ベクトル方程式｜高校数学C

学習指導要領数学C (1) ベクトルア (ア)「平面上のベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル，ベクトルの成分表示について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

直線や円の上を動く点 $P$ の位置ベクトル $p$ が満たす式を、その図形のベクトル方程式といいます。
直線は「通る点と向き」で、円は「中心からの距離」で決まります。この決まり方をそのままベクトルの式にしたものです。

図形	決めるもの	ベクトル方程式
直線	通る点 $A (a)$ と方向ベクトル $d$	$p = a + t d$
直線	通る 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$	$p = (1 - t) a + t b$
直線	通る点 $A (a)$ と法線ベクトル $n$	$n \cdot (p - a) = 0$
円	中心 $C (c)$ と半径 $r$	$∣ p - c ∣ = r$
円	直径の両端 $A (a)$ 、 $B (b)$	$(p - a) \cdot (p - b) = 0$

分かれ目は次の 3 つ。

方向ベクトルは直線に平行、法線ベクトルは直線に垂直。方向ベクトルの式には媒介変数 $t$ が入り、法線ベクトルの式には入らない
直線 $a x + b y + c = 0$ の $x$ 、 $y$ の係数を並べた $(a, b)$ は法線ベクトル。方向ベクトルではない
成分を入れれば、数学Ⅱの直線や円の方程式に戻る。ベクトル方程式は、同じ図形の別の書き方

1. 方向ベクトルと直線

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

点 $A$ を通り $d$ に平行な直線の上の点 $P$ は、 $A P$ が $d$ の実数倍になっています。これを位置ベクトルで書きます。

図形のベクトル方程式とは何か？

その図形上の点 $P$ の位置ベクトル $p$ が満たす関係式

図形上のどの点もその式を満たし、式を満たす点はすべてその図形上にある。成分 $p = (x, y)$ を入れると、 $x$ 、 $y$ の方程式になる。

点 $A (a)$ を通り、 $0$ でないベクトル $d$ に平行な直線のベクトル方程式は？ $d$ を何というか？

$p = a + t d$ （ $t$ は実数）。 $d$ は直線の方向ベクトル

$A P = t d$ を位置ベクトルで書いたもの。実数 $t$ を媒介変数という。 $t$ の値 1 つに、直線上の点が 1 つ対応する。

点 $A (x_{1}, y_{1})$ を通り、方向ベクトルが $d = (l, m)$ の直線を、成分で表すと？

$x = x_{1} + l t$ 、 $y = y_{1} + m t$ （直線の媒介変数表示）

$p = a + t d$ に $p = (x, y)$ を入れて、成分ごとに書いたもの。 $t$ を消去すると $m (x - x_{1}) - l (y - y_{1}) = 0$ となり、 $x$ 、 $y$ の方程式になる。

点 $(1, 2)$ を通り、方向ベクトルが $d = (2, 3)$ の直線の媒介変数表示と、 $t$ を消去した方程式は？

$x = 1 + 2 t$ 、 $y = 2 + 3 t$ 。消去すると $3 x - 2 y + 1 = 0$

第 1 式の 3 倍から第 2 式の 2 倍を引くと $t$ が消えて $3 x - 2 y = - 1$ 。傾きは $\frac{3}{2}$ で、方向ベクトルの成分の比になっている。

2. 2 点を通る直線

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(ア)

2 点 $A$ 、 $B$ を通る直線は、 $A$ を通り $A B = b - a$ を方向ベクトルとする直線です。

異なる 2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を通る直線のベクトル方程式は？

$p = (1 - t) a + t b$ （ $t$ は実数）

$p = a + t (b - a)$ を整理したもの。方向ベクトルは $A B$ 。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を通る直線のベクトル方程式を、2 つの実数 $s$ 、 $t$ で書くと？

$p = s a + t b$ 、 $s + t = 1$

$1 - t$ を $s$ とおいたもの。係数の和が 1 であることが、直線 $A B$ 上にある条件。

直線 $p = (1 - t) a + t b$ で、 $t = 0$ 、 $t = 1$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき、点 $P$ はそれぞれどこにあるか？

$t = 0$ で点 $A$ 、 $t = 1$ で点 $B$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ で線分 $A B$ 上

$0 < t < 1$ のとき、 $P$ は線分 $A B$ を $t : (1 - t)$ に内分する点。 $t < 0$ なら $A$ の外側、 $t > 1$ なら $B$ の外側にある。

3. 法線ベクトルと直線

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

直線に垂直なベクトルを、その直線の法線ベクトルといいます。点 $A$ を通り $n$ に垂直な直線上の点 $P$ は、 $A P$ と $n$ の内積が 0 になります。

点 $A (a)$ を通り、 $0$ でないベクトル $n$ に垂直な直線のベクトル方程式は？ $n$ を何というか？

$n \cdot (p - a) = 0$ 。 $n$ は直線の法線ベクトル

$A P ⊥ n$ または $P$ が $A$ に一致する、という条件を内積で書いたもの。媒介変数は入らない。

点 $A (x_{1}, y_{1})$ を通り、法線ベクトルが $n = (a, b)$ の直線の方程式は？

$a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$

$n \cdot (p - a) = 0$ に $p - a = (x - x_{1}, y - y_{1})$ を入れて、内積を成分で計算したもの。

直線 $a x + b y + c = 0$ の法線ベクトルと方向ベクトルを、係数から読むと？

法線ベクトルは $(a, b)$ 、方向ベクトルは $(b, - a)$

$x$ 、 $y$ の係数をそのまま並べると法線ベクトル。 $(a, b)$ と $(b, - a)$ の内積は $ab - ab = 0$ なので垂直になっている。

2 直線のなす角を、法線ベクトルを使って求めるには？

2 直線の法線ベクトル $n_{1}$ 、 $n_{2}$ のなす角 $θ$ を内積で求める。 $θ$ が鈍角なら $18 0^{\circ} - θ$ を答える

2 直線をそれぞれ $9 0^{\circ}$ 回すと法線の向きになるので、法線どうしの角は直線どうしの角に等しい。2 直線のなす角は、ふつう $0^{\circ}$ 以上 $9 0^{\circ}$ 以下のほうをとる。

4. 円のベクトル方程式

根拠: 学習指導要領数学C-(1)-ア-(イ)

円は「中心からの距離が一定」の点の集まりです。距離はベクトルの大きさなので、そのまま式になります。大きさを 2 乗すれば内積の式です。

中心 $C (c)$ 、半径 $r$ の円のベクトル方程式は？

$∣ p - c ∣ = r$

$C P = r$ をそのまま書いたもの。両辺を 2 乗すると $(p - c) \cdot (p - c) = r^{2}$ 。 $p = (x, y)$ 、 $c = (a, b)$ を入れると $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 。

2 点 $A (a)$ 、 $B (b)$ を直径の両端とする円のベクトル方程式は？

$(p - a) \cdot (p - b) = 0$

直径に対する円周角は $9 0^{\circ}$ なので、円周上の点 $P$ について $A P ⊥ B P$ 。 $P$ が $A$ 、 $B$ に一致するときも式は成り立つ。

【発展】円の接線のベクトル方程式

中心 $C (c)$ 、半径 $r$ の円周上の点 $P_{0} (p_{0})$ における接線は、 $(p_{0} - c) \cdot (p - c) = r^{2}$ で表される。
接線は半径 $C P_{0}$ に垂直なので $(p_{0} - c) \cdot (p - p_{0}) = 0$ 。これに $∣ p_{0} - c ∣^{2} = r^{2}$ を使って整理する。
中心が原点なら $p_{0} \cdot p = r^{2}$ で、成分で書くと数学Ⅱの接線の式 $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ になる。

練習問題

問 1　点 $A (2, 1)$ を通り、 $d = (3, - 2)$ に平行な直線を、媒介変数 $t$ を使って表せ。また、 $t$ を消去した方程式を求めよ。

$x = 2 + 3 t$ 、 $y = 1 - 2 t$ 。消去すると $2 x + 3 y - 7 = 0$

方針　通る点 $A$ と平行なベクトル（方向ベクトル） $d$ が分かっているので、直線のベクトル方程式 $p = a + t d$ がそのまま使える。 $p = (x, y)$ として成分ごとに書けば媒介変数表示になる。 $t$ を消去するには、2 つの式の $t$ の係数の絶対値をそろえて足す。

ベクトル方程式に成分を入れる。 $(x, y) = (2, 1) + t (3, - 2)$
成分ごとに書く。 $x$ 成分から $x = 2 + 3 t$ （第 1 式）、 $y$ 成分から $y = 1 - 2 t$ （第 2 式）。これが媒介変数表示。
$t$ を消すために、 $t$ の係数を $6$ と $- 6$ にそろえる。第 1 式を 2 倍して $2 x = 4 + 6 t$ 、第 2 式を 3 倍して $3 y = 3 - 6 t$
2 つを足すと $6 t$ と $- 6 t$ が消える。 $2 x + 3 y = 4 + 3$ 、すなわち $2 x + 3 y = 7$
右辺を移項して、 $2 x + 3 y - 7 = 0$
確かめ。点 $A (2, 1)$ を入れると $2 \times 2 + 3 \times 1 - 7 = 0$ で、確かに $A$ を通る。

ここで間違えやすい　 $d = (3, - 2)$ は方向ベクトルで、できた方程式の $x$ 、 $y$ の係数 $(2, 3)$ は法線ベクトル。2 つの内積は $3 \times 2 + (- 2) \times 3 = 0$ で垂直になっている。 $d$ の成分をそのまま係数にして $3 x - 2 y + \dots = 0$ としない。

問 2　2 点 $A (1, 3)$ 、 $B (4, - 1)$ を通る直線を、媒介変数 $t$ を使って表せ。また、 $t$ を消去した方程式を求めよ。

$x = 1 + 3 t$ 、 $y = 3 - 4 t$ 。消去すると $4 x + 3 y - 13 = 0$

方針　直線は「通る点と向き」で決まる。2 点 $A$ 、 $B$ を通る直線の向きは $A B$ なので、これを方向ベクトルにすれば、問 1 と同じ「点 $A$ を通り $A B$ に平行な直線」の問題になる。

方向ベクトルを求める。終点引く始点で、 $A B = (4 - 1, - 1 - 3) = (3, - 4)$
$p = a + t A B$ に成分を入れる。 $(x, y) = (1, 3) + t (3, - 4)$
成分ごとに書く。 $x = 1 + 3 t$ （第 1 式）、 $y = 3 - 4 t$ （第 2 式）。これが媒介変数表示。
$t$ を消すために、 $t$ の係数を $12$ と $- 12$ にそろえる。第 1 式を 4 倍して $4 x = 4 + 12 t$ 、第 2 式を 3 倍して $3 y = 9 - 12 t$
2 つを足すと $t$ が消える。 $4 x + 3 y = 4 + 9$ 、すなわち $4 x + 3 y = 13$
右辺を移項して、 $4 x + 3 y - 13 = 0$
確かめ。媒介変数表示で $t = 1$ とすると $x = 1 + 3 = 4$ 、 $y = 3 - 4 = - 1$ で、確かに $B (4, - 1)$ になる。方程式に入れても $4 \times 4 + 3 \times (- 1) - 13 = 0$ 。

問 3　点 $A (3, - 1)$ を通り、 $n = (2, 5)$ に垂直な直線の方程式を求めよ。

$2 x + 5 y - 1 = 0$

方針　直線に垂直なベクトル（法線ベクトル） $n$ が分かっている。直線上の点 $P$ については $A P$ が $n$ に垂直なので、内積が 0 という式 $n \cdot (p - a) = 0$ が使える。成分を入れれば、そのまま $x$ 、 $y$ の方程式になる。

直線上の点を $P (x, y)$ とする。終点引く始点で、 $A P = (x - 3, y - (- 1)) = (x - 3, y + 1)$
$n = (2, 5)$ との内積が 0 になる。成分で書いて、 $2 (x - 3) + 5 (y + 1) = 0$
かっこを外す。 $2 x - 6 + 5 y + 5 = 0$
定数は $- 6 + 5 = - 1$ なので、 $2 x + 5 y - 1 = 0$
確かめ。点 $A (3, - 1)$ を入れると $2 \times 3 + 5 \times (- 1) - 1 = 0$ で、確かに $A$ を通る。 $x$ 、 $y$ の係数 $(2, 5)$ は法線ベクトルと一致している。

問 4　2 直線 $2 x - y + 1 = 0$ 、 $x - 3 y + 2 = 0$ のなす角 $α$ を求めよ。ただし $0^{\circ} ≦ α ≦ 9 0^{\circ}$ とする。

$α = 4 5^{\circ}$

方針　直線 $a x + b y + c = 0$ の法線ベクトルは、 $x$ 、 $y$ の係数を並べた $(a, b)$ で、式からすぐに読める。2 直線をそれぞれ $9 0^{\circ}$ 回すと法線の向きになるので、法線ベクトルどうしのなす角は 2 直線のなす角に等しい。そこで、2 つの法線ベクトルのなす角 $θ$ を内積で求める。

係数から法線ベクトルを読む。 $2 x - y + 1 = 0$ から $n_{1} = (2, - 1)$ 、 $x - 3 y + 2 = 0$ から $n_{2} = (1, - 3)$
内積を計算する。 $n_{1} \cdot n_{2} = 2 \times 1 + (- 1) \times (- 3) = 2 + 3 = 5$
大きさを計算する。 $∣ n_{1} ∣ = 2^{2} + (- 1)^{2} = 5$ 、 $∣ n_{2} ∣ = 1^{2} + (- 3)^{2} = 10$
$cos θ$ の式に入れる。 $cos θ = \frac{5}{5 \times 10}$
分母は $5 \times 10 = 50 = 52$ なので、 $cos θ = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}$
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ の範囲で $cos θ = \frac{1}{2}$ となるのは、 $θ = 4 5^{\circ}$
$θ$ は鋭角なので、そのまま 2 直線のなす角になる。 $α = 4 5^{\circ}$

ここで間違えやすい　法線ベクトルのなす角 $θ$ が鈍角になったとき（ $cos θ$ が負のとき）は、 $18 0^{\circ} - θ$ を答える。2 直線のなす角は $9 0^{\circ}$ 以下のほうをとるからである。また、 $y$ の係数は符号ごと読む（ $- y$ の係数は $- 1$ ）。

問 5　2 点 $A (1, 2)$ 、 $B (5, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を、ベクトル方程式から求めよ。

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$

方針　直径に対する円周角は $9 0^{\circ}$ なので、円周上の点 $P$ について $A P ⊥ B P$ が成り立つ。これを内積で書いたのが、直径の両端が分かっているときの円のベクトル方程式 $(p - a) \cdot (p - b) = 0$ 。中心や半径を先に求めなくても、成分を入れて整理すれば円の方程式になる。

円周上の点を $P (x, y)$ とする。 $p - a = (x - 1, y - 2)$ 、 $p - b = (x - 5, y - 4)$
内積が 0 という式を成分で書く。 $(x - 1) (x - 5) + (y - 2) (y - 4) = 0$
それぞれ展開する。 $(x - 1) (x - 5) = x^{2} - 6 x + 5$ 、 $(y - 2) (y - 4) = y^{2} - 6 y + 8$
足して、 $x^{2} - 6 x + 5 + y^{2} - 6 y + 8 = 0$ 。定数は $5 + 8 = 13$ なので、 $x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 13 = 0$
$x$ 、 $y$ それぞれで平方完成する。 $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ 、 $y^{2} - 6 y = (y - 3)^{2} - 9$
手順 4 の式に入れる。 $(x - 3)^{2} - 9 + (y - 3)^{2} - 9 + 13 = 0$
定数は $- 9 - 9 + 13 = - 5$ なので、移項して $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$

確かめ: 中心 $(3, 3)$ は $A B$ の中点 $(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2})$ 、半径 $5$ は $A B = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 25$ の半分で、確かに合っている。

問 6　定点 $A (a)$ に対して、 $∣ 3 p - a ∣ = 6$ を満たす点 $P (p)$ はどんな図形をえがくか。基準の点を $O$ とする。

線分 $O A$ を $1 : 2$ に内分する点を中心とする、半径 2 の円

方針　大きさが一定という式なので、円のベクトル方程式 $∣ p - c ∣ = r$ の形に直せれば、中心 $c$ と半径 $r$ が読める。いまは $p$ の係数が 3 で形が合わないので、絶対値の中を 3 でくくって $p$ の係数を 1 にする。

絶対値の中を 3 でくくる。 $3 p - a = 3 (p - \frac{1}{3} a)$
実数倍の大きさは $∣ k x ∣ = ∣ k ∣ ∣ x ∣$ なので、3 を絶対値の外に出せる。 $∣ 3 p - a ∣ = 3 p - \frac{1}{3} a$
与えられた式は $3 p - \frac{1}{3} a = 6$ になる。両辺を 3 で割って、 $p - \frac{1}{3} a = 2$
これは、位置ベクトルが $\frac{1}{3} a$ の点を中心とする、半径 2 の円のベクトル方程式。
中心の位置を言葉にする。位置ベクトルが $\frac{1}{3} a$ の点を $C$ とすると $O C = \frac{1}{3} O A$ で、 $O C : C A = \frac{1}{3} : \frac{2}{3}$ 。よって $C$ は線分 $O A$ を $1 : 2$ に内分する点である。

ここで間違えやすい　半径は 6 ではなく、3 で割った 2。中心も $A$ ではなく、 $\frac{1}{3} a$ の点になる。 $p$ の係数を 1 にしてから読む。