三角形の五心
このノートの問いがそのまま復習カードになり、忘れかけたころに出題されます。
学習指導要領 数学A (1) 図形の性質 ア (ア)「三角形に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、重心・内心・外心と、垂心・傍心。
0. どういうまとまりか
三角形に 3 本の特別な線を引くと、どれも 1 点で交わります。その交点が五心です。
どの線の交点かと、その点が何から等しい距離にあるかを、組にして覚えます。
| 名前 | 何の交点か | 性質 |
|---|---|---|
| 重心 G | 3 本の中線 | 各中線を頂点から に内分する |
| 内心 I | 3 つの内角の二等分線 | 3 辺から等距離（内接円の中心） |
| 外心 O | 3 辺の垂直二等分線 | 3 頂点から等距離（外接円の中心） |
| 垂心 H | 3 頂点から対辺への垂線 | 鈍角三角形では外部にくる |
| 傍心 | 1 つの内角と 2 つの外角の二等分線 | 3 辺（の延長）に接する傍接円の中心。3 つある |
分かれ目は次の 3 つ。
- 内心は「辺」から等距離、外心は「頂点」から等距離（取り違えやすい対）
- 外心の位置は三角形の形で変わる（鋭角なら内部、直角なら斜辺の中点、鈍角なら外部）。重心・内心はいつも内部
- 正三角形では 4 つ（重心・内心・外心・垂心）が一致する
1. 重心
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(ア)
頂点と、向かいの辺の中点を結ぶ線分を中線といいます。
三角形の重心とは何か？ また、重心は中線をどんな比に分けるか？
3 本の中線の交点。各中線を頂点から に内分する
中線 AM なら 。
3 本の中線が 1 点で交わることは、どう示すか？（要点）
中線 BM と CN の交点 G は、中点連結定理で三角形 GBC と GMN が相似（比 ）になり、BM を に分ける。中線 AL と BM の交点も BM を に分けるので、同じ点になる
「BM を に分ける点」はただ 1 つ、というのが要。
三角形 ABC を、重心 G と 3 頂点・3 辺の中点を結ぶ線分で分けると、6 つの三角形の面積はどうなるか？
すべて等しい（それぞれ三角形 ABC の ）
中線は三角形を面積の等しい 2 つに分け、G が中線を に分けることから出る。
2. 内心
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(ア)
角の二等分線上の点は、角をはさむ 2 辺から等しい距離にあります。
三角形の内心とは何か？ また、どんな性質をもつか？
3 つの内角の二等分線の交点。3 辺から等しい距離にあり、内接円の中心になる
内接円の半径 は、内心から各辺までの距離。
3 つの内角の二等分線が 1 点で交わることは、どう示すか？（要点）
$\angle$B と $\angle$C の二等分線の交点 I は、辺 AB と BC から等距離、BC と CA から等距離。よって AB と CA からも等距離なので、I は $\angle$A の二等分線上にもある
「2 辺から等距離の点は、その 2 辺のなす角の二等分線上にある」を使う。
三角形 ABC の内心を I、直線 AI と辺 BC の交点を D とするとき、 を辺で表すと？（、、）
BI は三角形 ABD の $\angle$B の二等分線なので 。 を入れると出る。
三角形 ABC の内心を I とするとき、$\angle$BIC を で表すと？
$\angle$BIC
三角形 IBC で、$\angle$IBC $+\angle$ICB 。これを から引く。
3. 外心
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(ア)
線分の垂直二等分線上の点は、線分の両端から等しい距離にあります。
三角形の外心とは何か？ また、どんな性質をもつか？
3 辺の垂直二等分線の交点。3 頂点から等しい距離にあり、外接円の中心になる
外接円の半径 は、外心から各頂点までの距離。
三角形の外心の位置は、三角形の形によってどう変わるか？
鋭角三角形なら内部、直角三角形なら斜辺の中点、鈍角三角形なら外部
直角三角形では、直径に対する円周角が なので斜辺が外接円の直径になる。
が鋭角の三角形 ABC の外心を O とするとき、$\angle$BOC を で表すと？
$\angle$BOC
$\angle$BOC は弧 BC に対する中心角、 は同じ弧に対する円周角。
4. 垂心と傍心
根拠: 学習指導要領 数学A-(1)-ア-(ア)
三角形の垂心とは何か？ また、鈍角三角形・直角三角形ではどこにくるか？
3 つの頂点から向かいの辺（またはその延長）へ引いた 3 本の垂線の交点。鈍角三角形では外部、直角三角形では直角の頂点
3 本の垂線が 1 点で交わるのは、各頂点を通り対辺に平行な直線で大きな三角形を作ると、3 本の垂線はその大きな三角形の 3 辺の垂直二等分線になり、外心で交わるから。
三角形の傍心とは何か？ いくつあるか？
1 つの内角の二等分線と、他の 2 つの角の外角の二等分線の交点。3 つある
傍心を中心に、1 辺と他の 2 辺の延長に接する円（傍接円）がかける。
正三角形では、重心・内心・外心・垂心はどうなるか？
4 つとも一致する
正三角形では、中線・角の二等分線・垂直二等分線・垂線がすべて同じ直線になる。
逆に、この 4 つの点のうち 2 つが一致する三角形は正三角形。
練習問題
問 1 三角形 ABC で、、、 とする。内心を I、直線 AI と辺 BC の交点を D とするとき、BD の長さと を求めよ。
、
方針 内心は 3 つの内角の二等分線の交点。だから AI（直線 AD）は $\angle$A の二等分線、BI は $\angle$B の二等分線である。角の二等分線と辺の比の定理を 2 回使う。1 回目は三角形 ABC の $\angle$A に当てて BD を、2 回目は三角形 ABD の $\angle$B に当てて を求める。
- AD は $\angle$A の二等分線なので、三角形 ABC で
- BC を 等分した 4 つ分が BD なので、
- 次に三角形 ABD を見る。BI は $\angle\angle$ABD）の二等分線で、向かいの辺 AD と I で交わる。
- 三角形 ABD に角の二等分線と辺の比の定理を当てると、
- 長さを入れると、
確かめ 公式 でも、 で一致する。
問 2 三角形 ABC で とする。内心を I、外心を O とするとき、$\angle$BIC と $\angle$BOC を求めよ。
$\angle$BIC 、$\angle$BOC
方針 $\angle\angle$BOC は、外心が外接円の中心であることから、弧 BC に対する中心角と円周角の関係で求める。
- 【$\angle$BIC】三角形 ABC の内角の和から、
- BI、CI はそれぞれ $\angle\angle\angle$IBC と $\angle$ICB の和は の半分で、
- 三角形 IBC の内角の和から、$\angle$BIC
- 【$\angle\angle$BOC は弧 BC に対する中心角、 は同じ弧に対する円周角。
- は鋭角なので、中心角は円周角の 2 倍で、$\angle$BOC
確かめ 公式 $\angle$BIC でも、 で一致する。
問 3 $\angle$B 、、 の直角三角形 ABC の、外接円の半径 と内接円の半径 を求めよ。
、
方針 外接円の半径は、直角三角形の外心が斜辺の中点にあることから、斜辺の半分。内接円の半径は、内心と 3 頂点を結んで三角形を 3 つに分け、面積を 2 通りに表して求める。どちらにも斜辺の長さが要るので、まず三平方の定理で CA を出す。
- $\angle$B が直角なので、斜辺は CA。三平方の定理から、
- 【】直角三角形の外心は斜辺の中点なので、 は斜辺の半分で
- 【】三角形 ABC の面積は、直角をはさむ 2 辺を底辺と高さにして、
- 内心 I と 3 頂点を結ぶと、三角形 IAB、IBC、ICA に分かれる。底辺はそれぞれ 、、 で、高さはどれも （内心から各辺までの距離）。
- 3 つの面積の和は、
- これが全体の面積に等しいので、 から
ここで間違えやすい 直角は B にあるので、斜辺は B の向かいの CA。BC を斜辺として としない。
問 4 三角形 ABC の重心を G、辺 BC の中点を M とする。 のとき AG と GM の長さを求めよ。また、三角形 ABC の面積が 30 のとき、三角形 GBC の面積を求めよ。
、、三角形 GBC の面積は
方針 重心は、中線を頂点の側から に内分する。AM は中線なので、 を に分ける。面積は、三角形 GBC と三角形 ABC が底辺 BC を共有しているので、高さの比（）で比べる。
- M は辺 BC の中点なので AM は中線で、G は AM 上にあり 。
- AM を 等分した 2 つ分が AG なので、
- 残りが GM なので、
- 三角形 GBC と三角形 ABC は底辺 BC が共通。G、A から BC までの高さの比は、同じ直線 AM 上の に等しく、
- 面積の比も なので、三角形 GBC の面積は
問 5 鋭角三角形 ABC で とする。垂心を H とするとき、$\angle$BHC を求めよ。
方針 垂心は、頂点から向かいの辺へ引いた垂線の交点。B、C からの垂線の足を E、F とすると、頂点 A のまわりに、直角を 2 つもつ四角形 AFHE ができる。四角形の内角の和から $\angle$FHE を出し、対頂角で $\angle$BHC に移す。
- B から辺 CA に下ろした垂線の足を E、C から辺 AB に下ろした垂線の足を F とする。H は BE と CF の交点。
- 四角形 AFHE で、$\angle$AFH （ から）、$\angle$AEH （ から）、$\angle$FAE 。
- 四角形の内角の和は なので、$\angle$FHE
- $\angle$BHC と $\angle$FHE は、2 直線 BE、CF が H で交わってできる対頂角なので等しい。よって $\angle$BHC
確かめ 手順 3 は文字のままなら $\angle$BHC で、。