円順列と重複順列｜高校数学A

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (イ)「具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，順列の総数や組合せの総数を求めること」のうち、円順列と重複順列。

0. どういうまとまりか

1 列に並べる順列を、2 つの方向に変えたものです。円に並べると「回して重なるものは同じ」になり、同じものを何度でも使えると「残りが減らない」になります。

並べ方	総数	1 列の順列との違い
円順列（異なる $n$ 個を円形に）	$(n - 1)!$	回転して重なる $n$ 通りを 1 つとみる
じゅず順列（裏返せる円）	$\frac{( n - 1 )!}{2}$	さらに裏返して重なる 2 通りを 1 つとみる
重複順列（ $n$ 種類から $r$ 個、重複を許す）	$n^{r}$	どの位置でも $n$ 通りのまま減らない

分かれ目は次の 3 つ。

円順列は 1 つを固定して、残りを 1 列に並べる
裏返してよいとき（じゅず・首飾り）だけ 2 で割る。テーブルの席は裏返せないので割らない
重複順列は「選ばれる側の数」を底に、「選ぶ回数」を指数にする。底と指数を取り違えやすい

1. 円順列

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

円形に並べるときは、席に番号がなく、全員が同じ向きに回っても並び方は変わらないものとして数えます。

異なる $n$ 個のものを円形に並べる円順列の総数は？

$(n - 1)!$

1 つを固定して、残りの $n - 1$ 個をその位置から順に並べると考える。

円順列の総数が $n!$ ではなく $(n - 1)!$ になるのはなぜか？

1 列に並べた $n!$ 通りのうち、回転して重なる $n$ 通りずつが同じ円順列になるから

$\frac{n !}{n} = (n - 1)!$ 。「1 つを固定する」のは、この $n$ で割ることを先にしている。

円卓で「特定の 2 人 A、B が向かい合う」並べ方は、どう数えるか？

A を固定すると B の席は向かいの 1 か所に決まるので、残りの人を残りの席に 1 列に並べる

6 人なら、A と B の位置が決まったあと、残り 4 人を $4! = 24$ 通り。

男女が交互になるように円形に並べる並べ方は、どう数えるか？

先に男子（または女子）だけを円形に並べ、その間に女子（男子）を 1 列に並べる

男子 3 人・女子 3 人なら、男子の円順列 $2!$ 、間の 3 か所に女子を $3!$ 。2 回目は席が区別できるので、円順列ではなく 1 列の順列になる。

2. じゅず順列

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

首飾りやじゅずのように、裏返すことができる円では、時計回りと反時計回りの並びが同じものになります。

異なる $n$ 個の玉で首飾りを作るじゅず順列の総数は？（ $n ≧ 3$ ）

$\frac{( n - 1 )!}{2}$

円順列 $(n - 1)!$ の中で、裏返すと重なるものが 2 つずつ組になっているので 2 で割る。

円順列を 2 で割ってよいのは、どんなものを並べるときか？

裏返すことができるもの（首飾り・じゅず・輪にしたひも）

円卓の席のように、上下がある（裏返せない）ときは 2 で割らない。また、左右対称になる並びがあると 2 で割れないので、異なるものだけを並べるときに使う。

3. 重複順列と部分集合の個数

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

同じものを何度でも選んでよいときは、どの位置の選び方も $n$ 通りのまま変わりません。積の法則で $n$ を $r$ 回掛けます。

$n$ 種類のものから、重複を許して $r$ 個取って並べる重複順列の総数は？

$n^{r}$

1 番目も 2 番目も… $r$ 番目も $n$ 通りずつ。 $r$ が $n$ より大きくてもよい。

5 人がそれぞれ、グー・チョキ・パーの 3 通りの手を出すときの手の出し方は、 $3^{5}$ と $5^{3}$ のどちらか？

$3^{5}$ 通り

1 人ずつ（5 回）、3 通りから選ぶ。選ばれる側（手の種類）が底、選ぶ回数（人数）が指数。

要素が $n$ 個の集合の部分集合の個数は？

$2^{n}$ 個（空集合と、もとの集合自身を含む）

各要素について「入れる・入れない」の 2 通りを選ぶ重複順列。

異なる $n$ 個のものを、2 つの部屋 A、B に分けて入れる（空の部屋があってもよい）入れ方は何通りか。空の部屋を作らないときは？

空を許すと $2^{n}$ 通り。空を作らないなら $2^{n} - 2$ 通り

各々が A か B かを選ぶ重複順列。全員が A、全員が B の 2 通りを除くと、どちらの部屋にも 1 つ以上入る。

練習問題

問 1　6 人が円形のテーブルに座るとき、特定の 2 人 A、B が隣り合う座り方は何通りか。

48 通り

方針　円形に座るので、全員が同じ向きに回っただけの座り方は同じものとして数える円順列。隣り合う 2 人は、1 列のときと同じようにひとまとめにして 1 人とみなし、あとでまとまりの中の並び方を掛ける。異なる $n$ 個の円順列は $(n - 1)!$ 通り。

A と B を 1 つのまとまりとみる。並べるものは、残りの 4 人とまとまり 1 つで $4 + 1 = 5$ 個
この 5 個を円形に並べる。円順列なので、 $(5 - 1)! = 4! = 24$ 通り
まとまりの中の並び方は、A が左で B が右か、その逆かの 2 通り
続けて決めるので掛ける。 $24 \times 2 = 48$

別の見方：A の席を固定する。B は A の右隣か左隣の 2 通り。残り 4 人は、残りの 4 つの席（A から見て区別がつく）に 1 列の順列として並べて $4! = 24$ 通り。 $2 \times 24 = 48$ で同じになる。

問 2　男子 3 人と女子 3 人が円形に並ぶとき、男女が交互になる並び方は何通りか。

12 通り

方針　交互に並べるときは、先に男子だけを円形に並べ、その間に女子を 1 人ずつ入れる。男子は円順列で数えるが、男子が座ったあとは「どの男子とどの男子の間か」で 3 か所の区別がつくので、女子は円順列ではなく 1 列の順列で数える。

男子 3 人を先に円形に並べる。円順列なので、 $(3 - 1)! = 2! = 2$ 通り
男子と男子の間は 3 か所。男女が交互になるには、この 3 か所に女子を 1 人ずつ入れるしかない。
区別のつく 3 か所に女子 3 人を並べる。 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り
続けて決めるので掛ける。 $2 \times 6 = 12$

ここで間違えやすい　女子の並べ方も円順列の $2!$ にして $2 \times 2 = 4$ としない。回転して重なる分は、男子を円順列で数えたときにすでに 1 つにまとめてある。

問 3　色の異なる 6 個の玉を糸でつないで首飾りを作る。作り方は何通りか。

60 通り

方針　玉を輪に並べるので、まず円順列で数える。首飾りは裏返すことができ、裏返すと時計回りの並びが反時計回りの並びに変わるので、その 2 つは同じ首飾りになる。円順列の数を 2 で割る（じゅず順列）。

異なる 6 個の玉の円順列を求める。 $(6 - 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り
玉の色がすべて異なるので、どの並びも裏返すと別の円順列になり、120 通りは「裏返すと重なる 2 つ」ずつの組に分かれる。
1 組が 1 つの首飾りなので、2 で割る。 $120 \div 2 = 60$

問 4　1、2、3 の 3 つの数字を使って（同じ数字を何度使ってもよい）4 桁の整数を作るとき、何個できるか。

81 個

方針　位の順番を区別して並べ、同じ数字を何度使ってもよいので重複順列。前の位で使った数字も次の位でまた使えるので、どの位の選び方も 3 通りのまま減らない。位ごとに続けて決めるので、3 を 4 回掛ける。

千の位は 1、2、3 の 3 通り。0 が無いので、千の位に置けない数字は無い。
百の位・十の位・一の位も、それぞれ 1、2、3 の 3 通り
積の法則で掛ける。 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{4} = 81$

ここで間違えやすい　 $4^{3} = 64$ としない。選ばれる側（数字の 3 種類）が底、選ぶ回数（4 桁）が指数。同じ数字を使えるので $_{3} P_{4}$ のような順列の式も使えない。

:::fold
問 5　5 人を 2 つの部屋 A、B に入れる。どの部屋にも少なくとも 1 人は入るような入れ方は何通りか。
?
30 通り

方針　5 人は 1 人ずつ区別がつき、それぞれが A か B の部屋を選ぶので、2 通りを 5 回選ぶ重複順列。「どの部屋にも少なくとも 1 人」を直接数えるより、空の部屋を許して全部を数え、空の部屋ができる入れ方を引くほうが早い。

空の部屋を許して数える。1 人につき A か B の 2 通りで、5 人いるので、 $2^{5} = 32$ 通り
空の部屋ができるのは、全員が A に入る 1 通りと、全員が B に入る 1 通りで、 $1 + 1 = 2$ 通り
引く。 $32 - 2 = 30$

確かめ：A に入る人数で場合分けすると、1 人・2 人・3 人・4 人のときで $_{5} C_{1} +_{5} C_{2} +_{5} C_{3} +_{5} C_{4} = 5 + 10 + 10 + 5 = 30$ 。:::