排反と余事象｜高校数学A — みならいノート

学習指導要領数学A (2) 場合の数と確率ア (ウ)「確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率や期待値を求めること」のうち、確率の基本的な法則（加法定理と余事象の確率）。

0. どういうまとまりか

複雑な事象の確率は、そのまま数えずに、簡単な事象に分けて足すか、起こらない側を求めて 1 から引くと楽になります。
そのための道具が、積事象・和事象、排反、余事象です。

事象	記号	意味	確率
積事象	$A \cap B$	$A$ と $B$ がともに起こる
和事象	$A \cup B$	$A$ または $B$ が起こる	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
排反な 2 つの事象の和事象	$A \cup B$ （ $A \cap B = \emptyset$ ）	同時には起こらない $A$ 、 $B$ のどちらか	$P (A) + P (B)$
余事象	$A$	$A$ が起こらない	$1 - P (A)$

分かれ目は次の 3 つ。

足してよいのは排反なときだけ。重なりがあるなら、重なりの確率を 1 回引く
「少なくとも 1 つ」「〜でない」は余事象で、起こらない側を求めて 1 から引く
事象を分けるときは、分けた事象どうしが排反になるように分ける（数え落としも二重数えも起きない）

1. 積事象と和事象

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

事象は全事象の部分集合なので、集合の共通部分と和集合がそのまま事象の「かつ」と「または」になります。

積事象 $A \cap B$ と和事象 $A \cup B$ は、それぞれどんな事象か？

積事象 $A \cap B$ : $A$ と $B$ がともに起こる事象。和事象 $A \cup B$ : $A$ または $B$ が起こる事象

「または」は、 $A$ と $B$ の両方が起こる場合も含む。

2. 排反事象と加法定理

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

2 つの事象が同時には起こらないとき、それらは互いに排反であるといいます。排反なら、和事象の確率は足すだけで求まります。

2 つの事象 $A$ 、 $B$ が互いに排反であるとは、どういうことか？

$A$ と $B$ が決して同時には起こらないこと。つまり $A \cap B = \emptyset$

さいころ 1 個で「1 の目が出る」と「偶数の目が出る」は排反。「偶数の目が出る」と「3 の倍数の目が出る」は 6 の目で同時に起こるので排反でない。

事象 $A$ 、 $B$ が互いに排反であるとき、 $P (A \cup B)$ は？（確率の加法定理）

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

3 つ以上でも、どの 2 つも排反なら、確率をそのまま足せる。

袋から玉を取り出して「2 個が同じ色」の確率を求めるとき、「2 個とも赤」「2 個とも白」の確率を足してよいのはなぜか？

「2 個とも赤」と「2 個とも白」は同時には起こらない、つまり互いに排反だから

排反な事象に分けてから足す、が確率の加法定理の使い方の基本形。

3. 一般の和事象の確率

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

排反でないときに $P (A) + P (B)$ とすると、 $A \cap B$ の部分を 2 回数えてしまいます。集合の要素の個数の式 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ を $n (U)$ で割ると、確率の式になります。

事象 $A$ 、 $B$ が排反とは限らないとき、 $P (A \cup B)$ は？

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$A \cap B$ を 2 回足しているので 1 回引く。排反なら $P (A \cap B) = 0$ で、加法定理の形に戻る。

1 から 20 までの数から 1 つ選ぶとき「3 の倍数または 4 の倍数」の確率で、 $P (3 の倍数) + P (4 の倍数)$ だけでは何が足りないか？

両方に入る 12 の倍数の確率を引いていない

12 の倍数（12）は 3 の倍数にも 4 の倍数にも数えられているので、 $P (A \cap B)$ として 1 回引く。

4. 余事象の確率

根拠: 学習指導要領数学A-(2)-ア-(ウ)

事象 $A$ に対して「 $A$ が起こらない」という事象を $A$ の余事象といい、 $A$ で表します。 $A$ と $A$ は互いに排反で、合わせると全事象になります。

事象 $A$ の余事象 $A$ とは何か？また、その確率は？

$A$ が起こらないという事象。 $P (A) = 1 - P (A)$

$A$ と $A$ は排反で $A \cup A = U$ なので、 $P (A) + P (A) = 1$ 。

「少なくとも 1 個は〜」という事象の確率を求めるときの定石は？

余事象「1 個も〜でない」の確率を求め、1 から引く

「少なくとも 1 個」を直接求めると 1 個・2 個・3 個…と場合が増えるが、余事象は 1 つの場合で済む。

「さいころ 2 個を投げて、少なくとも 1 個は 6 の目」の余事象は何か？

「2 個とも 6 以外の目」

「2 個とも 6 の目」ではない。「少なくとも 1 個は〜」の否定は「1 個も〜でない（すべて〜でない）」。確率は $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ 。

「目の積が偶数」の確率を余事象で求めるとき、余事象は何か？

「目の積が奇数」、つまり「すべての目が奇数」

積が奇数になるのは、掛ける数がすべて奇数のときだけ。1 つでも偶数があれば積は偶数なので、「少なくとも 1 つが偶数」と同じ事象になる。

練習問題

問 1　1 から 20 までの整数を 1 つずつ書いた 20 枚のカードから 1 枚を引く。引いた数が 3 の倍数または 4 の倍数である確率を求めよ。

$\frac{1}{2}$

方針　全事象は、20 枚のどれを引くかの 20 通り。「3 の倍数」と「4 の倍数」は、12 のように両方にあてはまる数があるので排反ではない。そのまま足すと重なりを 2 回数えてしまうので、和事象の確率 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ を使う。

$A$ を「3 の倍数を引く」、 $B$ を「4 の倍数を引く」とする。
3 の倍数は 3, 6, 9, 12, 15, 18 の 6 枚なので、 $P (A) = \frac{6}{20}$
4 の倍数は 4, 8, 12, 16, 20 の 5 枚なので、 $P (B) = \frac{5}{20}$
両方にあてはまるのは 12 の倍数で、12 の 1 枚だけなので、 $P (A \cap B) = \frac{1}{20}$
$P (A \cup B) = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

問 2　赤玉 3 個、白玉 2 個、青玉 1 個が入った袋から、2 個を同時に取り出す。2 個が同じ色である確率を求めよ。

$\frac{4}{15}$

方針　全事象は、6 個を区別して 2 個を選ぶ組合せ。「同じ色」を色ごとの事象に分けると、それらは同時には起こらない（排反）ので、それぞれの確率を足せばよい。

全事象は $_{6} C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。
「2 個とも赤」は、赤 3 個から 2 個を選んで $_{3} C_{2} = 3$ 通り。確率は $\frac{3}{15}$
「2 個とも白」は、白 2 個から 2 個を選んで $_{2} C_{2} = 1$ 通り。確率は $\frac{1}{15}$
青は 1 個しかないので、「2 個とも青」は起こらない。
「2 個とも赤」と「2 個とも白」は排反なので、確率を足して $\frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}$

問 3　さいころを 3 回投げるとき、少なくとも 1 回は 6 の目が出る確率を求めよ。

$\frac{91}{216}$

方針　「少なくとも 1 回」は、6 の目が 1 回だけ・2 回だけ・3 回ともの場合に分かれて数えにくい。余事象「1 回も出ない（3 回とも 6 以外の目）」は 1 つの場合で済むので、その確率を 1 から引く。全事象は 3 回の目の出方すべて。

全事象は、各回 6 通りずつなので $6^{3} = 216$ 通り。
余事象「3 回とも 6 以外の目」は、各回 5 通りずつなので $5^{3} = 125$ 通り。
余事象の確率は $\frac{125}{216}$
求める確率は $1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$

ここで間違えやすい　 $\frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$ としない。「1 回目に 6 が出る」「2 回目に 6 が出る」「3 回目に 6 が出る」は同時に起こりうる（排反ではない）ので、そのまま足せない。

問 4　大小 2 個のさいころを投げるとき、出る目の積が偶数になる確率を求めよ。

$\frac{3}{4}$

方針　積が偶数になるのは「少なくとも 1 個が偶数の目」のときで、場合が多い。余事象「積が奇数」は「2 個とも奇数の目」の 1 つの場合だけなので、そちらを数えて 1 から引く。全事象は大小 2 個を区別した 36 通り。

全事象は $6 \times 6 = 36$ 通り。
積が奇数になるのは、2 個とも奇数の目（1、3、5）のときだけ。大が 3 通り、小が 3 通りで $3 \times 3 = 9$ 通り。
余事象の確率は $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
求める確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

確かめ（直接数える）：大だけ偶数、小だけ偶数、両方偶数がそれぞれ $3 \times 3 = 9$ 通りで、合わせて $9 + 9 + 9 = 27$ 通り。 $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ で一致する。

問 5　赤玉 5 個と白玉 4 個が入った袋から、3 個を同時に取り出す。少なくとも 1 個が白玉である確率を求めよ。

$\frac{37}{42}$

方針　全事象は、9 個を区別して 3 個を選ぶ組合せ。「少なくとも 1 個が白」は白が 1 個・2 個・3 個の 3 つの場合に分かれるが、余事象「白が 1 個もない（3 個とも赤）」は 1 つの場合で済むので、余事象を使う。

全事象は $_{9} C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。
余事象「3 個とも赤」は、赤 5 個から 3 個を選んで $_{5} C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通り。
余事象の確率は $\frac{10}{84}$
求める確率は $1 - \frac{10}{84} = \frac{84 - 10}{84} = \frac{74}{84} = \frac{37}{42}$

確かめ（直接数える）：白 1 個と赤 2 個は $4 \times 10 = 40$ 通り、白 2 個と赤 1 個は $6 \times 5 = 30$ 通り、白 3 個は 4 通り。合わせて $40 + 30 + 4 = 74$ 通りで、一致する。