集合の要素の個数｜高校数学A

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (ア)「集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則などの数え上げの原則について理解すること」のうち、集合の要素の個数。

0. どういうまとまりか

有限個の要素からなる集合 $A$ の要素の個数を $n (A)$ と書きます。集合の記号（ $\cup$ ・ $\cap$ ・補集合 $A$ ）そのものは数学Ⅰで学んだので、ここではその個数を数える式を扱います。

数えたいもの	式	考え方
$A$ または $B$	$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$	2 回数えた重なりを 1 回引く
$A$ でない	$n (A) = n (U) - n (A)$	全体から引く
$A$ 、 $B$ 、 $C$ のどれか	3 つ足し、2 つずつの重なりを引き、3 つの重なりを足す	ベン図の 7 つの部分を 1 回ずつ数える

分かれ目は次の 3 つ。

重なり $A \cap B$ があるかどうか。重なりが無い（ $A \cap B = \emptyset$ ）ときだけ、単純に足してよい
「〜でない」は全体から引く。「どちらでもない」は $n (U) - n (A \cup B)$
「 $a$ の倍数かつ $b$ の倍数」は最小公倍数の倍数。積の倍数とは限らない

1. 和集合の要素の個数

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

集合の要素の個数を数えるときは、ベン図をかいて、どの部分を何回数えたかを確かめます。 $n (A) + n (B)$ では、 $A \cap B$ の部分を 2 回数えています。

2 つの集合の和集合の要素の個数 $n (A \cup B)$ を求める式は？

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

$n (A) + n (B)$ では共通部分 $A \cap B$ を 2 回数えているので、1 回分を引く。

$A \cap B = \emptyset$ （共通部分が無い）のとき、 $n (A \cup B)$ はどうなるか？

$n (A \cup B) = n (A) + n (B)$

引く重なりが 0 なので、そのまま足せばよい。この形が「和の法則」の土台になる。

3 つの集合の和集合の要素の個数 $n (A \cup B \cup C)$ を求める式は？

$n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)$

1 つずつ足すと、2 つの重なりは 2 回、3 つの重なりは 3 回数える。2 つずつの重なりを引くと、3 つの重なりが 0 回になってしまうので、最後に 1 回足し戻す。

ベン図で「 $A$ には入るが $B$ には入らない」部分の要素の個数 $n (A \cap B)$ は、どう求めるか？

$n (A \cap B) = n (A) - n (A \cap B)$

$A$ の中から、 $B$ とも重なる部分を取り除く。「 $A$ だけ」を数えるときに使う。

2. 補集合の要素の個数

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

「〜でないもの」を直接数えるのは難しいことが多く、全体から「〜であるもの」を引くほうが早く済みます。

全体集合 $U$ の部分集合 $A$ について、補集合の要素の個数 $n (A)$ は？

$n (A) = n (U) - n (A)$

$A$ と $A$ は重ならず、合わせると $U$ になるから。

「 $A$ でも $B$ でもない」ものの個数 $n (A \cap B)$ は、どう求めるか？

$n (A \cap B) = n (U) - n (A \cup B)$

ド・モルガンの法則で $A \cap B = A \cup B$ なので、和集合の補集合として全体から引く。

「 $A$ でないか、または $B$ でない」ものの個数 $n (A \cup B)$ は、どう求めるか？

$n (A \cup B) = n (U) - n (A \cap B)$

$A \cup B = A \cap B$ なので、共通部分の補集合。「でもない」（かつ）と「でない、または」を取り違えやすい。

3. 倍数の個数を数える

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

「1 から 200 までの整数のうち 3 の倍数」のような集合は、割り算で個数が出ます。そのうえで、和集合や補集合の式に入れます。

1 から $N$ までの整数のうち、 $k$ の倍数の個数は？

$N \div k$ の商（小数部分を切り捨てた整数）

$k$ 、 $2 k$ 、…、 $mk$ が $N$ 以下に並ぶので、 $mk ≦ N$ となる最大の $m$ が個数。

「 $a$ の倍数であり、かつ $b$ の倍数」である整数は、何の倍数か？

$a$ と $b$ の最小公倍数の倍数

2 の倍数かつ 3 の倍数は 6 の倍数。ただし 4 の倍数かつ 6 の倍数は 24 の倍数ではなく、12 の倍数。

$m$ から $N$ までの整数（ $m < N$ ）のうち、 $k$ の倍数の個数はどう求めるか？

（1 から $N$ までの個数）−（1 から $m - 1$ までの個数）

$m$ 自身は数える側に残したいので、引くのは $m - 1$ までの分。 $m$ まで引くと 1 つ足りなくなることがある。

$m$ から $N$ までの整数（ $m ≦ N$ ）は全部で何個か？

$N - m + 1$ 個

両端を含むので、差に 1 を足す。たとえば 3 から 7 までは 3、4、5、6、7 の 5 個。

練習問題

問 1　1 から 200 までの整数のうち、3 の倍数または 5 の倍数であるものは何個あるか。

93 個

方針　「3 の倍数または 5 の倍数」は 2 つの集合の和集合なので、 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ を使う。3 の倍数でも 5 の倍数でもある数（15 の倍数）は両方で数えられるので、その分を 1 回引く。

集合に名前をつける。1 から 200 までの整数のうち、3 の倍数の集合を $A$ 、5 の倍数の集合を $B$ とする。
$A$ の個数を割り算の商で求める。 $200 = 3 \times 66 + 2$ なので、 $n (A) = 66$
$B$ の個数も同じように求める。 $200 = 5 \times 40$ なので、 $n (B) = 40$
$A \cap B$ は「3 の倍数かつ 5 の倍数」で、3 と 5 の最小公倍数 15 の倍数の集合。 $200 = 15 \times 13 + 5$ なので、 $n (A \cap B) = 13$
和集合の式に入れる。 $n (A \cup B) = 66 + 40 - 13 = 93$

問 2　1 から 100 までの整数のうち、2 でも 3 でも割り切れないものは何個あるか。

33 個

方針　「2 でも 3 でも割り切れない」数を直接数えるのは難しいので、全体から「2 または 3 で割り切れる」数を引く。ド・モルガンの法則で $A \cap B = A \cup B$ だから、先に $n (A \cup B)$ を求めればよい。

集合に名前をつける。1 から 100 までの整数全体を $U$ 、そのうち 2 の倍数の集合を $A$ 、3 の倍数の集合を $B$ とする。 $n (U) = 100$
$A$ の個数を求める。 $100 = 2 \times 50$ なので、 $n (A) = 50$
$B$ の個数を求める。 $100 = 3 \times 33 + 1$ なので、 $n (B) = 33$
$A \cap B$ は 2 と 3 の最小公倍数 6 の倍数の集合。 $100 = 6 \times 16 + 4$ なので、 $n (A \cap B) = 16$
和集合の個数を求める。 $n (A \cup B) = 50 + 33 - 16 = 67$
全体から引く。 $n (A \cap B) = n (U) - n (A \cup B) = 100 - 67 = 33$

ここで間違えやすい　 $100 - 50 - 33 = 17$ としない。6 の倍数の 16 個を 2 回引いてしまっている（ $17 + 16 = 33$ で正しい答えに戻る）。

問 3　1 から 300 までの整数のうち、2、3、5 の少なくとも 1 つで割り切れるものは何個あるか。

220 個

方針　「少なくとも 1 つで割り切れる」は 3 つの集合の和集合なので、1 つずつ足し、2 つずつの重なりを引き、3 つの重なりを足し戻す式を使う。重なりは「どちらの倍数でもある数」なので、最小公倍数の倍数として数える。

集合に名前をつける。1 から 300 までの整数のうち、2 の倍数の集合を $A$ 、3 の倍数の集合を $B$ 、5 の倍数の集合を $C$ とする。
それぞれの個数を求める。 $300 = 2 \times 150$ 、 $300 = 3 \times 100$ 、 $300 = 5 \times 60$ なので、 $n (A) = 150$ 、 $n (B) = 100$ 、 $n (C) = 60$
$A \cap B$ は 6 の倍数の集合で、 $300 = 6 \times 50$ から $n (A \cap B) = 50$
$B \cap C$ は 15 の倍数の集合で、 $300 = 15 \times 20$ から $n (B \cap C) = 20$
$C \cap A$ は 10 の倍数の集合で、 $300 = 10 \times 30$ から $n (C \cap A) = 30$
$A \cap B \cap C$ は 2、3、5 の最小公倍数 30 の倍数の集合で、 $300 = 30 \times 10$ から $n (A \cap B \cap C) = 10$
式に入れる。 $150 + 100 + 60 - 50 - 20 - 30 + 10 = 220$

ここで間違えやすい　最後の $+ 10$ を忘れやすい。30 の倍数は、はじめに 3 回足され、重なりとして 3 回引かれて 0 回になっているので、1 回足し戻す。

問 4　100 から 300 までの整数のうち、7 の倍数は何個あるか。

28 個

方針　割り算の商で数えられるのは「1 から $N$ まで」の倍数の個数なので、「1 から 300 まで」の個数から「1 から 99 まで」の個数を引く。100 自身は数える側に残したいので、引くのは 99 までの分である。

300 までの 7 の倍数を数える。 $300 = 7 \times 42 + 6$ なので、42 個
99 までの 7 の倍数を数える。 $99 = 7 \times 14 + 1$ なので、14 個
引く。 $42 - 14 = 28$

確かめ：範囲の中でいちばん小さい 7 の倍数は $7 \times 15 = 105$ 、いちばん大きいのは $7 \times 42 = 294$ 。7 に掛ける数が 15 から 42 までなので、 $42 - 15 + 1 = 28$ 個。

ここで間違えやすい　引く範囲を「1 から 100 まで」にしない。この問題は 100 が 7 の倍数でないので同じ答えになるが、始まりの数が倍数のとき（たとえば 98 から 300 まで）は 1 つ足りなくなる。

問 5　ある組の生徒 40 人のうち、自転車で通学する生徒は 24 人、電車を使う生徒は 13 人、どちらも使わない生徒は 9 人である。自転車と電車の両方を使う生徒は何人か。

6 人

方針　分かっているのは $n (A)$ 、 $n (B)$ と「どちらも使わない」人数で、求めるのは重なり $n (A \cap B)$ 。和集合の式 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ を、今度は $n (A \cap B)$ を求める向きに使う。そのために、まず $n (A \cup B)$ を全体から引いて出す。

集合に名前をつける。自転車で通学する生徒の集合を $A$ 、電車を使う生徒の集合を $B$ とする。 $n (A) = 24$ 、 $n (B) = 13$
「どちらも使わない」9 人は $A \cup B$ の外側にいるので、全体から引く。 $n (A \cup B) = 40 - 9 = 31$
和集合の式を $n (A \cap B)$ について解くと、 $n (A \cap B) = n (A) + n (B) - n (A \cup B)$
数を入れる。 $24 + 13 - 31 = 6$

確かめ：自転車だけが $24 - 6 = 18$ 人、電車だけが $13 - 6 = 7$ 人、両方が 6 人、どちらも使わないが 9 人で、 $18 + 7 + 6 + 9 = 40$ 人になる。