空間図形｜高校数学A — みならいノート

学習指導要領数学A (1) 図形の性質ア (ウ)「空間図形に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、2 直線・直線と平面・2 平面の位置関係、三垂線の定理、多面体。

0. どういうまとまりか

平面の上では、2 直線は「交わる」か「平行」のどちらかでした。空間ではもう 1 つ、交わらず平行でもない（ねじれの位置）が加わります。
直線と平面、平面と平面の関係も、同じように「共有点があるか」で分けていきます。

組	位置関係
2 直線	交わる／平行／ねじれの位置
直線と平面	直線が平面に含まれる／1 点で交わる／平行
2 平面	交わる（交わりは直線）／平行

分かれ目は次の 3 つ。

ねじれの位置は「同じ平面上にない」2 直線（交わらない、が同じ平面上にある 2 直線は平行）
直線が平面に垂直だと言うには、平面上の交わる 2 直線に垂直であればよい（1 本では足りない）
凸多面体では、頂点の数 − 辺の数 + 面の数 $= 2$ 。正多面体は 5 種類しかない

1. 2 直線の位置関係

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ウ)

空間の 2 直線の位置関係を 3 つに分けると？

① 1 点で交わる ② 平行 ③ ねじれの位置

① と ② は同じ平面上にあり、③ は同じ平面上にない。

空間の 2 直線がねじれの位置にあるとは？

交わらず、平行でもないこと（同じ平面上にない）

「交わらない」だけでは平行の場合が混ざる。

ねじれの位置にある 2 直線 $ℓ$ 、 $m$ のなす角は、どう決めるか？

空間の 1 点 O を通り $ℓ$ 、 $m$ に平行な直線 $ℓ^{'}$ 、 $m^{'}$ を引き、 $ℓ^{'}$ と $m^{'}$ のなす角とする

O をどこにとっても角は変わらない。なす角が $9 0^{\circ}$ のとき、2 直線は垂直であるという（交わらなくても垂直と言える）。

2. 直線と平面の位置関係、2 平面の位置関係

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ウ)

直線と平面の位置関係は、共有点の個数で 3 つに分かれます。

直線と平面の位置関係を 3 つに分けると？

① 直線が平面に含まれる（共有点が無数）② 1 点で交わる ③ 平行（共有点がない）

直線上の 2 点が平面上にあれば、その直線は平面に含まれる。

空間の 2 平面の位置関係は？また、交わるとき、その交わりは何か？

交わるか、平行か。交わるときの交わりは 1 本の直線（交線）

2 平面が 1 点だけを共有することはない。

直線 $ℓ$ が平面 $α$ に垂直であるとは？また、それを示すにはどうすればよいか？

$ℓ$ が $α$ 上のすべての直線に垂直であること。示すには、 $α$ 上の交わる 2 直線に垂直であることを言えばよい

平面上の 1 本の直線に垂直なだけでは、平面に垂直とは言えない（傾いていても、1 本となら垂直になれる）。

2 平面 $α$ 、 $β$ のなす角は、どう測るか？

交線上の 1 点から、 $α$ 上と $β$ 上にそれぞれ交線に垂直な直線を引き、その 2 直線のなす角を測る

なす角が $9 0^{\circ}$ のとき、2 平面は垂直であるという。

三垂線の定理とは何か？（平面 $α$ 上に直線 $ℓ$ と、 $ℓ$ 上にない点 O がある。 $α$ 上にない点 P と、 $ℓ$ 上の点 A をとる）

① $P O ⊥ α$ 、 $O A ⊥ ℓ$ ならば $P A ⊥ ℓ$ ② $P O ⊥ α$ 、 $P A ⊥ ℓ$ ならば $O A ⊥ ℓ$ ③ $P A ⊥ ℓ$ 、 $O A ⊥ ℓ$ 、 $P O ⊥ O A$ ならば $P O ⊥ α$

① は、 $ℓ$ が平面 POA 上の交わる 2 直線 PO と OA に垂直なので、平面 POA に垂直になり、PA とも垂直、と示す。

3. 多面体

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ウ)

いくつかの平面で囲まれた立体を多面体といいます。へこみのない多面体を凸多面体といいます。

オイラーの多面体定理とは何か？（凸多面体の頂点の数 $v$ 、辺の数 $e$ 、面の数 $f$ ）

$v - e + f = 2$

立方体なら $8 - 12 + 6 = 2$ 。

正多面体とは何か？

すべての面が合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体

面が合同な正多角形であるだけでは足りない（頂点ごとに集まる面の数がそろっていること）。

正多面体は何種類あるか？また、それぞれの名前は？

5 種類。正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体

面の形は、正四面体・正八面体・正二十面体が正三角形、正六面体が正方形、正十二面体が正五角形。

正多面体が 5 種類しかないのはなぜか？

1 つの頂点に 3 つ以上の面が集まり、そこでの角の和は $36 0^{\circ}$ より小さくなければならないから

正三角形（ $6 0^{\circ}$ ）は 3、4、5 個、正方形（ $9 0^{\circ}$ ）は 3 個、正五角形（ $10 8^{\circ}$ ）は 3 個まで。正六角形（ $12 0^{\circ}$ ）は 3 個で $36 0^{\circ}$ になり、立体にならない。

多面体の辺の数 $e$ を、面の情報から数えるには？

すべての面の辺の数を足して 2 で割る（1 本の辺は 2 つの面に共有される）

頂点の数も同じ考え方で、すべての面の頂点の数を足し、1 つの頂点に集まる面の数で割る。

練習問題

問 1　立方体 ABCD-EFGH（ABCD が上面、E、F、G、H がそれぞれ A、B、C、D の真下）で、辺 AB とねじれの位置にある辺をすべて答えよ。また、面 ABCD と平行な辺をすべて答えよ。

ねじれの位置: CG、DH、EH、FG の 4 本。面 ABCD と平行: EF、FG、GH、HE の 4 本

方針　立方体の 12 本の辺を、AB との関係で「交わる」「平行」「どちらでもない（ねじれの位置）」に分ける。ねじれの位置を直接探すより、交わる辺と平行な辺を除いた残りとして数えるほうが落としにくい。面と平行な辺は、その面と共有点をもたない辺を探す。

12 本の辺は、上面の AB、BC、CD、DA、底面の EF、FG、GH、HE、縦の AE、BF、CG、DH。AB 自身を除くと 11 本。
AB と交わる辺は、端の A を通る AD、AE と、端の B を通る BC、BF の 4 本。
AB と平行な辺は、CD、EF、GH の 3 本。
残りは $11 - 4 - 3 = 4$ 本で、CG、DH、EH、FG。これが AB とねじれの位置にある辺。
面 ABCD と平行な辺は、この面と共有点をもたない辺。上面の 4 本は面 ABCD に含まれ、縦の 4 本（AE、BF、CG、DH）は面 ABCD と 1 点で交わるので、残る底面の EF、FG、GH、HE の 4 本。

ここで間違えやすい　CD、EF、GH は AB と交わらないが、平行（同じ平面上にある）なので、ねじれの位置ではない。

問 2　立方体 ABCD-EFGH（問 1 と同じ）で、直線 AC と直線 BG のなす角を求めよ。

$6 0^{\circ}$

方針　AC と BG は交わらない（ねじれの位置にある）ので、そのままでは角が測れない。一方を平行に動かして交わらせる。BG に平行で A を通る直線を探し、それと AC のなす角を、三角形の角として求める。

BG は面 BFGC の対角線。 $A B ∥ H G$ 、 $A B = H G$ なので四角形 ABGH は平行四辺形（長方形）で、 $A H ∥ B G$ 。つまり BG を平行に動かして B を A に重ねると、AH になる。
よって、AC と BG のなす角は、AC と AH のなす角 $\angle$CAH に等しい。
三角形 ACH の 3 辺を見る。AC は面 ABCD の対角線、AH は面 AEHD の対角線、CH は面 CGHD の対角線。
立方体の面はすべて合同な正方形なので、3 本の対角線の長さは等しく、三角形 ACH は正三角形。
正三角形の 1 つの角なので、$\angle$CAH $= 6 0^{\circ}$ 。

問 3　正十二面体の辺の数 $e$ と頂点の数 $v$ を求め、オイラーの多面体定理が成り立つことを確かめよ。

$e = 30$ 、 $v = 20$

方針　正十二面体は、正五角形の面が 12 個で、どの頂点にも 3 つの面が集まる。辺も頂点も、面ごとに数えた合計を「重なっている回数」で割って求める。1 本の辺は 2 つの面に、1 つの頂点は 3 つの面に共有される。

面ごとに辺を数えた合計は、五角形が 12 個なので $12 \times 5 = 60$
1 本の辺は 2 つの面に共有されるので、辺の数は $e = 60 \div 2 = 30$
面ごとに頂点を数えた合計も $12 \times 5 = 60$
1 つの頂点は 3 つの面に共有されるので、頂点の数は $v = 60 \div 3 = 20$
面の数は $f = 12$ なので、 $v - e + f = 20 - 30 + 12 = 2$ となり、オイラーの多面体定理が成り立つ。

問 4　正五角形 12 個と正六角形 20 個でできた凸多面体（どの頂点にも 3 つの面が集まる）の、辺の数と頂点の数を求めよ。

辺 90、頂点 60

方針　面の形が 2 種類あっても、数え方は問 3 と同じ。面ごとに数えた辺（頂点）の合計を出し、辺は 2 つの面、頂点は 3 つの面に共有されることから割る。最後にオイラーの多面体定理で確かめる。

面ごとに辺を数えた合計は、 $12 \times 5 + 20 \times 6 = 60 + 120 = 180$
1 本の辺は 2 つの面に共有されるので、辺の数は $180 \div 2 = 90$
面ごとに頂点を数えた合計も $180$ （多角形の頂点の数は、辺の数と同じ）。
どの頂点にも 3 つの面が集まるので、頂点の数は $180 \div 3 = 60$
確かめ: 面の数は $12 + 20 = 32$ で、 $60 - 90 + 32 = 2$ 。オイラーの多面体定理と合う。

問 5　平面 $α$ 上に直線 $ℓ$ があり、 $α$ 上にない点 P から $α$ に下ろした垂線の足を O、O から $ℓ$ に下ろした垂線の足を A とする。 $P O = 4$ 、 $O A = 3$ のとき、点 P と直線 $ℓ$ の距離を求めよ。

方針　点と直線の距離は、点から直線へ下ろした垂線の長さ。P から $ℓ$ への垂線の足がどこかを、三垂線の定理で決める。足が A だと分かれば、あとは直角三角形 POA で三平方の定理を使う。

$P O ⊥ α$ で、 $O A ⊥ ℓ$ なので、三垂線の定理から $P A ⊥ ℓ$ 。
よって、P から $ℓ$ へ下ろした垂線の足は A で、求める距離は PA の長さ。
$P O ⊥ α$ なので、PO は $α$ 上の直線 OA とも垂直。三角形 POA は $\angle$POA $= 9 0^{\circ}$ の直角三角形で、PA が斜辺。
三平方の定理から、 $P A = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$