独立な試行と反復試行｜高校数学A

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (エ)「独立な試行の意味を理解し，独立な試行の確率を求めること」。

0. どういうまとまりか

さいころを投げてから硬貨を投げる、のように 2 つの試行をするとき、一方の結果がもう一方の起こりやすさに影響しなければ、確率は掛け算で求まります。
同じ試行を何回も繰り返す反復試行は、その特別な場合です。

場面	確率
独立な試行 $S$ 、 $T$ で、 $S$ で $A$ 、 $T$ で $B$ が起こる	$P (A) \times P (B)$
1 回で確率 $p$ の事象が、 $n$ 回の反復試行でちょうど $r$ 回起こる	$_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$
$n$ 回目でちょうど終わる（ $n$ 回目に $r$ 回目が起こる）	「 $n - 1$ 回で $r - 1$ 回」×「 $n$ 回目に起こる」

分かれ目は次の 3 つ。

掛けてよいのは独立な試行のとき。前の結果で中身が変わる（取り出した玉を戻さない）なら独立ではない
反復試行の $_{n} C_{r}$ は、 $n$ 回のうちどの $r$ 回で起こるかの選び方
「 $r$ 回目で終わる」「先に 3 勝する」は、最後の 1 回を切り離し、それまでを反復試行で数える

1. 独立な試行

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(エ)

2 つの試行の結果が互いに影響を与えないとき、それらは独立な試行であるといいます。独立な試行では、それぞれの確率を掛ければよくなります。

2 つの試行が独立であるとは、どういうことか？

一方の試行の結果が、もう一方の試行の結果の起こり方に影響を与えないこと

さいころを投げる試行と硬貨を投げる試行は独立。1 回目に取り出した玉を戻さずに 2 回目を取り出すと、2 回目の袋の中身が変わるので独立ではない。

独立な試行 $S$ 、 $T$ で、 $S$ で事象 $A$ が起こり、かつ $T$ で事象 $B$ が起こる確率は？

$P (A) \times P (B)$

3 つ以上の独立な試行でも、それぞれの確率を掛ければよい。

袋から玉を 1 個取り出し、色を見て袋に戻してからもう 1 個取り出す。この 2 回の取り出しは独立な試行か？

独立な試行である

戻すので、2 回目の袋の中身は 1 回目の結果によらず同じ。戻さない場合は 2 回目の中身が変わり、独立ではない（→ 条件付き確率と乗法定理で扱う）。

命中率 $\frac{2}{3}$ の A と命中率 $\frac{3}{4}$ の B が 1 回ずつ独立に的をねらうとき、「ちょうど 1 人が当てる」確率はどう組み立てるか？

「A だけ当てる」と「B だけ当てる」に分け（互いに排反）、それぞれを独立な試行の積で求めて足す

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ 。外れる確率は 1 から引いて出す。

2. 反復試行の確率

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(エ)

同じ試行を繰り返し行うとき、各回の試行は独立な試行です。これを反復試行といいます。

1 回の試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする。この試行を $n$ 回繰り返すとき、 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は？

$_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$

$A$ が $r$ 回、起こらないのが $n - r$ 回。起こらない確率は $1 - p$ 。

反復試行の確率 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ で、 $_{n} C_{r}$ は何を数えているか？

$n$ 回のうち、 $A$ が起こる $r$ 回がどの回になるかの選び方

たとえば「1 回目と 3 回目に起こる」と「2 回目と 5 回目に起こる」は互いに排反で、どれも確率は $p^{r} (1 - p)^{n - r}$ で同じ。だから個数を掛ける。

さいころを 4 回投げて 1 の目がちょうど 2 回出る確率を、 $(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ としたときに抜けているものは？

1 の目が出る 2 回をどの回にするかの $_{4} C_{2} = 6$ 通り

$(\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2}$ は「1 回目と 2 回目に 1、3 回目と 4 回目は 1 以外」のような 1 つの並び方の確率にすぎない。

3. 終わり方が決まっている型

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(エ)

「 $n$ 回目に初めて〜」「先に 3 勝したほうが優勝」のように、最後の 1 回が決まっている問題では、最後の回を別にして考えます。

硬貨を投げ続けて「5 回目にちょうど 3 回目の表が出る」確率の組み立て方は？

「4 回目までに表がちょうど 2 回」の反復試行の確率 × 「5 回目が表」の確率

$_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$ 。5 回全体で $_{5} C_{3}$ を使うと、5 回目が裏の場合まで数えてしまう。

A と B が試合を繰り返し、先に 3 勝したほうを優勝とする（引き分けなし）。A が 5 試合目で優勝する場合は、どう分けて数えるか？

「4 試合目までに A が 2 勝 2 敗」×「5 試合目に A が勝つ」

5 試合目の前に A が 3 勝していたら、そこで優勝が決まって 5 試合目は行われない。だから最後の試合を切り離して、それまでの勝ち数を固定する。

数直線上の点が、硬貨を投げて表なら $+ 2$ 、裏なら $- 1$ 動く。 $n$ 回投げたあとの位置の確率を求める手順は？

表の回数を $h$ として、位置を $h$ の式で表し、位置から $h$ を決めてから反復試行の確率を使う

$n$ 回で表 $h$ 回なら位置は $2 h - (n - h) = 3 h - n$ 。どの位置でも、決まるのは「表が何回か」だけ。

練習問題

問 1　硬貨 1 枚とさいころ 1 個を投げるとき、硬貨が表で、さいころの目が 5 以上である確率を求めよ。

$\frac{1}{6}$

方針　硬貨を投げることと、さいころを投げることは、互いの結果に影響しない（独立な試行）。独立なら、「硬貨が表」と「さいころが 5 以上」がともに起こる確率は、それぞれの確率の積になる。

硬貨が表になる確率は $\frac{1}{2}$
さいころの 5 以上の目は 5、6 の 2 通りなので、確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
2 つの試行は独立なので、掛けて $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

確かめ（全事象を数える）：硬貨とさいころの出方は $2 \times 6 = 12$ 通り。あてはまるのは、表と 5、表と 6 の 2 通りで、 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ 。一致する。

問 2　さいころを 5 回投げるとき、1 の目がちょうど 2 回出る確率を求めよ。

$\frac{625}{3888}$

方針　同じ試行を 5 回繰り返し、各回は独立。各回の結果を「1 の目が出る」「出ない」の 2 つに分ければ、反復試行の確率 $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ が使える。ここでは $n = 5$ 、 $r = 2$ 、 $p = \frac{1}{6}$ 。

1 回投げて 1 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 、出ない確率は $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
5 回のうち、1 の目が出る 2 回の選び方は $_{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。
そのうちの 1 つ（たとえば 1・2 回目に 1 の目、残り 3 回はそれ以外）が起こる確率は、各回が独立なので $(\frac{1}{6})^{2} \times (\frac{5}{6})^{3} = \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{125}{7776}$
10 通りは互いに排反で、どれも同じ確率なので、 $10 \times \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776}$
分母と分子を 2 で割って、 $\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$

ここで間違えやすい　 $_{5} C_{2}$ を掛け忘れない。また、1 の目が「出ない」3 回分の $(\frac{5}{6})^{3}$ も要る。

問 3　硬貨を投げ続けるとき、5 回目にちょうど 3 回目の表が出る確率を求めよ。

$\frac{3}{16}$

方針　「5 回目にちょうど 3 回目の表が出る」は、「4 回目までに表がちょうど 2 回」かつ「5 回目が表」と言いかえられる。前半は反復試行の確率で求め、5 回目は前の 4 回と独立なので、その確率を掛ける。

4 回のうち、表が出る 2 回の選び方は $_{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。
4 回目までに表がちょうど 2 回（裏も 2 回）出る確率は $_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
5 回目に表が出る確率は $\frac{1}{2}$
掛けて $\frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$

ここで間違えやすい　「5 回のうち表が 3 回」の $_{5} C_{3} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{10}{32}$ としない。これには、3 回目の表が 3 回目や 4 回目に出てしまう場合も入っている。5 回目は表と決まっているので、選び方を数えるのは 4 回目まで。

問 4　A と B が試合を繰り返し、先に 3 勝したほうを優勝とする。1 試合で A が勝つ確率は $\frac{2}{3}$ で、引き分けはない。A が優勝する確率を求めよ。

$\frac{64}{81}$

方針　A が優勝するのは、A が 3 勝目をあげた試合で終わるとき。それが 3 試合目・4 試合目・5 試合目のどれかで場合に分ける（同時には起こらないので排反で、確率は足せる）。どの場合も「最後の試合は A の勝ち」と決まっているので、反復試行の確率を使うのはその前の試合まで。各試合は独立で、A が負ける確率は $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ 。

3 試合目で優勝するのは、3 連勝のとき。 $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$
4 試合目で優勝するのは、3 試合目までに 2 勝 1 敗で、4 試合目に勝つとき。3 試合目までが 2 勝 1 敗になる確率は $_{3} C_{1} (\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
これに 4 試合目に勝つ確率を掛けて、 $\frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$
5 試合目で優勝するのは、4 試合目までに 2 勝 2 敗で、5 試合目に勝つとき。4 試合目までが 2 勝 2 敗になる確率は $_{4} C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{2} = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$
これに 5 試合目に勝つ確率を掛けて、 $\frac{8}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$
3 つの場合は排反なので足す。分母を 81 にそろえると $\frac{8}{27} = \frac{24}{81}$ なので、 $\frac{24}{81} + \frac{24}{81} + \frac{16}{81} = \frac{64}{81}$

確かめ：B が優勝する確率を同じように求めると $\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$ で、 $\frac{64}{81} + \frac{17}{81} = 1$ になる。

ここで間違えやすい　「5 試合のうち A が 3 勝」の $_{5} C_{3}$ でまとめて数えない。どちらかが 3 勝した時点で試合は終わるので、たとえば A が 3 連勝したあとの 4・5 試合目は行われない。

問 5　数直線上の原点に点 P がある。硬貨を投げて、表なら P を正の向きに 2 だけ、裏なら負の向きに 1 だけ動かす。硬貨を 6 回投げたあと、P が座標 3 の点にある確率を求めよ。

$\frac{5}{16}$

方針　P の位置は、表と裏が出た順番には関係なく、表が出た回数だけで決まる。表の回数を $h$ とおいて座標を式で表し、座標が 3 になる $h$ を求めてから、「6 回のうち表がちょうど $h$ 回」の反復試行の確率を計算する。

表が $h$ 回なら、裏は $6 - h$ 回。
正の向きに $2 h$ 、負の向きに $6 - h$ 動くので、座標は $2 h - (6 - h) = 2 h - 6 + h = 3 h - 6$
座標が 3 になるのは $3 h - 6 = 3$ のとき。 $3 h = 9$ から、 $h = 3$
6 回のうち、表が出る 3 回の選び方は $_{6} C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。
表がちょうど 3 回（裏も 3 回）出る確率は $_{6} C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{3} = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$