期待値｜高校数学A — みならいノート

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (ウ)「確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率や期待値を求めること」のうち、期待値。

0. どういうまとまりか

くじの賞金やゲームの得点のように、結果によって値が変わるとき、1 回あたり平均してどれだけ見込めるかを表すのが期待値です。
それぞれの値にその値をとる確率を掛けて、全部を足します。

値	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{n}$	計
確率	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$	1

期待値は $x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$ 。

分かれ目は次の 3 つ。

表を作り、確率の合計が 1 になることを確かめてから掛けて足す（場合の落ちに気づける）
期待値は 1 回ごとに必ず出る値ではなく、何回も繰り返したときの平均的な見込み
有利・不利は、期待値どうし（または期待値と参加費）を比べて決める

1. 期待値の定義

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

ある試行の結果によって値 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、…、 $x_{n}$ のどれか 1 つをとり、それぞれの値をとる確率が $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、…、 $p_{n}$ であるとします。

値 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、…、 $x_{n}$ をとる確率が $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、…、 $p_{n}$ のとき、期待値の定義は？

$x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$ （値 × その値をとる確率の和）

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ になっていることを先に確かめる。

期待値を求めるとき、値と確率の表を作ってまず確かめることは？

確率の合計が 1 になっているか

1 にならなければ、場合の落ちか二重数えがある。値が 0 の場合も、表からは落とさない（掛けて 0 になるだけ）。

さいころを 1 回投げて出る目の期待値は？

$\frac{7}{2}$

$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ 。期待値は、実際には出ない値（3.5）になることもある。

硬貨 3 枚を投げて表の出る枚数の期待値を求めるとき、値と確率の表はどうなるか？

0 枚: $\frac{1}{8}$ 、1 枚: $\frac{3}{8}$ 、2 枚: $\frac{3}{8}$ 、3 枚: $\frac{1}{8}$

期待値は $0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ 。

2. 期待値の意味

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

期待値は「平均的に見込まれる値」です。同じ試行を何回も繰り返すと、得られる値の平均は期待値に近づいていきます。

期待値とは、どんな値を表しているか？

同じ試行を多数回繰り返したときに、1 回あたり平均的に見込まれる値

1 回やれば必ずその値になる、という意味ではない。

賞金の期待値が 45 円のくじを 1 回引くと、45 円もらえるか？

もらえるとは限らない

1 回ごとの賞金は 0 円や 1000 円などのどれか。多数回引いたときの 1 回あたりの平均が 45 円に近づく、という意味。

くじ 100 本のうち、1000 円が 1 本、500 円が 4 本、100 円が 15 本、残りは 0 円。賞金の期待値が「全部の賞金の合計 ÷ くじの本数」と一致するのはなぜか？

どのくじも同じ確率 $\frac{1}{100}$ で引かれるので、値 × 確率の和が、100 本の賞金の平均と同じ計算になるから

$1000 \times \frac{1}{100} + 500 \times \frac{4}{100} + 100 \times \frac{15}{100} = \frac{4500}{100} = 45$ で 45 円。

3. 有利・不利の判断

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

参加費がかかるゲームや、どちらを選ぶか迷う 2 つのくじでは、期待値を比べると、平均的にどちらが得かを判断できます。

参加費 $a$ 円のくじで、賞金の期待値が $E$ 円のとき、有利か不利かの判断は？

$E > a$ なら有利、 $E < a$ なら不利（平均的に見て）

「もらえる額 − 参加費」の期待値の符号で見ても同じ。

2 つのゲームのどちらに参加するかを、期待値で決めるときに比べるものは？

それぞれのゲームで得られる値（得点や、賞金から参加費を引いた額）の期待値

比べる値の基準をそろえる。一方は賞金だけ、もう一方は参加費を引いた額、と混ぜると判断を誤る。

「得られる金額」がマイナス（支払い）になる場合も、期待値の表に入れてよいか？

入れる。支払いは負の値として、確率を掛けて足す

たとえば「当たれば 600 円もらい、外れれば 100 円払う」なら、値は $600$ と $- 100$ 。

練習問題

問 1　さいころを 1 回投げ、出た目の 100 倍の金額（円）をもらえるとする。もらえる金額の期待値を求めよ。

350 円

方針　期待値は「とる値 × その値をとる確率」をすべて足したもの。もらえる金額は出た目によって 100 円から 600 円の 6 通りで、どの目も確率 $\frac{1}{6}$ で出る。

金額とその確率を表にする（下の表）。確率の合計は $\frac{1}{6} \times 6 = 1$
期待値は、金額と確率を掛けて足した $100 \times \frac{1}{6} + 200 \times \frac{1}{6} + 300 \times \frac{1}{6} + 400 \times \frac{1}{6} + 500 \times \frac{1}{6} + 600 \times \frac{1}{6}$
共通の $\frac{1}{6}$ でくくると、 $(100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600) \times \frac{1}{6} = 2100 \times \frac{1}{6} = 350$
よって、期待値は 350 円。

出た目	1	2	3	4	5	6	計
金額（円）	100	200	300	400	500	600
確率	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$1$

問 2　くじが 100 本あり、1 等 1000 円が 1 本、2 等 500 円が 4 本、3 等 100 円が 15 本で、残りは外れ（0 円）である。このくじを 1 回 50 円で引けるとき、引くのは有利か不利か。

不利（賞金の期待値は 45 円で、50 円より小さい）

方針　有利か不利かは、1 回引いて得られる賞金の期待値と、引くのに払う 50 円を比べて決める。期待値は「賞金 × その確率」の合計。外れ（0 円）も 1 つの場合として本数を出し、確率の合計が 1 になることを確かめる。

外れの本数は $100 - (1 + 4 + 15) = 100 - 20 = 80$ 本。
賞金とその確率を表にする（下の表）。確率は「本数 ÷ 100」。
期待値は $1000 \times \frac{1}{100} + 500 \times \frac{4}{100} + 100 \times \frac{15}{100} + 0 \times \frac{80}{100} = 10 + 20 + 15 + 0 = 45$
賞金の期待値 45 円は、払う 50 円より小さい。1 回あたり平均で $50 - 45 = 5$ 円の損になるので、不利。

賞金（円）	1000	500	100	0	計
本数	1	4	15	80	100
確率	$\frac{1}{100}$	$\frac{4}{100}$	$\frac{15}{100}$	$\frac{80}{100}$	$1$

確率の合計は $\frac{1 + 4 + 15 + 80}{100} = 1$ で、落ちはない。

問 3　大小 2 個のさいころを投げ、2 個の目が同じなら 600 円もらい、そうでなければ 100 円を払う。1 回あたりに得られる金額の期待値を求め、このゲームが有利か不利かを答えよ。

$\frac{50}{3}$ 円（約 17 円）で、有利

方針　得られる金額は「600 円もらう」か「100 円払う」の 2 通り。払う金額は負の数 $- 100$ として扱う。それぞれの確率を、大小 2 個を区別した 36 通りの目の出方から求め、「金額 × 確率」を足す。期待値が正なら有利、負なら不利。

全事象は $6 \times 6 = 36$ 通り。目が同じになるのは (1, 1) から (6, 6) までの 6 通りなので、確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
目が同じでないのはその余事象なので、確率は $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
期待値は $600 \times \frac{1}{6} + (- 100) \times \frac{5}{6} = 100 - \frac{500}{6} = 100 - \frac{250}{3}$
通分して、 $\frac{300}{3} - \frac{250}{3} = \frac{50}{3}$
$\frac{50}{3} ≒ 16.7$ で正なので、平均的には 1 回あたり約 17 円の得になる。よって有利。

ここで間違えやすい　払う 100 円を $+ 100$ のまま足さない。得られる金額としては $- 100$ 円。

問 4　赤玉 3 個と白玉 2 個が入った袋から、2 個を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数の期待値を求めよ。

$\frac{6}{5}$ 個

方針　赤玉の個数は 0 個・1 個・2 個のどれか。5 個を区別して 2 個を選ぶ組合せを全事象にとり、それぞれの個数になる確率を求めてから、「個数 × 確率」を足す。

全事象は $_{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。
赤 0 個（白 2 個）は、白 2 個から 2 個を選ぶ $_{2} C_{2} = 1$ 通りで、確率は $\frac{1}{10}$
赤 1 個（赤 1 個と白 1 個）は、赤の選び方 3 通りと白の選び方 2 通りで $3 \times 2 = 6$ 通り。確率は $\frac{6}{10}$
赤 2 個は、赤 3 個から 2 個を選ぶ $_{3} C_{2} = 3$ 通りで、確率は $\frac{3}{10}$
確率の合計は $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ で、落ちはない。
期待値は $0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{0 + 6 + 6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

赤玉の個数	0	1	2	計
確率	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$	$1$