和の法則と積の法則｜高校数学A

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (ア)「集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則などの数え上げの原則について理解すること」のうち、和の法則と積の法則。

0. どういうまとまりか

場合の数を求めるときの出発点は、すべての場合をもれなく、重なりなく数えることです。書き出すなら樹形図や辞書式で、数が大きければ 2 つの法則で計算します。

起こり方	法則	計算
$A$ と $B$ が同時には起こらず、どちらかが起こる	和の法則	$m + n$
$A$ が起こり、それぞれについて続けて $B$ が起こる	積の法則	$m \times n$

分かれ目は次の 3 つ。

場合分けした場合どうしは足す、段階を踏んで決めるものは掛ける
和の法則は「同時に起こらない」ときだけ。重なりがあれば集合の要素の個数の式で引く
支払い方の数と、支払える金額の数は違う。大きい硬貨を小さい硬貨で作れるときは金額が重なる

1. 和の法則と積の法則

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

和の法則・積の法則は、あとで学ぶ順列・組合せのすべての公式の土台です。

和の法則とは何か？

2 つの事柄 $A$ 、 $B$ が同時には起こらないとき、 $A$ の起こり方が $m$ 通り、 $B$ の起こり方が $n$ 通りなら、 $A$ または $B$ の起こる場合は $m + n$ 通り

集合でいえば、共通部分が無いときの $n (A \cup B) = n (A) + n (B)$ 。

積の法則とは何か？

$A$ の起こり方が $m$ 通りあり、そのそれぞれについて $B$ の起こり方が $n$ 通りずつあるとき、 $A$ と $B$ がともに起こる場合は $m \times n$ 通り

「それぞれについて $n$ 通りずつ」（ $A$ の結果によって $B$ の数が変わらない）が条件。

和の法則と積の法則は、どう使い分けるか？

場合分けして別々に数えたものは足す（和の法則）。1 つ目を決め、続けて 2 つ目を決めるものは掛ける（積の法則）

「大小 2 つのさいころの目の和が 3 または 11」は場合分けなので足す。「大のさいころの目と小のさいころの目」は続けて決めるので掛ける。

和の法則を使ってよいのは、場合分けした場合どうしがどうなっているときか？

同時には起こらない（重なりがない）とき

重なりがあるときに足すと、重なりを 2 回数える。そのときは $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ で引く。

2. 樹形図と辞書式

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

数が小さいとき、または条件が込み入っていて公式が使えないときは、すべてを書き出します。書き出し方を決めておくと、もれと重なりが防げます。

樹形図とは何か？

1 つ目の決め方を枝に分け、それぞれの枝の先から 2 つ目の決め方を枝分かれさせて、すべての場合を木の形に書き出した図

どの枝も同じ数に分かれるなら、積の法則で数えられる。

場合を書き出すときの辞書式の並べ方とは？

1 文字目の小さい順に並べ、1 文字目が同じものは 2 文字目の小さい順に、…と辞書と同じ順に並べる

abc、acb、bac、bca、cab、cba のように並べると、抜けや重複に気づける。

3. 約数の個数と支払い方

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ア)

素因数分解した数の約数は、それぞれの素因数を何個使うかを続けて決めていくと数えられます（積の法則）。

$N = p^{a} q^{b}$ （ $p$ 、 $q$ は異なる素数）の正の約数の個数は？

$(a + 1) (b + 1)$ 個

約数は $p^{x} q^{y}$ （ $x$ は 0 から $a$ 、 $y$ は 0 から $b$ ）の形。 $x$ の選び方 $a + 1$ 通りと $y$ の選び方 $b + 1$ 通りを掛ける。0 乗（使わない）も数えるので 1 を足す。

$N = p^{a} q^{b}$ （ $p$ 、 $q$ は異なる素数）の正の約数の総和は？

$(1 + p + p^{2} + \dots + p^{a}) (1 + q + q^{2} + \dots + q^{b})$

この積を展開すると、 $p^{x} q^{y}$ の形の項がちょうど 1 回ずつ出てくる。個数の式と同じく、積の法則の考え方。

正の約数の個数を求めるとき、最初にすることは？

素因数分解する

$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ なら $(3 + 1) (2 + 1) = 12$ 個。素因数でない数（ $72 = 8 \times 9$ の 8 や 9）の指数で計算すると間違える。

何種類かの硬貨を何枚ずつか持っているとき、支払い方の数はどう数えるか？（ちょうど支払い、おつりは出さない）

各硬貨を 0 枚から持っている枚数まで何枚使うかを掛け合わせ、全部 0 枚の 1 通りを引く

$a$ 枚あれば使い方は $a + 1$ 通り（0 枚を含む）。0 円は支払いにならないので最後に 1 を引く。

支払い方の数と、支払える金額の数が一致しないのはどんなときか？

大きい硬貨の金額を、小さい硬貨を組み合わせて作れるとき

100 円玉 1 枚と 50 円玉 2 枚は、支払い方としては別でも金額は同じ。金額を数えるときは、大きい硬貨を小さい硬貨に両替したものとして数える。

練習問題

問 1　大小 2 つのさいころを投げるとき、出る目の和が 4 の倍数になる場合は何通りあるか。

9 通り

方針　2 つのさいころの目の和は 2 から 12 までなので、4 の倍数になるのは和が 4、8、12 のとき。この 3 つの場合は同時には起こらないので、場合ごとに書き出して数え、和の法則で足す。大小の区別があるので、（大、小）の順に目を書く。

和が 4 になる目の出方を書き出す。 $(1, 3)$ 、 $(2, 2)$ 、 $(3, 1)$ の 3 通り
和が 8 になる目の出方を書き出す。 $(2, 6)$ 、 $(3, 5)$ 、 $(4, 4)$ 、 $(5, 3)$ 、 $(6, 2)$ の 5 通り
和が 12 になる目の出方を書き出す。 $(6, 6)$ の 1 通り
3 つの場合は同時に起こらないので足す。 $3 + 5 + 1 = 9$

ここで間違えやすい　 $(1, 3)$ と $(3, 1)$ は、大のさいころの目が違うので別の出方として数える。一方、 $(2, 2)$ のように同じ目のものは 1 通りしかない。和が 8 のとき、目は 6 までなので $(1, 7)$ は無い。

問 2　360 の正の約数の個数と、その総和を求めよ。

個数は 24 個、総和は 1170

方針　約数は「それぞれの素因数を何個使うか」で決まるので、まず素因数分解する。個数は、素因数ごとの使い方（0 個から指数の数まで）を続けて決めるので積の法則。総和は、素因数ごとの和を掛け合わせた式を展開すると、すべての約数が 1 回ずつ出てくることを使う。

素因数分解する。 $360 = 8 \times 45$ 、 $45 = 9 \times 5$ なので、 $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$
約数は $2^{x} \times 3^{y} \times 5^{z}$ の形で、 $x$ は 0 から 3 の 4 通り、 $y$ は 0 から 2 の 3 通り、 $z$ は 0 か 1 の 2 通り。
積の法則で個数を求める。 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$
総和の式を立てる。 $(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) (1 + 3 + 3^{2}) (1 + 5)$
かっこの中をそれぞれ計算する。 $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ 、 $1 + 3 + 9 = 13$ 、 $1 + 5 = 6$
掛ける。 $15 \times 13 = 195$ なので、 $195 \times 6 = 1170$

ここで間違えやすい　5 の指数は 1 なので、使い方は「使わない・1 個使う」の $1 + 1 = 2$ 通り。「5 は 1 個だから 1 通り」として $4 \times 3 = 12$ 個にしない。総和でも、かっこの先頭の 1（その素因数を使わない場合）を落とさない。

問 3　P 町から Q 町へ行く道が 3 本、Q 町から R 町へ行く道が 4 本、P 町から Q 町を通らずに R 町へ行く道が 2 本ある。P 町から R 町へ行く方法は何通りか（同じ町を 2 度通らない）。

14 通り

方針　行き方を「Q 町を通る」「Q 町を通らない」に場合分けする。この 2 つは同時には起こらないので、最後に足す（和の法則）。Q 町を通る行き方は、P から Q への道を決め、続けて Q から R への道を決めるので、掛ける（積の法則）。

Q 町を通る行き方を数える。P から Q への道が 3 通りあり、そのそれぞれについて Q から R への道が 4 通りずつあるので、 $3 \times 4 = 12$ 通り
Q 町を通らない行き方は、問題文から 2 通り
2 つの場合を足す。 $12 + 2 = 14$

問 4　100 円玉 2 枚、50 円玉 3 枚、10 円玉 4 枚がある。これらの一部または全部を使って、おつりのないように支払うとき、支払い方は何通りあるか。また、支払える金額は何通りあるか。

支払い方は 59 通り、金額は 39 通り

方針　支払い方は、硬貨ごとに「何枚使うか」を続けて決めるので積の法則で数え、全部 0 枚（0 円）の 1 通りを除く。金額は、100 円玉 1 枚と 50 円玉 2 枚のように違う支払い方で同じ金額になるものがあるので、そのままでは数えられない。100 円玉を 50 円玉に両替したと考えて、重なりが出ない形にしてから数える。

支払い方を数える。100 円玉の使い方は 0〜2 枚の 3 通り、50 円玉は 0〜3 枚の 4 通り、10 円玉は 0〜4 枚の 5 通り。
積の法則で掛ける。 $3 \times 4 \times 5 = 60$
全部 0 枚は支払いにならないので除く。 $60 - 1 = 59$ 通り
金額を数える。100 円玉 2 枚は 50 円玉 4 枚と同じ金額なので、50 円玉を $3 + 4 = 7$ 枚持っていると考える。
50 円玉の使い方は 0〜7 枚の 8 通り、10 円玉は 5 通りなので、 $8 \times 5 = 40$
10 円玉は全部使っても $10 \times 4 = 40$ 円で、50 円に届かない。だから 50 円玉の枚数が違えば金額も必ず違い、この 40 通りの金額に重なりは無い。
0 円を除く。 $40 - 1 = 39$ 通り

ここで間違えやすい　支払い方の 59 通りをそのまま金額の数にしない。また、両替するのは「大きい硬貨を小さい硬貨で作れるとき」だけ。10 円玉が 5 枚以上あれば 50 円玉とも重なるので、そのときは 50 円玉も 10 円玉に両替して数える。

問 5　 $(a + b) (p + q + r) (x + y)$ を展開すると、項は何個できるか。

12 個

方針　展開は「それぞれのかっこから文字を 1 つずつ選んで掛ける」ことをすべての選び方について行う計算なので、項の個数は文字の選び方の数になる。1 つ目、2 つ目、3 つ目のかっこと続けて選ぶので、積の法則を使う。

1 つ目のかっこからは $a$ 、 $b$ のどちらかを選ぶので 2 通り
2 つ目のかっこからは $p$ 、 $q$ 、 $r$ のどれかを選ぶので 3 通り、3 つ目のかっこからは $x$ 、 $y$ のどちらかを選ぶので 2 通り
文字がすべて異なるので、選び方が違えば $a p x$ と $a p y$ のように別の項になり、同類項としてまとまるものは無い。
積の法則で掛ける。 $2 \times 3 \times 2 = 12$