円周角と円に内接する四角形
このノートの問いがそのまま復習カードになり、忘れかけたころに出題されます。
学習指導要領 数学A (1) 図形の性質 ア (イ)「円に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、円周角の定理とその逆、円に内接する四角形。
0. どういうまとまりか
中学で学んだ円周角の定理が土台です。まず確認しておきます。
| 中学で学んだこと | 内容 |
|---|---|
| 円周角の定理 | 1 つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しい |
| 半円の弧に対する円周角 | （直径を見込む角は直角） |
| 円周角の定理の逆 | 2 点が直線の同じ側にあって、その直線上の線分を見込む角が等しければ、4 点は 1 つの円周上にある |
ここでは、これを 4 点が円周上にあるかどうかの判定に広げ、円に内接する四角形の角の性質とつなげます。
分かれ目は次の 3 つ。
- 円周角の定理の逆は「2 点が直線の同じ側にある」ことが条件（反対側なら、角の和が のほうを見る）
- 円に内接する四角形は、向かい合う角の和が 。外角は、隣の内角ではなく向かい合う内角（内対角）に等しい
- 4 点が 1 つの円周上にあることを示す方法は 2 つ（1 辺を見込む角が等しい／対角の和が ）
1. 円周角と弧、点の位置
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(イ)
1 つの円で、円周角の大きさと弧の長さの関係は？
円周角の大きさは弧の長さに比例する（等しい弧に対する円周角は等しく、逆も成り立つ）
中心角が弧の長さに比例し、円周角はその半分だから。
円周角の定理の逆を、条件まで正確に言うと？
2 点 P、Q が直線 AB について同じ側にあって、$\angle$APB $=\angle$AQB ならば、4 点 A、B、P、Q は 1 つの円周上にある
「同じ側」が抜けると成り立たない。P と Q が AB について反対側なら、条件は $\angle$APB $+\angle$AQB になる（円に内接する四角形）。
円周上に 2 点 A、B がある。直線 AB に対して、円周角をつくる弧と同じ側に点 P をとる。P が円の内部・円周上・外部にあるとき、$\angle$APB は円周角と比べてどうなるか？
P が円の内部なら円周角より大きく、円周上なら等しく、外部なら小さい
円周角の定理の逆は、この大小関係から背理法で示す。
線分 AB を見込む角が になる点 P は、どこにあるか？
AB を直径とする円の周上（A、B を除く）
半円の弧に対する円周角が であることの逆。2 つの直角が同じ線分を見込んでいれば、4 点は 1 つの円周上にある。
2. 円に内接する四角形の性質
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(イ)
4 つの頂点がすべて 1 つの円周上にある四角形を、円に内接する四角形といいます。
円に内接する四角形の、向かい合う角の性質は？
向かい合う角の和は （、）
と は、円周を 2 つに分けた弧に対する円周角で、中心角の和 の半分になる。
円に内接する四角形の外角について言えることは？
1 つの外角は、それと向かい合う内角（内対角）に等しい
$\angle$C の外角 。隣の内角 と等しいのではない。
円に内接する四角形で、向かい合う角の和が になることは、どう示すか？（証明の要点）
中心 O と B、D を結ぶ。$\angle\angle$C は弧 BAD に対する円周角で、2 つの弧の中心角の和は 。よって
円周角は中心角の半分、を 2 つの弧で使う。
3. 四角形が円に内接する条件
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(イ)
性質の逆も成り立ちます。4 点が 1 つの円周上にあることを示すときに使います。
四角形が円に内接するための条件を 3 つ挙げると？
① 1 組の向かい合う角の和が ② 1 つの外角が、その内対角に等しい ③ 1 辺を、同じ側の 2 頂点から見込む角が等しい
① と ② は円に内接する四角形の性質の逆、③ は円周角の定理の逆。どれか 1 つが示せれば円に内接する。
向かい合う 2 つの角がともに直角である四角形は、円に内接するか？
内接する（向かい合う角の和が だから）
2 つの直角の頂点を通らないほうの対角線が、その円の直径になる。垂心の問題でよく使う。
平行四辺形が円に内接するのは、どんなときか？
長方形のとき
平行四辺形は向かい合う角が等しいので、和が になるのは両方 のとき。
台形が円に内接するのは、どんなときか？
等脚台形のとき（平行でない 2 辺の長さが等しい）
平行線の同側内角の和は 。これと対角の和 が両立するには、底辺の両端の角が等しくなる必要がある。
練習問題
問 1 円に内接する四角形 ABCD で、、 のとき、 と 、および $\angle$D の外角の大きさを求めよ。
、、$\angle$D の外角
方針 円に内接する四角形では、向かい合う角の和が 。 の向かいは 、 の向かいは なので、それぞれ から引く。外角は、隣の内角との和が であることから求める（内対角に等しいことでも確かめられる）。
- と は向かい合うので 。よって
- と は向かい合うので 。よって
- $\angle$D の外角は、内角 との和が なので、
確かめ 円に内接する四角形の外角は、内対角に等しい。$\angle$D の内対角は で、手順 3 と一致する。
問 2 円周上に 4 点 A、B、C、D がこの順にあり、弧の長さの比が である。四角形 ABCD の 4 つの内角を求めよ。
、、、
方針 円周角の大きさは、その角が見込む弧の長さに比例する。そこで、弧の比の 1 つ分にあたる円周角を先に出し、各内角がどの弧を見込むか（その頂点を含まないほうの弧）を数えて掛ける。
- 弧の比の合計は 。円周全体の中心角は なので、比の 1 つ分の弧に対する中心角は
- 円周角は中心角の半分なので、比の 1 つ分の弧に対する円周角は
- $\angle\angle$DAB）が見込むのは、A を含まない弧 BCD。比は なので、
- $\angle\angle$ABC）が見込むのは、B を含まない弧 CDA。比は なので、
- $\angle\angle$BCD）が見込むのは、C を含まない弧 DAB。比は なので、
- $\angle\angle$CDA）が見込むのは、D を含まない弧 ABC。比は なので、
確かめ 向かい合う角の和は 、 で、円に内接する四角形の性質と合う。
ここで間違えやすい $\angle$A が見込む弧は、A の両隣の弧 AB、DA ではなく、A の向かい側の弧 BCD。
問 3 四角形 ABCD で、$\angle$BAC $=\angle$BDC 、$\angle$ABD とする（A、D は直線 BC について同じ側にある）。$\angle$ACD を求めよ。
$\angle$ACD
方針 $\angle$BAC と $\angle$BDC は、どちらも線分 BC を見込む角で、等しい。A、D が直線 BC の同じ側にあるので、円周角の定理の逆から、4 点が 1 つの円周上にあると言える。円が見つかれば、求めたい $\angle$ACD と同じ弧に対する円周角を探して移す。
- A、D は直線 BC について同じ側にあり、$\angle$BAC $=\angle$BDC 。
- 円周角の定理の逆から、4 点 A、B、C、D は 1 つの円周上にある。
- この円で、$\angle$ACD は弧 AD に対する円周角（C から A と D を見込む角）。
- $\angle$ABD も同じ弧 AD に対する円周角（B から A と D を見込む角）。
- 同じ弧に対する円周角は等しいので、$\angle$ACD $=\angle$ABD
ここで間違えやすい は答えの計算には出てこない。4 点が同じ円周上にあることを言うためだけに使う。
問 4 鋭角三角形 ABC で、B から辺 CA に下ろした垂線の足を E、C から辺 AB に下ろした垂線の足を F とする。 のとき、$\angle$AEF を求めよ。
$\angle$AEF
方針 B、C から下ろした垂線の足 E、F は、どちらも辺 BC を で見込む。だから 4 点 B、C、E、F は BC を直径とする円の周上にある。円に内接する四角形 BCEF ができれば、「外角は内対角に等しい」で $\angle$AEF を に移せる。
- なので $\angle$BEC 、 なので $\angle$BFC 。
- E、F は直線 BC について同じ側にあり、BC を見込む角が等しい（どちらも ）。円周角の定理の逆から、4 点 B、C、E、F は 1 つの円周上（BC を直径とする円の周上）にある。
- 四角形 BCEF は円に内接する。頂点 E での内角は $\angle\angle$AEF はその外角。
- 頂点 E の向かいの頂点は B なので、内対角は $\angle\angle$FBC $=\angle$ABC 。
- 円に内接する四角形の外角は内対角に等しいので、$\angle$AEF
確かめ 向かい合う角の和で計算しても同じ。$\angle$CEF で、$\angle$AEF 。
問 5 【作図と組み合わせて】線分 AB が与えられたとき、AB を見込む角が になる点の集まりをかくには、どう作図すればよいか。
AB の垂直二等分線を作図して AB の中点 M をとり、M を中心に半径 MA の円をかく（A、B は除く）
方針 線分 AB を で見込む点は、AB を直径とする円の周上にある（半円の弧に対する円周角は ）。だから「AB を直径とする円」をかけばよい。円をかくには中心（AB の中点）と半径が要るので、中点を垂直二等分線の作図で見つける。
- A、B をそれぞれ中心として、等しい半径（AB の半分より長い）の円をかき、2 つの交点を結ぶ。これが AB の垂直二等分線。
- 垂直二等分線と AB の交点を M とする。M は AB の中点で、。
- M を中心に、半径 MA の円をかく。これが AB を直径とする円。
- この円の周上の点 P（A、B を除く）では、$\angle$APB が半円の弧に対する円周角なので になる。A、B 自身では角ができないので除く。