組合せ｜高校数学A — みならいノート

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (イ)「具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，順列の総数や組合せの総数を求めること」のうち、組合せ。

0. どういうまとまりか

順番を考えずに、ものを選ぶだけの数え方です。順列から「選んだものの並べ方」の分を割って求めます。

何をするか	総数	例（A、B、C から 2 つ）
選んで並べる（順列）	$_{n} P_{r}$	AB と BA は別。6 通り
選ぶだけ（組合せ）	$_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !}$	AB と BA は同じ。3 通り

分かれ目は次の 3 つ。

選んだあとに順番や役割があるかどうか。あれば順列（または組合せに並べ方を掛ける）、なければ組合せ
「選ぶ $r$ 個」と「残す $n - r$ 個」は 1 対 1。 $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ で小さいほうを計算する
「少なくとも 1 つ」は全体から「1 つも無い」を引く

1. 組合せの意味と nCr

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

異なる $n$ 個のものから、順番を考えずに $r$ 個を取り出したものを、 $n$ 個から $r$ 個取る組合せといい、その総数を nCr（ $_{n} C_{r}$ ）と書きます。

$n$ 個から $r$ 個取る組合せとは何か？

異なる $n$ 個のものから、順番を考えずに $r$ 個を取り出したもの

A、B、C から 2 つ取るとき、AB と BA は同じ組合せ。

組合せと順列の違いは何か？

順列は取り出したものの順番を区別し、組合せは区別しない

委員を 3 人選ぶのは組合せ。委員長・副委員長・書記を 1 人ずつ選ぶのは、役割で区別するので順列。

組合せの総数 nCr（ $_{n} C_{r}$ ）を、順列を使って表すと？

$_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !}$

$r$ 個の組合せ 1 つにつき、その並べ方が $r!$ 通りずつあるので、 $_{n} C_{r} \times r! =_{n} P_{r}$ 。 $_{10} C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 。

nCr を階乗だけで表すと？

$_{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

$_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$ をさらに $r!$ で割った形。 $0! = 1$ から $_{n} C_{0} = 1$ 、 $_{n} C_{n} = 1$ 。

2. nCr の性質

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

組合せの性質は、式の変形でも示せますが、「何を数えているか」で考えると覚えやすくなります。

$_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ が成り立つのはなぜか？（数え方の意味で）

$r$ 個を選ぶことと、選ばない $n - r$ 個を決めることは同じだから

$_{12} C_{10}$ は $_{12} C_{2} = 66$ として計算する。

$_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}$ が成り立つのはなぜか？（数え方の意味で）

特定の 1 個を「含む」選び方と「含まない」選び方に分けて足したものだから

含むなら残り $n - 1$ 個から $r - 1$ 個を選び、含まないなら残り $n - 1$ 個から $r$ 個を選ぶ。2 つは同時に起こらないので和の法則。

「特定の $k$ 個を必ず含むように、 $n$ 個から $r$ 個選ぶ」選び方は？

$_{n - k} C_{r - k}$ 通り

特定の $k$ 個は先に選んでしまい、残り $n - k$ 個から足りない $r - k$ 個を選ぶ。

「少なくとも 1 つ〜を含む」選び方は、どう数えるか？

全体の選び方から、1 つも含まない選び方を引く

「1 つ含む」「2 つ含む」…と場合分けするより早い。女子を少なくとも 1 人含むなら、全体から男子だけの選び方を引く。

3. 図形の個数と、選んでから並べる

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(イ)

図形は、頂点を何個選べば 1 つ決まるかを考えると、組合せで数えられます。

どの 3 点も一直線上にない $n$ 個の点から、三角形はいくつできるか？

$_{n} C_{3}$ 個

3 点を選べば三角形が 1 つ決まり、選ぶ順番は関係ない。一直線上に並ぶ 3 点があれば、その組は引く。

凸 $n$ 角形の対角線の本数は？

$_{n} C_{2} - n$ 本

2 頂点を結ぶ線分は $_{n} C_{2}$ 本で、そのうち $n$ 本は辺。 $n = 8$ なら $28 - 8 = 20$ 本。

平行な $m$ 本の直線と、それらに交わる平行な $n$ 本の直線でできる平行四辺形の個数は？

$_{m} C_{2} \times_{n} C_{2}$ 個

それぞれの組から 2 本ずつ選べば、平行四辺形が 1 つ決まる。

「選んでから並べる」数え方は、どう計算するか？

選び方（組合せ）に、選んだものの並べ方を掛ける

条件つきで選ぶ部分（男子から 2 人、女子から 2 人）を組合せで数え、選んだ 4 人を並べる $4!$ を掛ける。条件がなければ $_{n} C_{r} \times r! =_{n} P_{r}$ に戻る。

練習問題

問 1　男子 5 人、女子 4 人の中から 4 人を選ぶ。
(1) 男子 2 人、女子 2 人を選ぶ選び方は何通りか。(2) 女子を少なくとも 1 人含む選び方は何通りか。

(1) 60 通り　(2) 121 通り

方針　選ぶだけで並べないので、順番を区別しない組合せで数える。(1) は男子の選び方を決め、続けて女子の選び方を決めるので掛ける。(2) の「少なくとも 1 人」は、女子が 1 人・2 人・3 人・4 人と場合分けするより、全体から「女子が 1 人もいない」選び方を引くほうが早い。

(1) 男子 5 人から 2 人を選ぶ。 $_{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り
女子 4 人から 2 人を選ぶ。 $_{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り
男子の選び方のそれぞれについて女子の選び方があるので掛ける。 $10 \times 6 = 60$ 通り
(2) 男女を区別せず、合わせて $5 + 4 = 9$ 人から 4 人を選ぶ選び方の全体を求める。 $_{9} C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り
女子を 1 人も含まないのは、男子 5 人だけから 4 人を選ぶとき。 $_{5} C_{4} =_{5} C_{1} = 5$ 通り
全体から引く。 $126 - 5 = 121$ 通り

確かめ：(2) を女子の人数で場合分けすると、女子 1 人が $4 \times 10 = 40$ 、2 人が $6 \times 10 = 60$ 、3 人が $4 \times 5 = 20$ 、4 人が 1 通りで、 $40 + 60 + 20 + 1 = 121$ 。

ここで間違えやすい　(2) を「先に女子を 1 人選び（4 通り）、残り 8 人から 3 人選ぶ（ $_{8} C_{3} = 56$ 通り）」として $4 \times 56 = 224$ としない。女子を 2 人以上含む選び方を、どの女子を「先に選んだ 1 人」とみるかで何回も数えてしまう。

問 2　正八角形の頂点のうち 3 つを結んで三角形を作る。
(1) 三角形は全部でいくつできるか。(2) 正八角形と辺を共有しない三角形はいくつあるか。

(1) 56 個　(2) 16 個

方針　正八角形の頂点はどの 3 つも一直線上に並ばないので、3 頂点を選べば三角形が 1 つ決まる。選ぶ順番は関係ないので組合せ。(2) の「辺を共有しない」は直接は数えにくいので、全体から「2 辺を共有する」ものと「1 辺だけを共有する」ものを引く。

(1) 8 個の頂点から 3 個を選ぶ。 $_{8} C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 個
(2) 正八角形と 2 辺を共有する三角形は、隣り合う 3 頂点を結んだもの。真ん中の頂点を決めれば 1 つ決まるので、8 個
1 辺だけを共有する三角形を数える。まず、共有する辺を選ぶ。正八角形の辺は 8 本なので 8 通り
次に 3 つ目の頂点を選ぶ。その辺の両端の 2 個は使えない。両端の隣の 2 個を選ぶと 2 辺を共有してしまうので、これも除く。残りは $8 - 2 - 2 = 4$ 個
1 辺だけを共有する三角形は、 $8 \times 4 = 32$ 個
全体から引く。 $56 - 8 - 32 = 16$ 個

ここで間違えやすい　2 辺を共有する三角形を引き忘れる、または 1 辺だけを共有するものを「辺 8 通り × 残りの頂点 6 個」で 48 個と数えると、2 辺を共有する三角形を 2 回ずつ含んでしまう。「2 辺」と「1 辺だけ」を重ならないように分けて数える。

問 3　平行な 4 本の直線と、それらに交わる平行な 5 本の直線がある。これらの直線でできる平行四辺形はいくつあるか。

60 個

方針　平行四辺形は、一方の向きの直線 2 本と、もう一方の向きの直線 2 本で囲まれてできる。だから「4 本から 2 本」「5 本から 2 本」を選べば 1 つ決まる。選ぶ順番は関係ないので組合せで、2 つの選び方は続けて決めるので掛ける。

平行な 4 本から、向かい合う辺になる 2 本を選ぶ。 $_{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り
もう一方の 5 本から 2 本を選ぶ。 $_{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り
積の法則で掛ける。 $6 \times 10 = 60$ 個

ここで間違えやすい　いちばん小さい平行四辺形だけを数えて $3 \times 4 = 12$ 個としない。直線を 1 本以上はさんだ大きい平行四辺形も数える。

問 4　男子 5 人、女子 4 人の中から、男子 2 人と女子 2 人を選んで 1 列に並べる。並べ方は何通りか。

1440 通り

方針　「選んでから並べる」問題。選ぶところには「男子 2 人・女子 2 人」という人数の条件があるので、いきなり順列にせず、まず組合せで選び方を数える。そのあと、選んだ 4 人を 1 列に並べる並べ方を掛ける。

男子 5 人から 2 人を選ぶ。 $_{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り
女子 4 人から 2 人を選ぶ。 $_{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り
4 人の選び方は、 $10 \times 6 = 60$ 通り
選んだ 4 人を 1 列に並べる。並ぶ場所に男女の条件は無いので、 $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り
選び方のそれぞれについて並べ方があるので掛ける。 $60 \times 24 = 1440$

ここで間違えやすい　 $_{9} P_{4} = 3024$ としない。これは 9 人から男女を問わず 4 人を並べる数で、男子 2 人・女子 2 人の条件が入っていない。 $_{5} P_{2} \times_{4} P_{2} = 240$ も、男子どうし・女子どうしの順番しか決めておらず、4 人全体の並び方になっていない。

問 5　7 人の部員から、(1) 当番を 3 人選ぶ選び方、(2) 部長・副部長・会計を 1 人ずつ選ぶ選び方は、それぞれ何通りか。

(1) 35 通り　(2) 210 通り

方針　組合せか順列かは、「選んだあとに、選ばれた人どうしの区別があるか」で決まる。(1) の当番 3 人には区別がないので、同じ 3 人なら選ぶ順番が違っても同じ選び方で、組合せ。(2) は部長・副部長・会計という役割で区別するので、同じ 3 人でも役割が入れかわれば別の選び方で、順列。

(1) 7 人から 3 人を選ぶ組合せの式を立てる。 $_{7} C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$
計算する。分子は $7 \times 6 \times 5 = 210$ 、分母は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので、 $210 \div 6 = 35$ 通り
(2) 部長は 7 人から 1 人で 7 通り、副部長は残り 6 人から 1 人で 6 通り、会計は残り 5 人から 1 人で 5 通り
続けて決めるので掛ける。 $_{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り

別の見方：(1) で選んだ 35 通りのそれぞれについて、3 人に部長・副部長・会計を割り振る方法が $3! = 6$ 通りある。 $35 \times 6 = 210$ で、(2) と合う。