条件付き確率と乗法定理｜高校数学A

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (オ)「条件付き確率の意味を理解し，簡単な場合について条件付き確率を求めること」。

0. どういうまとまりか

「 $A$ が起こったと分かっているとき、 $B$ が起こる確率」は、全事象のかわりに $A$ を全体とみて求めます。これが条件付き確率です。
式を変形すると、積事象の確率を「先に起こること」と「そのあとに起こること」の積で出す確率の乗法定理になります。

求めるもの	式	全体（分母）にするもの
確率 $P (B)$	$\frac{n ( B )}{n ( U )}$	全事象 $U$
条件付き確率 $P_{A} (B)$	$\frac{n ( A \cap B )}{n ( A )} = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$	事象 $A$
積事象の確率 $P (A \cap B)$	$P (A) P_{A} (B)$ （乗法定理）

分かれ目は次の 3 つ。

条件付き確率は、分母を全事象から「条件の事象」に取りかえる
$P_{A} (B)$ と $P_{B} (A)$ は別物。「何が起こったと分かっているか」が条件（添字）の側
「結果から原因を求める」問題も、分母は分かっている結果の起こる確率全体。表や樹形図で場合を分けてから割る

1. 条件付き確率

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(オ)

事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を、 $A$ が起こったときの $B$ が起こる条件付き確率といい、 $P_{A} (B)$ で表します。

条件付き確率 $P_{A} (B)$ とは何か？また、どう求めるか？

事象 $A$ が起こったときに、事象 $B$ が起こる確率。 $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

根元事象が同様に確からしいときは、 $P_{A} (B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )}$ と数えてもよい。

条件付き確率 $P_{A} (B)$ を求めるとき、全事象 $U$ のかわりに何を全体とみるか？

事象 $A$

$A$ が起こったと分かった時点で、 $A$ の外の結果はもう起こり得ない。 $A$ の中で、 $B$ でもあるもの（ $A \cap B$ ）の割合を求める。

$P_{A} (B)$ と $P (A \cap B)$ の違いは？

$P_{A} (B)$ は $A$ を全体としたときの $A \cap B$ の割合。 $P (A \cap B)$ は全事象を全体としたときの $A \cap B$ の割合

分子の事象は同じ $A \cap B$ で、分母が $A$ か全事象かだけが違う。

男子 22 人・女子 18 人のクラスで、眼鏡をかけているのは男子 8 人・女子 6 人。 $P_{女子} (眼鏡)$ と $P_{眼鏡} (女子)$ はどう違うか？

$P_{女子} (眼鏡) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ （女子の中で眼鏡の割合）、 $P_{眼鏡} (女子) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ （眼鏡の人の中で女子の割合）

分子はどちらも「女子で眼鏡」の 6 人。分母が条件の側（女子 18 人か、眼鏡 14 人か）になる。

2. 確率の乗法定理

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(オ)

条件付き確率の式の分母を払うと、積事象の確率を求める式になります。これを確率の乗法定理といいます。

確率の乗法定理とは？

$P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$

「 $A$ が起こる確率」×「 $A$ が起こったときに $B$ が起こる確率」。条件付き確率の式 $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ の分母を払った形。

取り出した玉を戻さずに 2 回続けて取り出す確率を、乗法定理でどう求めるか？

1 回目の確率 × 1 回目の結果のもとでの 2 回目の条件付き確率

赤 3 個・白 2 個から続けて 2 個取り出して 2 個とも赤なら、 $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ 。2 回目は袋が 4 個・赤 2 個に変わっている。

独立な試行の確率の積 $P (A) P (B)$ と、乗法定理 $P (A) P_{A} (B)$ の関係は？

$A$ の結果が $B$ の起こり方に影響しないとき $P_{A} (B) = P (B)$ になり、乗法定理が独立な試行の積の形になる

戻す取り出しでは $P_{A} (B) = P (B)$ 、戻さない取り出しでは $P_{A} (B)$ を条件ごとに求める。

3. くじ引きの公平性

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(オ)

当たりくじを含むくじを、引いたくじを戻さずに順に引くとき、先に引くほうが有利に見えます。乗法定理で確かめると、そうはなりません。

当たり 3 本を含む 10 本のくじを、A、B の順に 1 本ずつ引く（引いたくじは戻さない）。B が当たる確率は？

$\frac{3}{10}$ （A が当たる確率と同じ）

A が当たって B も当たる: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$ 。A が外れて B が当たる: $\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$ 。この 2 つは排反で、和は $\frac{27}{90} = \frac{3}{10}$ 。

戻さないくじ引きで、引く順番によって当たる確率は変わるか？

変わらない（何番目に引いても、当たる確率ははじめの当たりの割合に等しい）

前の人の結果が分からない限り、どの順番も同じ。前の人の結果が分かったあとの確率（条件付き確率）は変わる。

4. 原因の確率

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(オ)

「検査で陽性と出た人が、実際に病気である確率」のように、起こった結果から、その原因が何だったかの確率を求めることがあります。これも条件付き確率で、表や樹形図で場合を分けると整理できます。

「検査で陽性だった人が病気である確率」を条件付き確率で書くと？また、分母は何か？

$P_{陽性} (病気) = \frac{P ( 病気 \cap 陽性 )}{P ( 陽性 )}$ 。分母は「病気で陽性」と「病気でないのに陽性」を合わせた、陽性になる確率全体

$P (陽性)$ は、病気の人と病気でない人に分け、それぞれ乗法定理で出して足す。

病気の人の 90% が陽性になる検査で、陽性の人が病気である確率が 90% にならないのはなぜか？

90% は $P_{病気} (陽性)$ で、求めたいのは $P_{陽性} (病気)$ だから。病気でない人が多いと、その中の誤った陽性が陽性全体の多くを占める

条件と結果を入れかえた条件付き確率は、一般に等しくならない。

練習問題

問 1　大小 2 個のさいころを投げる。目の和が 10 以上であったとき、2 個の目が同じである条件付き確率を求めよ。

$\frac{1}{3}$

方針　「和が 10 以上であったとき」という条件が付いているので、全体を 36 通りではなく「和が 10 以上の出方」だけに絞り直す。その中で、2 個の目が同じものの割合を求める。

和が 10 以上になる出方を、和ごとに書き出す。和 10 は (4, 6)、(5, 5)、(6, 4)、和 11 は (5, 6)、(6, 5)、和 12 は (6, 6)。合わせて $3 + 2 + 1 = 6$ 通り。
このうち 2 個の目が同じなのは (5, 5)、(6, 6) の 2 通り。
条件付き確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

確かめ（確率の式で）： $A$ を「和が 10 以上」、 $B$ を「目が同じ」とすると、 $P (A) = \frac{6}{36}$ 、 $P (A \cap B) = \frac{2}{36}$ 。 $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ に入れると $\frac{2}{36} \div \frac{6}{36} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ で、一致する。

ここで間違えやすい　分母を 36 にしない。 $\frac{2}{36}$ は「和が 10 以上で、かつ目が同じ」確率で、条件付き確率ではない。

問 2　当たり 3 本を含む 10 本のくじを、A、B の順に 1 本ずつ引く。引いたくじは戻さない。A が外れて B が当たる確率を求めよ。

$\frac{7}{30}$

方針　求めるのは「A が外れ、かつ B が当たる」確率。くじを戻さないので、B が引くときの本数は A の結果で変わる（独立ではない）。そこで乗法定理を使い、「A が外れる確率」に「A が外れたときに B が当たる条件付き確率」を掛ける。

外れは $10 - 3 = 7$ 本なので、A が外れる確率は $\frac{7}{10}$
A が外れたあと、残りは 9 本で、当たりは 3 本のまま。B が当たる条件付き確率は $\frac{3}{9}$
乗法定理で、 $\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$

ここで間違えやすい　B の分母を 10 のままにしない。戻さないので、くじは 1 本減っている。

問 3　箱 A には赤玉 2 個と白玉 3 個、箱 B には赤玉 4 個と白玉 1 個が入っている。硬貨を投げて表なら箱 A、裏なら箱 B を選び、選んだ箱から玉を 1 個取り出す。取り出した玉が赤玉であったとき、それが箱 A から取り出されたものである確率を求めよ。

$\frac{1}{3}$

方針　「赤玉であった」という結果が分かったうえで、原因（どちらの箱だったか）の確率を求める条件付き確率。「赤玉が出る確率」を分母に、「箱 A を選び、かつ赤玉が出る確率」を分子にする。分母は、箱 A 経由と箱 B 経由の 2 つの場合（排反）を、それぞれ乗法定理で求めて足す。

箱 A を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$ 、箱 A から赤玉が出る確率は 5 個中 2 個で $\frac{2}{5}$ 。箱 A を選んで赤玉が出る確率は $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
箱 B を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$ 、箱 B から赤玉が出る確率は 5 個中 4 個で $\frac{4}{5}$ 。箱 B を選んで赤玉が出る確率は $\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
この 2 つは排反なので、赤玉が出る確率は $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
求める確率は、「箱 A を選んで赤玉」を「赤玉が出る」で割って $\frac{1}{5} \div \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

ここで間違えやすい　箱 A の中の赤玉の割合 $\frac{2}{5}$ や、箱 A を選ぶ確率 $\frac{1}{2}$ を答えにしない。赤玉は箱 B のほうが出やすいので、赤玉が出たと分かれば、箱 A だった見込みは $\frac{1}{2}$ より小さくなる。

問 4　ある病気にかかっている人は全体の 1% である。この病気の検査は、かかっている人では 90% の確率で陽性となり、かかっていない人でも 5% の確率で陽性となる。検査で陽性となった人が、実際にこの病気にかかっている確率を求めよ。

$\frac{2}{13}$

方針　「陽性であった」と分かったうえで「かかっている」確率を求める条件付き確率。分母の「陽性になる確率」は、「かかっていて陽性」と「かかっていないのに陽性」の 2 つの場合（排反）の和。それぞれを乗法定理で求め、そのうち「かかっていて陽性」が占める割合を出す。

かかっている確率は $\frac{1}{100}$ 、かかっていない確率は $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$
かかっていて陽性になる確率は $\frac{1}{100} \times \frac{90}{100} = \frac{90}{10000} = \frac{18}{2000}$
かかっていないのに陽性になる確率は $\frac{99}{100} \times \frac{5}{100} = \frac{495}{10000} = \frac{99}{2000}$
この 2 つは排反なので、陽性になる確率は $\frac{18}{2000} + \frac{99}{2000} = \frac{117}{2000}$
求める確率は、「かかっていて陽性」を「陽性」で割って $\frac{18}{2000} \div \frac{117}{2000} = \frac{18}{117} = \frac{2}{13}$ （約 15%）

	陽性	陰性	計
かかっている	18	2	20
かかっていない	99	1881	1980
計	117	1883	2000

2000 人いるとして表にすると、陽性 117 人のうち、かかっているのは 18 人だけと分かる。

ここで間違えやすい　検査の正しさの 90% を答えにしない。90% は「かかっている人が陽性になる」確率で、求めるのは「陽性の人がかかっている」確率（条件と結果が逆）。かかっていない人が圧倒的に多いので、その 5% だけでも、かかっている人の陽性より多くなる。

問 5　赤玉 4 個と白玉 2 個が入った袋から、玉を 1 個ずつ 2 回取り出す。取り出した玉は戻さない。1 回目が白玉で 2 回目が赤玉である確率と、2 回目が赤玉である確率を求めよ。

1 回目が白で 2 回目が赤: $\frac{4}{15}$ 。2 回目が赤: $\frac{2}{3}$

方針　玉を戻さないので、2 回目の確率は 1 回目の結果で変わる。「1 回目が白で 2 回目が赤」は乗法定理で求める。「2 回目が赤」は、1 回目が白の場合と赤の場合に分け（排反）、それぞれを乗法定理で求めて足す。

1 回目が白の確率は、6 個中 2 個で $\frac{2}{6}$ 。そのあと残り 5 個のうち赤は 4 個なので、2 回目が赤の条件付き確率は $\frac{4}{5}$
1 回目が白で 2 回目が赤の確率は $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$
1 回目が赤の確率は、6 個中 4 個で $\frac{4}{6}$ 。そのあと残り 5 個のうち赤は 3 個なので、2 回目も赤の条件付き確率は $\frac{3}{5}$
1 回目が赤で 2 回目も赤の確率は $\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$
2 回目が赤の確率は、この 2 つの和。 $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ と通分して、 $\frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

2 回目が赤の確率は、1 回目に赤を引く確率 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ と同じになる。