順列｜高校数学A — みならいノート

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (イ)「具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，順列の総数や組合せの総数を求めること」のうち、順列。

0. どういうまとまりか

異なるものを、順番をつけて 1 列に並べる数え方です。積の法則を「1 番目、2 番目、…」と続けて使ったものが公式になります。

並べ方の条件	数え方
条件なし	$_{n} P_{r} = n (n - 1) \dots (n - r + 1)$
特定のものが隣り合う	ひとまとめにして並べ、まとまりの中の並べ方を掛ける
特定のものが隣り合わない	他を先に並べ、間と両端に入れる
両端や特定の位置に条件がある	条件のある場所を先に決める

分かれ目は次の 3 つ。

条件のあるところから先に決める（両端、最高位、一の位）
「隣り合う」はまとめる、「隣り合わない」は間に入れる。全体から「隣り合う」を引いても、隣り合わないにはならないことがある（3 人以上のとき）
数字を並べて整数を作るとき、最高位に 0 は置けない

1. 順列の意味と nPr

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

異なる $n$ 個のものから $r$ 個を取り出して 1 列に並べたものを、 $n$ 個から $r$ 個取る順列といい、その総数を nPr（ $_{n} P_{r}$ ）と書きます。
1 から $n$ までの自然数の積 $n (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ を $n$ の階乗といい、n! と書きます。

$n$ 個から $r$ 個取る順列とは何か？

異なる $n$ 個のものから $r$ 個を取り出し、順番をつけて 1 列に並べたもの

同じものを選んでも、並ぶ順番が違えば別の順列として数える。

順列の総数 nPr（ $_{n} P_{r}$ ）を求める式は？

$_{n} P_{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1)$ （ $n$ から始めて 1 ずつ小さくしながら $r$ 個掛ける）

1 番目は $n$ 通り、2 番目は残りの $n - 1$ 通り、…と積の法則で続けたもの。 $_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 。

$n$ の階乗 n! とは何か？

1 から $n$ までの自然数をすべて掛けた積 $n! = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1$

異なる $n$ 個を全部 1 列に並べる数で、 $_{n} P_{n} = n!$ 。 $4! = 24$ 、 $5! = 120$ 。

nPr を階乗を使って表すと？

$_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$

$n!$ から、並べない残り $n - r$ 個の分の $(n - r)!$ を割り取った形。

$0!$ はいくつと決めるか。また、なぜそう決めるか？

$0! = 1$ 。 $_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$ が $r = n$ のときにも成り立つようにするため

$r = n$ では分母が $0!$ になり、 $_{n} P_{n} = n!$ と一致させるには $0! = 1$ でなければならない。あわせて $_{n} P_{0} = 1$ と決める。

2. 条件のある並べ方

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

条件のある順列は、公式に入れる前に「どこから決めるか」を考えます。条件のあるものを先に決め、残りを自由に並べます。

特定の何人かが隣り合う並べ方は、どう数えるか？

隣り合う人たちをひとまとめにして 1 人とみなして並べ、まとまりの中の並べ方を掛ける

男子 3 人・女子 4 人で女子 4 人が隣り合うなら、まとまりを含む 4 つを並べて $4!$ 、女子の中で $4!$ 。

特定の何人かがどの 2 人も隣り合わない並べ方は、どう数えるか？

他の人を先に並べ、その間と両端のすき間から場所を選んで入れる

男子 3 人がどの 2 人も隣り合わないなら、女子 4 人を並べて $4!$ 、すき間 5 か所から 3 か所を選んで並べて $_{5} P_{3}$ 。

「両端が男子」のように、特定の位置に条件がある並べ方は、どう数えるか？

条件のある位置を先に決め、残りの人を残りの位置に並べる

男子 3 人・女子 4 人で両端が男子なら、両端に男子を $_{3} P_{2}$ 通り、間の 5 人を $5!$ 通り。

3. 数字を並べて整数を作る

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

数字のカードを並べて整数を作る問題も順列です。整数になるための条件（最高位が 0 でない）と、偶数・倍数の条件を先に処理します。

0 を含む数字のカードを並べて整数を作るとき、先に決めるのはどの位か？

最高位（0 は置けない）

0、1、2、3、4、5 から異なる 4 個で 4 桁の整数を作るなら、千の位は 0 以外の 5 通り、残りは 0 を含む 5 個から $_{5} P_{3}$ 。

0 を含む数字で偶数を作るとき、一の位をどう場合分けするか？

一の位が 0 のときと、0 以外の偶数のときに分ける

一の位が 0 なら最高位の制限は自然に満たされるが、0 以外なら最高位に 0 を置けない分を除く必要があり、数え方が変わる。

並べた整数が 5 の倍数・3 の倍数になる条件は？

5 の倍数は一の位が 0 か 5。3 の倍数は各位の数の和が 3 の倍数

5 の倍数は一の位を先に決める。3 の倍数は、和が 3 の倍数になる数字の組を先に選び、それを並べる。

練習問題

問 1　男子 3 人と女子 4 人が 1 列に並ぶとき、女子 4 人が続いて並ぶ並び方は何通りか。

576 通り

方針　1 列に並ぶ順番を区別するので順列で数える。「女子 4 人が続いて並ぶ」は隣り合う条件なので、女子 4 人をひとまとめにして 1 人とみなし、先にまとまりごと並べる。そのあとで、まとまりの中の女子の並び方を掛ける。

女子 4 人を 1 つのまとまりとみる。並べるものは、男子 3 人とまとまり 1 つで $3 + 1 = 4$ 個
この 4 個を 1 列に並べる。 $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り
そのそれぞれについて、まとまりの中で女子 4 人が並ぶ順番を決める。 $4! = 24$ 通り
続けて決めるので積の法則で掛ける。 $24 \times 24 = 576$

問 2　男子 3 人と女子 4 人が 1 列に並ぶとき、男子どうしが隣り合わない並び方は何通りか。

1440 通り

方針　「隣り合わない」は、条件のない女子を先に並べ、その間と両端のすき間に男子を 1 人ずつ入れて数える。1 つのすき間に入る男子を 1 人までにすれば、男子と男子の間には必ず女子がいるので、男子どうしは隣り合わない。

女子 4 人を先に 1 列に並べる。 $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り
男子が入れるすき間を数える。女子の間が 3 か所、両端が 2 か所で、 $3 + 2 = 5$ か所
すき間 5 か所から 3 か所を選び、男子 3 人を入れる。男子は 1 人ずつ区別がつき、誰がどのすき間に入るかで並び方が変わるので順列。 $_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り
女子の並べ方のそれぞれについて男子の入れ方があるので掛ける。 $24 \times 60 = 1440$

ここで間違えやすい　全体 $7!$ から「男子 3 人がひとまとまりに続く」並び方を引いても答えにならない。男子 2 人だけが隣り合う並び方が残ってしまうからである。すき間を選ぶところを $_{5} C_{3}$ にするのも誤り（男子の順番を区別していない）。

問 3　男子 3 人と女子 4 人が 1 列に並ぶとき、両端が男子である並び方は何通りか。

720 通り

方針　条件のある場所（両端）を先に決め、残りを自由に並べる。左端と右端は別の位置なので、男子 3 人から 2 人を選ぶだけでなく、どちらが左かまで決める順列で数える。

両端に男子を置く。男子 3 人から 2 人を選んで左端・右端の順に並べるので、 $_{3} P_{2} = 3 \times 2 = 6$ 通り
残りは男子 1 人と女子 4 人で、 $1 + 4 = 5$ 人
この 5 人を間の 5 か所に並べる。条件はもう無いので、 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り
続けて決めるので掛ける。 $6 \times 120 = 720$

問 4　0、1、2、3、4、5 の 6 個の数字から異なる 4 個を使って 4 桁の整数を作る。
(1) 整数は全部で何個か。(2) 偶数は何個か。(3) 5 の倍数は何個か。

(1) 300 個　(2) 156 個　(3) 108 個

方針　数字を並べるので順列で、条件のある位から先に決める。千の位には 0 を置けない。偶数・5 の倍数は一の位で決まるので、一の位を先に決める。そのとき、一の位に 0 を使ったかどうかで千の位に置ける数字の個数が変わるので、「一の位が 0」と「一の位が 0 以外」に場合分けする。

(1) 千の位を先に決める。0 は置けないので、1 から 5 の 5 通り
残りの 3 桁は、千の位に使った数字を除く 5 個（0 を含む）から 3 個を選んで並べる。 $_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り
掛ける。 $5 \times 60 = 300$ 個
(2) 偶数になるのは一の位が 0、2、4 のとき。まず一の位が 0 のとき、残りの 5 個はどれも 0 でないので千の位の制限は自然に満たされ、千・百・十の位は 5 個から 3 個を並べて $_{5} P_{3} = 60$ 個
次に一の位が 2 か 4 のとき（2 通り）。千の位は、0 と一の位に使った数字を除く $6 - 2 = 4$ 通り
百・十の位は、残りの 4 個（0 を含む）から 2 個を並べて $_{4} P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 通り。この場合は $2 \times 4 \times 12 = 96$ 個
2 つの場合は同時に起こらないので足す。 $60 + 96 = 156$ 個
(3) 5 の倍数になるのは一の位が 0 か 5 のとき。一の位が 0 のときは (2) と同じで 60 個
一の位が 5 のとき、千の位は 0 と 5 を除く 4 通り、百・十の位は残りの 4 個から 2 個を並べて 12 通りなので、 $4 \times 12 = 48$ 個
足す。 $60 + 48 = 108$ 個

確かめ：奇数は一の位が 1、3、5 の 3 通りで、どれも 0 ではないので $3 \times 4 \times 12 = 144$ 個。(1) の全体から引くと $300 - 144 = 156$ 個で、(2) と合う。

ここで間違えやすい　(2) を「一の位 3 通り × 残り $_{5} P_{3}$ 」とまとめない。一の位が 2 や 4 のときは残りの数字に 0 が入っているので、千の位に 0 が来る並べ方を含んでしまう。

問 5　0、1、2、3、4、5 の 6 個の数字から異なる 3 個を使って 3 桁の整数を作るとき、3 の倍数は何個できるか。

40 個

方針　3 の倍数になる条件は「各位の数の和が 3 の倍数」で、これは並べる順番によらず、使う 3 個の数字の組だけで決まる。そこで、先に和が 3 の倍数になる組を選び、そのあとで並べる。0 を含む組は百の位に 0 を置けないので、0 を含むかどうかで並べ方の数を分ける。

組を探しやすくするために、6 個の数字を 3 で割った余りで分ける。余り 0 は 0 と 3、余り 1 は 1 と 4、余り 2 は 2 と 5。
同じ余りの数字は 2 個ずつしかないので、3 個の和が 3 の倍数になるのは、余り 0・1・2 の数字を 1 個ずつ選ぶときだけ（余りの和が $0 + 1 + 2 = 3$ ）。組は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 組ある。
そのうち 0 を含む組は、 ${0, 1, 2}$ 、 ${0, 1, 5}$ 、 ${0, 2, 4}$ 、 ${0, 4, 5}$ の 4 組
含まない組（3 を含む組）は、 ${1, 2, 3}$ 、 ${1, 3, 5}$ 、 ${2, 3, 4}$ 、 ${3, 4, 5}$ の 4 組
0 を含む組の並べ方を数える。3 個の並べ方 $3! = 6$ 通りから、百の位が 0 になる $2! = 2$ 通りを除いて、 $6 - 2 = 4$ 通り。4 組あるので $4 \times 4 = 16$ 個
0 を含まない組は、どう並べても 3 桁の整数になるので $3! = 6$ 通り。4 組あるので $4 \times 6 = 24$ 個
足す。 $16 + 24 = 40$ 個