角の二等分線と辺の比｜高校数学A

学習指導要領数学A (1) 図形の性質ア (ア)「三角形に関する基本的な性質について理解すること。」のうち、線分の内分・外分と、角の二等分線と辺の比。

0. どういうまとまりか

三角形の角を 2 等分する直線は、向かいの辺（またはその延長）を、角をはさむ 2 辺の比に分けます。
内角でも外角でも同じ比になり、違うのは分ける点が辺の上にあるか（内分）、延長上にあるか（外分）だけです。

	内角 A の二等分線	外角 A の二等分線
直線 BC と交わる点	辺 BC の上（D）	辺 BC の延長上（E）
比	$B D : D C = A B : A C$ （内分）	$B E : E C = A B : A C$ （外分）
交わらないとき	ない	$A B = A C$ のとき（BC と平行）

分かれ目は次の 3 つ。

比は「角をはさむ 2 辺」の比（BC の長さや、向かいの角は関係しない）
内分点は線分の上、外分点は延長上。外分点は、比の大きいほうの端の外側にくる
外角の二等分線は、 $A B = A C$ のときだけ BC と平行で、外分点が存在しない

1. 線分の内分と外分

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ア)

点 P が線分 AB を「 $m : n$ に分ける」には 2 通りあります。P が線分の上にあるか、線分の延長上にあるかです。

点 P が線分 AB を $m : n$ に内分するとは？

P が線分 AB 上にあって、 $A P : P B = m : n$ であること

$m$ 、 $n$ は正の数。 $m = n$ のとき P は中点。

点 Q が線分 AB を $m : n$ に外分するとは？

Q が線分 AB の延長上にあって、 $A Q : QB = m : n$ であること（ $m \neq = n$ ）

$m = n$ だと AQ $=$ QB となる延長上の点は存在しないので、外分は $m \neq = n$ のときだけ。

線分 AB を $m : n$ に外分する点は、 $m > n$ のときと $m < n$ のときで、それぞれどこにくるか？

$m > n$ なら B の外側（A から見て B の先）、 $m < n$ なら A の外側

A からの距離のほうが大きい（ $m > n$ ）なら、A から遠い B の側にはみ出す。

2. 内角の二等分線と辺の比

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ア)

三角形 ABC の $\angle$A の角の二等分線と辺 BC の交点を D とします。

三角形 ABC で、$\angle$A の角の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD と DC の比は？

$B D : D C = A B : A C$

D は辺 BC を $A B : A C$ に内分する。角をはさむ 2 辺の比。

内角の二等分線の定理 $B D : D C = A B : A C$ は、どう示すか？（証明の要点）

C を通り AD に平行な直線を引き、BA の延長との交点を E とする。同位角・錯角から三角形 ACE は AE $=$ AC の二等辺三角形。平行線と線分の比で $B D : D C = B A : A E = A B : A C$

AC を、BA の延長上に「折り返して」一直線に並べるのが要。

内角の二等分線の定理を、面積の比で示すと？

三角形 ABD と ACD の面積の比は、底辺 BD、DC の比（高さ共通）。一方、D から AB、AC までの距離は等しい（角の二等分線上の点）ので、面積の比は AB と AC の比にもなる

同じ面積の比を 2 通りに表して、 $B D : D C = A B : A C$ 。

三角形 ABC で $a = B C$ 、 $b = C A$ 、 $c = A B$ とする。$\angle$A の二等分線と BC の交点を D とするとき、BD の長さは？

$B D = \frac{a c}{b + c}$

BC を $c : b$ に内分するので、BD は BC の $\frac{c}{b + c}$ 倍。

3. 外角の二等分線と辺の比

根拠: 学習指導要領数学A-(1)-ア-(ア)

$\angle$A の外角の二等分線は、辺 BC の延長と交わります。

三角形 ABC で $A B \neq = A C$ のとき、$\angle$A の外角の二等分線と直線 BC の交点を E とすると、BE と EC の比は？

$B E : E C = A B : A C$

E は辺 BC を $A B : A C$ に外分する。比は内角のときと同じで、分け方が外分になる。

外角の二等分線の定理は、どう示すか？（証明の要点）

C を通り AE に平行な直線を引き、辺 AB との交点を F とする。三角形 AFC は AF $=$ AC の二等辺三角形。平行線と線分の比で $B E : E C = B A : A F = A B : A C$

内角のときと同じく、平行線を引いて AC と同じ長さを AB の上に作る。

$A B = A C$ の三角形で、$\angle$A の外角の二等分線はどうなるか？

辺 BC と平行になり、直線 BC と交わらない

二等辺三角形の頂角の外角の二等分線は、底角と錯角が等しくなる。外分の比 $1 : 1$ の点が無いことと合っている。

$A B > A C$ の三角形で、$\angle$A の外角の二等分線と直線 BC の交点 E は、B と C のどちらの外側にあるか？

C の外側（B から見て C の先）

$B E : E C = A B : A C$ で $B E > E C$ 。E は B から遠い側、つまり短いほうの辺 AC の端 C の先にある。

練習問題

問 1　三角形 ABC で、 $A B = 6$ 、 $A C = 4$ 、 $B C = 5$ とする。$\angle$A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD と DC の長さを求めよ。

$B D = 3$ 、 $D C = 2$

方針　注目するのは、$\angle$A の二等分線が辺 BC を分ける点 D。角の二等分線は、向かいの辺を「角をはさむ 2 辺の比」に分けるので、まず比 $B D : D C$ を出し、次に BC の長さ $5$ をその比に分ける。

角の二等分線と辺の比の定理を三角形 ABC の $\angle$A に当てると、 $B D : D C = A B : A C$
長さを入れて簡単にすると、 $B D : D C = 6 : 4 = 3 : 2$
BC を $3 + 2 = 5$ 等分したうちの 3 つ分が BD なので、 $B D = 5 \times \frac{3}{5} = 3$
残りが DC なので、 $D C = 5 - 3 = 2$

ここで間違えやすい　比は角をはさむ 2 辺 AB、AC の比で、B の側の BD が AB に、C の側の DC が AC に対応する。 $B D : D C = A C : A B$ と逆にしない。

問 2　問 1 の三角形で、$\angle$A の外角の二等分線と直線 BC の交点を E とする。BE、CE の長さと、DE の長さを求めよ。

$B E = 15$ 、 $C E = 10$ 、 $D E = 12$

方針　注目するのは、$\angle$A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点 E。外角の二等分線は、辺 BC を $A B : A C$ に外分する。まず E が B と C のどちらの外側にあるかを決め、分からない長さ CE を $x$ とおいて比の式を解く。

外角の二等分線と辺の比の定理を三角形 ABC に当てると、 $B E : E C = A B : A C = 6 : 4 = 3 : 2$
$B E > E C$ なので、E は B から遠い側、つまり C の外側（B、C、E の順）にある。このとき $B E = B C + C E$ 。
$C E = x$ とおくと $B E = 5 + x$ なので、 $(5 + x) : x = 3 : 2$
内側どうし・外側どうしを掛けると、 $2 (5 + x) = 3 x$
展開すると $10 + 2 x = 3 x$ で、 $x = 10$ 。よって $C E = 10$
$B E = 5 + 10 = 15$
D は辺 BC 上、E は C の先にあるので、D、C、E の順に並ぶ。問 1 の $D C = 2$ を使って、 $D E = D C + C E = 2 + 10 = 12$

ここで間違えやすい　外分のときも、比の式に入るのは $B E : E C$ （B から E まで、E から C まで）。 $B C : C E = 3 : 2$ としてしまうと $C E = \frac{10}{3}$ になって誤り。

問 3　数直線上に 2 点 A( $- 2$ )、B( $6$ ) がある。線分 AB を $3 : 1$ に内分する点、 $3 : 1$ に外分する点、 $1 : 3$ に外分する点の座標を求めよ。

内分点 $4$ 、 $3 : 1$ の外分点 $10$ 、 $1 : 3$ の外分点 $- 6$

方針　数直線上の点なので、まず AB の長さを出し、内分は「A からどれだけ進むか」、外分は「どちら側にどれだけはみ出すか」を考える。外分点は、比の大きいほうの端の外側にくる。

AB の長さは $6 - (- 2) = 8$
【 $3 : 1$ の内分点 P】P は線分 AB 上で $A P : P B = 3 : 1$ 。AB を $3 + 1 = 4$ 等分した 3 つ分だけ A から進むので、 $A P = 8 \times \frac{3}{4} = 6$
P の座標は $- 2 + 6 = 4$
【 $3 : 1$ の外分点 Q】 $A Q : QB = 3 : 1$ で $A Q > QB$ なので、Q は B の外側（A、B、Q の順）にある。このとき $A B = A Q - QB$ で、比でいうと $3 - 1 = 2$ にあたる。
比の $2$ が長さ $8$ なので、比の $1$ にあたる QB の長さは $8 \div 2 = 4$
Q は B から右へ $4$ 進んだ点で、座標は $6 + 4 = 10$
【 $1 : 3$ の外分点 R】 $A R : R B = 1 : 3$ で $A R < R B$ なので、R は A の外側（R、A、B の順）にある。このとき $A B = R B - A R$ で、比でいうと $3 - 1 = 2$ にあたる。
比の $2$ が長さ $8$ なので、比の $1$ にあたる AR の長さは $8 \div 2 = 4$
R は A から左へ $4$ 進んだ点で、座標は $- 2 - 4 = - 6$

確かめ　Q について、 $A Q = 10 - (- 2) = 12$ 、 $QB = 10 - 6 = 4$ で、比は $12 : 4 = 3 : 1$ 。R について、 $A R = - 2 - (- 6) = 4$ 、 $R B = 6 - (- 6) = 12$ で、比は $4 : 12 = 1 : 3$ 。

問 4　三角形 ABC で、 $A B = 8$ 、 $A C = 5$ 、 $B C = 6$ とする。$\angle $A の二等分線と B C の交点を D 、$ \angle $A の外角の二等分線と直線 B C の交点を E とするとき、$ \angle$DAE の大きさと、DE の長さを求めよ。

$\angle$DAE $= 9 0^{\circ}$ 、 $D E = \frac{160}{13}$

方針　注目するのは、$\angle$A の内角の二等分線 AD と、外角の二等分線 AE。角は「内角と外角の和が $18 0^{\circ}$ 」から求める。長さは、D が BC を $A B : A C$ に内分し、E が同じ比に外分することから求め、DE を「D から C まで」と「C から E まで」に分けて足す。

【$\angle $D A E 】$ \angle$A の内角を $2 α$ 、外角を $2 β$ とおくと、内角と外角の和は一直線の角なので $2 α + 2 β = 18 0^{\circ}$
AD は内角を、AE は外角を 2 等分するので、$\angle$DAE $= α + β$
手順 1 の両辺を 2 で割ると $α + β = 9 0^{\circ}$ 。よって $\angle$DAE $= 9 0^{\circ}$
【DC】角の二等分線と辺の比の定理から、 $B D : D C = A B : A C = 8 : 5$ 。BC を $8 + 5 = 13$ 等分した 8 つ分が BD、5 つ分が DC なので、 $B D = 6 \times \frac{8}{13} = \frac{48}{13}$ 、 $D C = 6 \times \frac{5}{13} = \frac{30}{13}$
【CE】外角の二等分線と辺の比の定理から、 $B E : E C = A B : A C = 8 : 5$ 。 $B E > E C$ なので E は C の外側（B、C、E の順）にあり、 $B E = B C + C E$ 。
$C E = x$ とおくと $B E = 6 + x$ なので、 $(6 + x) : x = 8 : 5$
内側どうし・外側どうしを掛けると、 $5 (6 + x) = 8 x$
展開すると $30 + 5 x = 8 x$ で、 $3 x = 30$ から $x = 10$ 。よって $C E = 10$
【DE】D、C、E の順に並ぶので、 $D E = D C + C E = \frac{30}{13} + 10$
通分して足すと、 $\frac{30}{13} + \frac{130}{13} = \frac{160}{13}$

ここで間違えやすい　DE に足すのは DC（ $\frac{30}{13}$ ）で、BD（ $\frac{48}{13}$ ）ではない。D、C、E の並びを確かめてから足す。