2円の位置関係と共通接線｜高校数学A

学習指導要領数学A (1) 図形の性質ア (イ)「円に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、2 円の位置関係と共通接線。

0. どういうまとまりか

半径 $r$ 、 $r^{'}$ （ $r > r^{'}$ ）の 2 つの円の位置関係は、中心間の距離 $d$ を、半径の和 $r + r^{'}$ と差 $r - r^{'}$ と比べれば決まります。
位置関係が決まると、2 つの円の両方に接する直線（共通接線）の本数も決まります。

位置関係	$d$ の条件	共有点	共通接線の本数
離れている	$d > r + r^{'}$	0 個	4 本
外接する	$d = r + r^{'}$	1 個	3 本
2 点で交わる	$r - r^{'} < d < r + r^{'}$	2 個	2 本
内接する	$d = r - r^{'}$	1 個	1 本
一方が他方の内部にある	$d < r - r^{'}$	0 個	0 本

分かれ目は次の 3 つ。

比べる相手は「半径の和」と「半径の差」の 2 つ。 $d$ がその間にあれば交わる
共通接線の本数は、離れるほど多い（4、3、2、1、0 本）
共通接線の長さは、中心どうしを結ぶ線と接線を 1 つの直角三角形に入れて、三平方の定理で求める

1. 2 円の位置関係

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(イ)

半径 $r$ 、 $r^{'}$ （ $r > r^{'}$ ）の 2 円が外接する・内接する条件を、中心間の距離 $d$ で表すと？

外接: $d = r + r^{'}$ 、内接: $d = r - r^{'}$

外接は外側から 1 点で接し、内接は大きい円の内側から 1 点で接する。

半径 $r$ 、 $r^{'}$ （ $r > r^{'}$ ）の 2 円が 2 点で交わる条件を、中心間の距離 $d$ で表すと？

$r - r^{'} < d < r + r^{'}$

$d$ 、 $r$ 、 $r^{'}$ を 3 辺とする三角形ができる条件（ $∣ r - r^{'} ∣ < d < r + r^{'}$ ）と同じ。中心と交点を結ぶと、その三角形ができる。

半径 $r$ 、 $r^{'}$ （ $r > r^{'}$ ）の 2 円が、共有点をもたない 2 つの場合を、 $d$ の条件で区別すると？

離れている: $d > r + r^{'}$ 、一方が他方の内部にある: $d < r - r^{'}$

どちらも共有点は 0 個。 $d$ が和より大きいか、差より小さいかで分かれる。

2 つの円が接するとき、接点はどこにあるか？

2 つの円の中心を結ぶ直線の上

2 円は接点で共通の接線をもち、どちらの半径もその接線に垂直なので、2 つの中心と接点は一直線上に並ぶ。

2 つの円が 2 点 A、B で交わるとき、中心を結ぶ直線と共通弦 AB の関係は？

中心を結ぶ直線は、共通弦 AB を垂直に二等分する

2 つの中心は、どちらも A と B から等距離なので、AB の垂直二等分線の上にある。

2. 共通接線

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(イ)

2 つの円の両方に接する直線を、2 円の共通接線といいます。

2 円の共通接線の本数は、位置関係によってどう変わるか？

離れている 4 本、外接 3 本、2 点で交わる 2 本、内接 1 本、内部にある 0 本

外接・内接では、接点での共通の接線が 1 本加わる（または残る）。

共通外接線と共通内接線の違いは？

共通外接線: 2 つの円が接線の同じ側にある。共通内接線: 2 つの円が接線の反対側にある

離れている 2 円では、共通外接線 2 本と共通内接線 2 本で合わせて 4 本。共通内接線は 2 円の間を通る。

半径 $r$ 、 $r^{'}$ の 2 円（中心間の距離 $d$ ）の共通外接線の長さ（2 つの接点の間の長さ）は？

$d^{2} - (r - r^{'})^{2}$

小さい円の中心から接線に平行な線を引くと、斜辺 $d$ 、一方の辺 $r - r^{'}$ の直角三角形ができ、残りの辺が接線の長さ。

半径 $r$ 、 $r^{'}$ の 2 円（中心間の距離 $d$ 、 $d > r + r^{'}$ ）の共通内接線の長さ（2 つの接点の間の長さ）は？

$d^{2} - (r + r^{'})^{2}$

一方の半径を接点の先へ $r^{'}$ だけ延ばし、そこから接線に平行な線を引くと、斜辺 $d$ 、一方の辺 $r + r^{'}$ の直角三角形ができる。

外接する 2 円（半径 $r$ 、 $r^{'}$ ）の共通外接線の長さは？

$2 r r^{'}$

$d = r + r^{'}$ を $d^{2} - (r - r^{'})^{2}$ に入れると、 $(r + r^{'})^{2} - (r - r^{'})^{2} = 4 r r^{'}$ 。

練習問題

問 1　半径 5 と 3 の 2 円について、中心間の距離 $d$ が次のときの位置関係と、共通接線の本数を答えよ。（1） $d = 10$ （2） $d = 8$ （3） $d = 4$ （4） $d = 2$ （5） $d = 1$

（1）離れている・4 本（2）外接する・3 本（3）2 点で交わる・2 本（4）内接する・1 本（5）内部にある・0 本

方針　2 円の位置関係は、中心間の距離 $d$ を「半径の和」と「半径の差」の 2 つと比べれば決まる。先に和と差を出して境目を作り、 $d$ がどこに入るかを見る。共通接線の本数は位置関係から決まる（離れるほど多く、4、3、2、1、0 本）。

半径の和は $5 + 3 = 8$ 、半径の差は $5 - 3 = 2$ 。境目は $8$ と $2$ 。
（1） $d = 10$ は $10 > 8$ で、和より大きい。離れていて、共通接線は 4 本。
（2） $d = 8$ は和に等しい。外接していて、共通接線は 3 本。
（3） $d = 4$ は $2 < 4 < 8$ で、差と和の間にある。2 点で交わり、共通接線は 2 本。
（4） $d = 2$ は差に等しい。内接していて、共通接線は 1 本。
（5） $d = 1$ は $1 < 2$ で、差より小さい。小さい円が大きい円の内部にあり、共通接線は 0 本。

ここで間違えやすい　（4）（5）のように $d$ が小さいときに「近いから交わる」としないこと。 $d$ が半径の差以下になると、小さい円は大きい円の内側に入ってしまう。

問 2　半径 7 と 3 の 2 円が 2 点で交わるような、中心間の距離 $d$ の範囲を求めよ。また、 $d = 10$ のときの共通接線の本数を答えよ。

$4 < d < 10$ 、 $d = 10$ のとき 3 本

方針　2 点で交わるのは、 $d$ が半径の差と和の間にあるとき（ $r - r^{'} < d < r + r^{'}$ ）。和と差を出してはさむ。 $d = 10$ はその端にあたるので、どちらの端かを見て位置関係を決める。

半径の和は $7 + 3 = 10$ 、半径の差は $7 - 3 = 4$
2 点で交わる条件は、 $d$ が差より大きく和より小さいことなので、 $4 < d < 10$
$d = 10$ は半径の和に等しいので、2 円は外接する。
外接するときの共通接線は、共通外接線 2 本と、接点での共通の接線 1 本で、合わせて 3 本。

ここで間違えやすい　範囲に等号は入らない。 $d = 10$ や $d = 4$ のときは接していて、共有点は 1 個。

問 3　半径 6 と 2 の 2 円があり、中心間の距離は 10 である。共通外接線の長さと、共通内接線の長さを求めよ。

共通外接線 $221$ 、共通内接線 $6$

方針　共通接線の長さは、中心どうしを結ぶ線分（長さ $d = 10$ ）を斜辺とする直角三角形を作り、三平方の定理で求める。もう 1 つの辺は、共通外接線なら半径の差、共通内接線なら半径の和になる。

【共通外接線】小さい円の中心から接線に平行な線を引くと、斜辺が $10$ 、1 辺が半径の差 $6 - 2 = 4$ の直角三角形ができ、残りの辺が接線の長さになる。
三平方の定理から、長さは $1 0^{2} - 4^{2} = 100 - 16 = 84$
$84 = 4 \times 21$ なので、 $84 = 221$
【共通内接線】2 円は接線の反対側にあるので、直角三角形の 1 辺は半径の和 $6 + 2 = 8$ になる（斜辺は同じ $10$ ）。
三平方の定理から、長さは $1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 = 6$

ここで間違えやすい　外接線が「差」、内接線が「和」。2 円が接線の同じ側にあれば 2 本の半径は同じ向きで引き算に、反対側にあれば逆向きで足し算になる、と思い出す。共通内接線があるのは $d > r + r^{'}$ （ここでは $10 > 8$ ）のときだけ。

問 4　半径 4 と 1 の 2 円が外接している。共通外接線の 2 つの接点の間の長さを求めよ。

$4$

方針　外接しているので、中心間の距離は半径の和になる。それを斜辺、半径の差をもう 1 辺とする直角三角形を作れば、問 3 と同じく三平方の定理で共通外接線の長さが出る。

外接するので、中心間の距離は $d = 4 + 1 = 5$
小さい円の中心から接線に平行な線を引くと、斜辺が $5$ 、1 辺が半径の差 $4 - 1 = 3$ の直角三角形ができる。
残りの辺が 2 つの接点の間の長さなので、 $5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$

確かめ　外接する 2 円の公式 $2 r r^{'}$ でも、 $2 4 \times 1 = 2 \times 2 = 4$ で一致する。

問 5　半径 5 の円 O と半径 $42$ の円 O′ が 2 点 A、B で交わり、 $O O^{'} = 7$ である。共通弦 AB の長さを求めよ。

$A B = 8$

方針　注目するのは、中心を結ぶ線分 OO′ と共通弦 AB の交点 M。OO′ は AB を垂直に二等分するので、直角三角形 OAM と O′AM ができる。AM はどちらの三角形にも共通なので、 $O M = x$ とおき、 $A M^{2}$ を 2 通りに表して等しいとおく。

OO′ と AB の交点を M とすると、 $O O^{'} ⊥ A B$ で、 $A M = M B$ 。
$O M = x$ とおくと、 $O O^{'} = 7$ なので $O^{'} M = 7 - x$
直角三角形 OAM で三平方の定理を使うと（OA は円 O の半径 $5$ ）、 $A M^{2} = 5^{2} - x^{2} = 25 - x^{2}$
直角三角形 O′AM で三平方の定理を使うと（O′A は円 O′ の半径 $42$ で、 $(42)^{2} = 32$ ）、 $A M^{2} = 32 - (7 - x)^{2}$
2 つを等しいとおくと、 $25 - x^{2} = 32 - (7 - x)^{2}$
右辺を展開すると、 $32 - (49 - 14 x + x^{2}) = - 17 + 14 x - x^{2}$
$25 - x^{2} = - 17 + 14 x - x^{2}$ の両辺に $x^{2}$ を足すと、 $25 = - 17 + 14 x$ 。よって $14 x = 42$ で、 $x = 3$
手順 3 の式に入れると $A M^{2} = 25 - 3^{2} = 16$ で、 $A M > 0$ から $A M = 4$
M は AB の中点なので、 $A B = 2 \times 4 = 8$

確かめ　円 O′ の側でも、 $O^{'} M = 7 - 3 = 4$ から $A M^{2} = 32 - 4^{2} = 16$ で一致する。