接線と弦のなす角と方べきの定理｜高校数学A

学習指導要領数学A (1) 図形の性質ア (イ)「円に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、円の接線、接線と弦のなす角、方べきの定理。

0. どういうまとまりか

円と直線が 1 点だけを共有するとき、その直線を接線、共有する点を接点といいます。
接線は、円周上の 2 点が近づいて 1 点に重なった「弦の行き着く先」とみると、円周角や弦の性質がそのまま延びてきます。

図	成り立つこと
円外の点から 2 本の接線	接線の長さは等しい
接線と、接点を通る弦	接線と弦のなす角 $=$ その角の内部にある弧に対する円周角（接弦定理）
点 P を通る 2 本の直線と円	$P A \cdot P B = P C \cdot P D$ （方べきの定理）

分かれ目は次の 3 つ。

接弦定理で等しくなるのは、角の内部にある弧に対する円周角（弦の反対側にある円周上の点での角）
方べきの定理は、P から円との 2 つの交点までの長さを掛ける（P から交点まで、P から交点まで。弦の長さそのものではない）
接線は 2 つの交点が重なった場合で、 $P A \cdot P B$ が $P T^{2}$ になる

1. 円の接線

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(イ)

円の接線と、接点を通る半径の関係は？

垂直に交わる

接線上の接点以外の点は円の外部にあり、中心からの距離が半径より大きい。中心から接線への最短の線分が半径になる。

円の外部の点 P から円に 2 本の接線を引き、接点を A、B とする。PA と PB の関係は？

$P A = P B$ （接線の長さは等しい）

中心を O とすると、直角三角形 OAP と OBP は斜辺 OP が共通、OA $=$ OB で合同。

三角形 ABC の内接円が辺 BC、CA、AB に接する点を D、E、F とする。BD の長さを 3 辺 $a$ 、 $b$ 、 $c$ で表すと？

$B D = \frac{a + c - b}{2}$

接線の長さが等しいので $A E = A F$ 、 $B D = B F$ 、 $C D = C E$ 。 $B D + B F = a + c - (A E + C E) = a + c - b$ で、その半分。

円に外接する四角形 ABCD（4 辺がすべて 1 つの円に接する）の辺の長さについて成り立つ関係は？

$A B + C D = A D + B C$ （向かい合う辺の和が等しい）

各頂点から引いた 2 本の接線の長さが等しいので、どちらの組も、4 つの接線の長さを 1 つずつ足した和になる。

2. 接線と弦のなす角

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(イ)

円 O の周上の点 A での接線を AT、A を通る弦を AB とし、$\angle$TAB の内部にない弧の上に点 C をとります。

接線と弦のなす角の定理（接弦定理）とは何か？

円の接線と、接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい

接線 AT、弦 AB のとき、$\angle$TAB $=\angle $A C B （ C は弧 A B のうち、$ \angle$TAB の内部にない側の円周上の点）。

接弦定理は、$\angle$TAB が鋭角のときどう示すか？（証明の要点）

A を通る直径 AD を引く。$\angle$TAD $= 9 0^{\circ}$ （接線と半径は垂直）、$\angle$ABD $= 9 0^{\circ}$ （直径に対する円周角）。よって $\angle$TAB $=90^\circ-\angle$BAD $=\angle$ADB $=\angle$ACB

直角三角形 ABD の残りの角を経由し、最後に同じ弧 AB の円周角として $\angle$ACB に移す。

接弦定理の逆とは何か？

円 O の弦 AB と、A を端とする半直線 AT が、弧 AB 上の点 C（$\angle$TAB の内部にない側）について $\angle$TAB $=\angle$ACB を満たせば、AT は円 O の接線である

三角形 ABC の外接円に、直線が接することを示すのに使う。

3. 方べきの定理

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(イ)

点 P を通る 2 本の直線が円と交わるとき、P から交点までの長さの積が一定になります。これを方べきの定理といいます。

方べきの定理①：円の 2 つの弦 AB、CD（またはその延長）が点 P で交わるとき、成り立つ式は？

$P A \cdot P B = P C \cdot P D$

P が円の内部（弦どうしが交わる）でも、外部（延長どうしが交わる）でも同じ式。

方べきの定理②：円の外部の点 P から引いた直線が円と A、B で交わり、P から引いた接線の接点が T のとき、成り立つ式は？

$P A \cdot P B = P T^{2}$

① で C と D が重なって T になった場合とみる。

方べきの定理 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ （P が円の内部）は、どう示すか？（証明の要点）

三角形 PAC と三角形 PDB が相似であることを示す。対頂角 $\angle$APC $=\angle$DPB、同じ弧 BC に対する円周角 $\angle$CAB $=\angle$CDB。相似比から $P A : P D = P C : P B$

P が外部のときは、$\angle$P が共通で、円に内接する四角形の外角と内対角が等しいことから相似を示す。

点 P を通る直線を何本引いても、 $P A \cdot P B$ の値は変わらない。その値を、中心 O と P の距離 $d$ 、半径 $r$ で表すと？

$∣ d^{2} - r^{2} ∣$ （P が外部なら $d^{2} - r^{2}$ 、内部なら $r^{2} - d^{2}$ ）

O を通る直線で測ると、外部なら $(d - r) (d + r)$ 、内部なら $(r - d) (r + d)$ 。外部のときは接線の長さの 2 乗でもある。

方べきの定理の逆とは何か？

2 つの線分 AB、CD どうし、または AB の延長と CD の延長どうしが点 P で交わり、 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ が成り立てば、4 点 A、B、C、D は 1 つの円周上にある

$P A \cdot P B = P T^{2}$ の形の逆は、「直線 PT が 3 点 A、B、T を通る円に接する」。

練習問題

問 1　 $A B = 7$ 、 $B C = 8$ 、 $C A = 5$ の三角形 ABC の内接円が、辺 BC に接する点を D とする。BD と CD の長さを求めよ。

$B D = 5$ 、 $C D = 3$

方針　注目するのは、内接円が 3 辺に接する 3 つの接点。円の外部の 1 点から引いた 2 本の接線の長さは等しいので、各頂点から両側の接点までの長さが等しくなる。 $B D = x$ とおき、3 辺の長さをこの「等しい長さ」で表して方程式を作る。

内接円が辺 CA、AB に接する点をそれぞれ E、F とする。接線の長さが等しいので、 $B D = B F$ 、 $C D = C E$ 、 $A E = A F$ 。
$B D = x$ とおくと、 $B F = x$ 。BC の長さは $8$ なので $C D = 8 - x$ で、 $C E = 8 - x$ 。
AB の長さは $7$ なので、 $A F = 7 - x$
CA の長さは $5$ なので、 $A E = 5 - (8 - x) = x - 3$
$A F = A E$ から、 $7 - x = x - 3$
移項すると $10 = 2 x$ で、 $x = 5$ 。よって $B D = 5$
$C D = 8 - 5 = 3$

確かめ　公式 $B D = \frac{a + c - b}{2}$ （ $a = B C$ 、 $b = C A$ 、 $c = A B$ ）でも、 $\frac{8 + 7 - 5}{2} = 5$ 。 $C D = \frac{a + b - c}{2}$ も $\frac{8 + 5 - 7}{2} = 3$ で一致する。

問 2　円の 2 つの弦 AB、CD が円の内部の点 P で交わり、 $P A = 4$ 、 $P B = 6$ 、 $P C = 3$ である。PD の長さを求めよ。

$P D = 8$

方針　円の 2 つの弦が円の内部の点 P で交わっているので、方べきの定理 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ が使える。4 つの長さのうち 3 つが分かっているので、残りの PD が求まる。

弦 AB、CD とその交点 P に方べきの定理を当てると、 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$
長さを入れると、 $4 \times 6 = 3 \times P D$
左辺は $4 \times 6 = 24$ なので、 $3 \times P D = 24$
両辺を 3 で割って、 $P D = 24 \div 3 = 8$

ここで間違えやすい　掛けるのは同じ弦の上の 2 つ（PA と PB、PC と PD）。 $P A \cdot P C = P B \cdot P D$ のように、別の弦の長さを組にしない。

問 3　円の外部の点 P から引いた直線が円と 2 点 A、B で交わり、P に近い順に A、B である。 $P A = 3$ 、 $A B = 9$ のとき、P から引いた接線の長さ PT を求めよ。

$P T = 6$

方針　円の外部の点 P から、円と 2 点で交わる直線と接線が引かれているので、方べきの定理 $P A \cdot P B = P T^{2}$ を使う。式に入るのはどちらも P からの長さなので、まず PB を出す。

P、A、B の順に並んでいるので、 $P B = P A + A B = 3 + 9 = 12$
方べきの定理から、 $P T^{2} = P A \cdot P B = 3 \times 12 = 36$
$P T > 0$ なので、 $P T = 36 = 6$

ここで間違えやすい　AB（弦の長さ）ではなく、P から B までの長さを使う。 $3 \times 9$ としないこと。

問 4　円の外部の点 P から 2 本の直線を引き、一方は円と A、B で、もう一方は C、D で交わる（どちらも P に近いほうが A、C）。 $P A = 4$ 、 $A B = 5$ 、 $P C = 3$ のとき、CD の長さを求めよ。

$C D = 9$

方針　円の外部の点 P から、円と 2 点ずつで交わる直線が 2 本引かれているので、方べきの定理 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ を使う。式に入るのは P からの長さなので、PB を出してから PD を求め、最後に PD から PC を引いて CD にする。

P、A、B の順に並んでいるので、 $P B = P A + A B = 4 + 5 = 9$
方べきの定理から $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ 。長さを入れると、 $4 \times 9 = 3 \times P D$
左辺は $4 \times 9 = 36$ なので、 $P D = 36 \div 3 = 12$
P、C、D の順に並んでいるので、 $C D = P D - P C = 12 - 3 = 9$

問 5　三角形 ABC が円 O に内接している。A における円 O の接線上に、直線 AB について C と反対側に点 T をとる。$\angle$TAB $= 7 0^{\circ}$ のとき、$\angle$ACB を求めよ。

$\angle$ACB $= 7 0^{\circ}$

方針　接線 AT と、接点 A を通る弦 AB のつくる角が与えられているので、接弦定理を使う。接弦定理は「接線と弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」。どの弧の円周角かを確かめてから当てる。

$\angle$TAB は、A における接線 AT と弦 AB のつくる角。
T は直線 AB について C と反対側にあるので、$\angle$TAB の内部にある弧 AB は、C を含まないほうの弧。
その弧 AB に対する円周角は、弧の上にない点 C から見た $\angle$ACB。
接弦定理から、$\angle$ACB $=\angle$TAB $= 7 0^{\circ}$

ここで間違えやすい　T が直線 AB について C と同じ側にあるときは、角の内部の弧が C を含むほうになり、$\angle$TAB $=180^\circ-\angle$ACB になる。T と C の位置関係を必ず見る。

問 6　半径 5 の円 O と、 $O P = 13$ の点 P がある。P から円 O に引いた接線の長さを求めよ。また、P を通る直線が円と A、B で交わるとき、 $P A \cdot P B$ の値を求めよ。

接線の長さ 12、 $P A \cdot P B = 144$

方針　注目するのは、中心 O、接点 T、点 P を結んだ三角形 OTP。接線は接点を通る半径に垂直なので、これは直角三角形になり、三平方の定理で接線の長さが出る。 $P A \cdot P B$ は、方べきの定理 $P A \cdot P B = P T^{2}$ から、直線の引き方によらず決まる。

接点を T とすると、 $O T ⊥ P T$ なので、三角形 OTP は $\angle$OTP $= 9 0^{\circ}$ の直角三角形。斜辺は $O P = 13$ で、OT は半径の $5$ 。
三平方の定理から、 $P T = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12$
方べきの定理から、P を通るどの直線でも $P A \cdot P B = P T^{2}$
よって、 $P A \cdot P B$ の値は $1 2^{2} = 144$

確かめ　中心 O を通る直線で測ると、P から近いほうの交点まで $13 - 5 = 8$ 、遠いほうの交点まで $13 + 5 = 18$ で、 $8 \times 18 = 144$ と一致する。