チェバの定理とメネラウスの定理｜高校数学A

学習指導要領数学A (1) 図形の性質ア (ア)「三角形に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、チェバの定理とメネラウスの定理。

0. どういうまとまりか

どちらも、三角形の辺（またはその延長）の上の 3 つの点について、3 つの比を掛けると 1 になるという定理です。
式の形はそっくりで、違うのは図です。

	チェバの定理	メネラウスの定理
図	頂点から引いた 3 直線が 1 点で交わる	三角形を 1 本の直線が横切る
3 つの点	各辺（点が三角形の外部なら延長）の上	2 辺の上と 1 辺の延長上（または 3 つとも延長上）
式	$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$	$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

分かれ目は次の 3 つ。

比は「頂点、分点、頂点、分点…」と三角形を一周するようにたどる（どちらの定理も同じたどり方）
1 点で交わる 3 直線ならチェバ、1 本の直線が横切るならメネラウス
メネラウスは「どの三角形」と「どの直線」を選ぶかで、求まる比が決まる

1. チェバの定理

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ア)

三角形 ABC の頂点と、三角形の内部の点 O を結ぶ直線 AO、BO、CO が、向かいの辺 BC、CA、AB と交わる点をそれぞれ D、E、F とします。

チェバの定理とは何か？（三角形 ABC の頂点と点 O を結ぶ直線が、辺 BC、CA、AB と D、E、F で交わる）

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

A から始めて、頂点 A、分点 F、頂点 B、分点 D、頂点 C、分点 E と一周し、A に戻る。

チェバの定理やメネラウスの定理で、比をたどる順の決まりは？

頂点から始めて、頂点と分点を交互にたどり、三角形を一周して出発点に戻る

分子が「頂点から分点」、分母が「分点から次の頂点」。一周の向きは逆回りでもよい（式全体の逆数になるだけで、1 のまま）。

チェバの定理は、どう示すか？（証明の要点）

面積の比を使う。 $\frac{B D}{D C} = \frac{△ A B O}{△ A C O}$ 、 $\frac{C E}{E A} = \frac{△ B C O}{△ B A O}$ 、 $\frac{A F}{F B} = \frac{△ C A O}{△ C B O}$ を掛けると、分子と分母が打ち消し合って 1

底辺の比が、共通の辺 AO（BO、CO）を底辺とする 2 つの三角形の面積の比に等しいことを使う。

チェバの定理は、点 O が三角形の外部にあるときも成り立つか？

成り立つ（3 つの交点のうち 2 つが辺の延長上にくる）

比は長さの比としてそのまま使う。

チェバの定理の逆とは何か？

辺 BC、CA、AB 上にそれぞれ点 D、E、F があって $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ が成り立てば、3 直線 AD、BE、CF は 1 点で交わる

3 直線が 1 点で交わること（重心・内心が存在すること）を示すのに使える。

3 本の中線が 1 点で交わることを、チェバの定理の逆で示すと？

中点なので $\frac{A F}{F B} = \frac{B D}{D C} = \frac{C E}{E A} = 1$ 。積が 1 になるので、3 本の中線は 1 点で交わる

内角の二等分線でも、角の二等分線の定理で比が $\frac{b}{a}$ 、 $\frac{c}{b}$ 、 $\frac{a}{c}$ になり、積は 1。

2. メネラウスの定理

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ア)

三角形 ABC の頂点を通らない直線 $ℓ$ が、辺 BC、CA、AB またはその延長と交わる点を、それぞれ D、E、F とします。

メネラウスの定理とは何か？（三角形 ABC の頂点を通らない直線が、辺 BC、CA、AB またはその延長と D、E、F で交わる）

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

式の形はチェバの定理と同じ。直線は 3 辺のうち 2 辺を横切り、残りの 1 辺は延長上で交わる（3 つとも延長上のこともある）。

メネラウスの定理で、延長上にある分点（たとえば BC の延長上の D）は、比の式にどう入れるか？

頂点 B から D まで、D から頂点 C までの長さをそのまま使う（ $\frac{B D}{D C}$ ）

D が延長上にあっても、たどり方は「頂点、分点、頂点」のまま変わらない。D が C の側の延長上にあれば、BD は BC より長くなる。

メネラウスの定理は、どう示すか？（証明の要点）

頂点 C を通り直線 $ℓ$ に平行な直線を引き、AB との交点を G とする。平行線と線分の比で $\frac{B D}{D C} = \frac{B F}{F G}$ 、 $\frac{C E}{E A} = \frac{GF}{F A}$ となり、掛けると 1

比をすべて辺 AB の上の比に集めるのが要。

メネラウスの定理で比を求めるとき、三角形と直線はどう選ぶか？

求めたい比の線分を辺にもつ三角形を選び、残りの点を通る 1 本の直線を「横切る直線」とみる

たとえば AO:OD を求めたいなら、AD を 1 辺とする三角形（ABD など）と、O を通って横切る直線（CF など）を選ぶ。

メネラウスの定理の逆とは何か？

辺 BC、CA、AB またはその延長上の点 D、E、F について（延長上にあるのが 1 つか 3 つのとき）、 $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ が成り立てば、D、E、F は一直線上にある

3 点が一直線上にあることを示すのに使う。直線が三角形を横切ると延長上の点は 1 つか 3 つになるので、0 個や 2 個のときは一直線上に並ばない。

練習問題

問 1　三角形 ABC で、辺 AB を $2 : 3$ に内分する点を F、辺 BC を $4 : 1$ に内分する点を D とし、AD と CF の交点を O とする。直線 BO と辺 CA の交点を E とするとき、 $C E : E A$ を求めよ。

$C E : E A = 3 : 8$

方針　3 本の直線 AD、BE、CF が、三角形 ABC の内部の 1 点 O で交わっている。頂点と向かいの辺上の点を結ぶ 3 直線が 1 点で交わるときは、チェバの定理。三角形 ABC に当て、3 つの比のうち分かっている 2 つを入れて、残りの $\frac{C E}{E A}$ を求める。

E は直線 BO と辺 CA の交点なので、AD、BE、CF は 1 点 O で交わる。三角形 ABC にチェバの定理を当てると、 $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
F は AB を $2 : 3$ に内分するので $\frac{A F}{F B} = \frac{2}{3}$ 、D は BC を $4 : 1$ に内分するので $\frac{B D}{D C} = \frac{4}{1}$
式に入れると、 $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
左の 2 つを掛けると $\frac{2}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$ なので、 $\frac{8}{3} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
両辺に $\frac{3}{8}$ を掛けて、 $\frac{C E}{E A} = \frac{3}{8}$ 。よって $C E : E A = 3 : 8$

問 2　問 1 の図で、 $A O : O D$ を求めよ。

$A O : O D = 10 : 3$

方針　求めたいのは、線分 AD 上の比。交点 O が線分を分ける比はチェバの定理では出ないので、メネラウスの定理を使う。AD を 1 辺にもつ三角形 ABD を選び、O を通ってこの三角形を横切る直線 CF に当てる。

三角形 ABD と直線 CF を見る。直線 CF は、辺 AB と F で、辺 AD と O で、辺 BD の延長と C で交わる。
A から「頂点、分点、頂点」の順に一周すると、メネラウスの定理は $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B C}{C D} \cdot \frac{D O}{O A} = 1$
$\frac{A F}{F B} = \frac{2}{3}$ 。また $B D : D C = 4 : 1$ なので、BC は $4 + 1 = 5$ にあたり、 $B C : C D = 5 : 1$ で $\frac{B C}{C D} = \frac{5}{1}$
式に入れると、 $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{D O}{O A} = 1$
左の 2 つを掛けると $\frac{2}{3} \times \frac{5}{1} = \frac{10}{3}$ なので、 $\frac{10}{3} \cdot \frac{D O}{O A} = 1$ から $\frac{D O}{O A} = \frac{3}{10}$
よって $A O : O D = 10 : 3$

ここで間違えやすい　辺 BD の上の比は、分点が延長上の C なので $\frac{B C}{C D}$ （B から C まで、C から D まで）。 $\frac{B D}{D C} = \frac{4}{1}$ をそのまま入れない。

問 3　問 1 の図で、三角形 OBC の面積は三角形 ABC の面積の何倍か。

$\frac{3}{13}$ 倍

方針　三角形 OBC と三角形 ABC は底辺 BC を共有しているので、面積の比は高さの比に等しい。O と A は同じ直線 AD 上にあるので、高さの比は $O D : A D$ になる。問 2 の $A O : O D$ をそのまま使う。

問 2 から $A O : O D = 10 : 3$ 。AD 全体は $10 + 3 = 13$ にあたるので、 $O D : A D = 3 : 13$
O、A から直線 BC に下ろした 2 本の垂線は平行なので、その長さ（高さ）の比は $O D : A D = 3 : 13$
底辺 BC が共通なので、面積の比も $3 : 13$ 。三角形 OBC の面積は、三角形 ABC の $\frac{3}{13}$ 倍。

ここで間違えやすい　使う比は $O D : A D$ で、 $O D : A O = 3 : 10$ ではない。全体 AD に対する割合に直してから使う。

問 4　三角形 ABC で、辺 AB を $1 : 2$ に内分する点を P、辺 AC を $3 : 1$ に内分する点を Q とする。直線 PQ と直線 BC の交点を R とするとき、 $B R : R C$ を求めよ。

$B R : R C = 6 : 1$ （R は C の外側にある）

方針　1 本の直線 PQ が、三角形 ABC の辺 AB、AC を横切り、辺 BC の延長と R で交わっている。三角形を 1 本の直線が横切るときは、メネラウスの定理。三角形 ABC と直線 PQR に当てる。

直線 PQR は、辺 AB と P で、直線 BC と R で、辺 CA と Q で交わる。A から一周してメネラウスの定理を書くと、 $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B R}{R C} \cdot \frac{C Q}{Q A} = 1$
P は AB を $1 : 2$ に内分するので、 $\frac{A P}{P B} = \frac{1}{2}$
Q は AC を $3 : 1$ に内分する（ $A Q : QC = 3 : 1$ ）ので、 $\frac{C Q}{Q A} = \frac{1}{3}$
式に入れると、 $\frac{1}{2} \cdot \frac{B R}{R C} \cdot \frac{1}{3} = 1$
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ なので、 $\frac{1}{6} \cdot \frac{B R}{R C} = 1$ から $\frac{B R}{R C} = 6$ 。よって $B R : R C = 6 : 1$
$B R > R C$ なので、R は B から遠い側、つまり辺 BC の C の側の延長上にある。

ここで間違えやすい　「AC を $3 : 1$ に内分」は A の側が 3。式に入るのは C からたどる $\frac{C Q}{Q A}$ なので、 $\frac{3}{1}$ ではなく $\frac{1}{3}$ 。

問 5　三角形 ABC の辺 BC を $1 : 2$ に内分する点を D、辺 CA を $3 : 1$ に内分する点を E とする。辺 AB 上の点 F を、3 直線 AD、BE、CF が 1 点で交わるようにとるとき、 $A F : F B$ を求めよ。

$A F : F B = 2 : 3$

方針　頂点と向かいの辺上の点を結ぶ 3 直線 AD、BE、CF が 1 点で交わるなら、チェバの定理の式が成り立つ。三角形 ABC にチェバの定理を当て、分かっている 2 つの比を入れて $\frac{A F}{F B}$ を求める。

3 直線が 1 点で交わるので、チェバの定理から $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$
D は BC を $1 : 2$ に内分するので $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}$ 、E は CA を $3 : 1$ に内分する（ $C E : E A = 3 : 1$ ）ので $\frac{C E}{E A} = \frac{3}{1}$
式に入れると、 $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = 1$
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$ なので、 $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{3}{2} = 1$ から $\frac{A F}{F B} = \frac{2}{3}$ 。よって $A F : F B = 2 : 3$
逆に、AB を $2 : 3$ に内分する点を F とすると式の積が 1 になるので、チェバの定理の逆により 3 直線は 1 点で交わる。