a \cdot b = c \cdot a$
示したい内積を計算する。 $H A \cdot B C = a \cdot (c - b) = c \cdot a - a \cdot b$
手順 6 からこの値は 0。よって $H A \cdot B C = 0$ で、 $A H ⊥ B C$

$A$ から辺 $B C$ に下ろした垂線も $H$ を通ることになるので、3 本の垂線は 1 点（垂心）で交わる。

問 6　三角形 $O A B$ で、 $∣ O A ∣ = 3$ 、 $∣ O B ∣ = 2$ 、 $O A \cdot O B = 3$ とする。 $O$ から辺 $A B$ に下ろした垂線と $A B$ の交点を $H$ とするとき、 $O H$ を $O A = a$ 、 $O B = b$ で表せ。

$O H = \frac{1}{7} a + \frac{6}{7} b$

方針　 $H$ を決める条件は「直線 $A B$ 上にある」と「 $O H ⊥ A B$ 」の 2 つ。1 つ目から $O H = (1 - t) a + t b$ とおけて、分からないものが $t$ だけになる。2 つ目は垂直なので内積が 0。内積を展開すると $∣ a ∣^{2}$ 、 $∣ b ∣^{2}$ 、 $a \cdot b$ が出てきて、どれも値が与えられているから、 $t$ の 1 次方程式になる。

$H$ は直線 $A B$ 上にあるので、係数の和が 1 の形で $O H = (1 - t) a + t b$ とおく。
$A B = b - a$ で、 $O H ⊥ A B$ だから内積が 0。 ${(1 - t) a + t b} \cdot (b - a) = 0$
$(1 - t) a$ の部分を展開する。 $a \cdot (b - a) = a \cdot b - ∣ a ∣^{2}$ なので、この部分は $(1 - t) (a \cdot b - ∣ a ∣^{2})$
$t b$ の部分を展開する。 $b \cdot (b - a) = ∣ b ∣^{2} - a \cdot b$ なので、この部分は $t (∣ b ∣^{2} - a \cdot b)$
合わせると、 $(1 - t) (a \cdot b - ∣ a ∣^{2}) + t (∣ b ∣^{2} - a \cdot b) = 0$
値を入れる。 $∣ a ∣^{2} = 3^{2} = 9$ 、 $∣ b ∣^{2} = 2^{2} = 4$ 、 $a \cdot b = 3$ なので、 $a \cdot b - ∣ a ∣^{2}$ は $3 - 9 = - 6$ 、 $∣ b ∣^{2} - a \cdot b$ は $4 - 3 = 1$
手順 5 の式は $- 6 (1 - t) + t = 0$ になる。かっこを外して $- 6 + 6 t + t = 0$
まとめて $7 t = 6$ 。両辺を 7 で割って $t = \frac{6}{7}$
手順 1 の式に戻す。 $a$ の係数は $1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$ なので、 $O H = \frac{1}{7} a + \frac{6}{7} b$

$O H = \frac{1 a + 6 b}{6 + 1}$ なので、 $H$ は辺 $A B$ を $6 : 1$ に内分する。

確かめ: $O H \cdot A B$ は、手順 5 の左辺に $t = \frac{6}{7}$ を入れて $\frac{1}{7} \times (- 6) + \frac{6}{7} \times 1 = 0$ 。確かに垂直になっている。

ここで間違えやすい　 $a \cdot a$ は $∣ a ∣$ ではなく $∣ a ∣^{2}$ 。値を入れるときは 3 でなく 9、2 でなく 4 を使う。