高次導関数といろいろな曲線の導関数

学習指導要領 数学Ⅲ (2) 微分法 ア (イ)「合成関数の導関数について理解し，それを求めること。」。このノートは、合成関数の微分を使って、$y=f(x)$ の形に書かれていない曲線（方程式で表された曲線・媒介変数で表された曲線）の $\frac{dy}{dx}$ を求めます。はじめの節では、ア (エ) のグラフの凹凸で使う第二次導関数の書き方を先に押さえます。

0. どういうまとまりか

ここまでは $y=f(x)$ を 1 回微分するだけでした。このノートでは、2 つの方向に広げます。
1 つは導関数をもう一度微分すること（第二次導関数、第 $n$ 次導関数）。もう 1 つは、円 $x^2+y^2=1$ のように
$y=f(x)$ の形に直さないまま $\frac{dy}{dx}$ を求めることです。後者は、方程式で表された曲線でも媒介変数で表された曲線でも、合成関数の微分が土台になります。

分かれ目は次の 3 つ。

• 方程式の両辺を $x$ で微分するとき、$y$ を含む項には $\frac{dy}{dx}$ がつく（$\frac{d}{dx}{y}^2$ は $2y$ ではなく $2y\frac{dy}{dx}$）
• 媒介変数の $\frac{dy}{dx}$ は、$y$ を $t$ で微分したものが分子。上下を逆にしない
• 媒介変数の $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ は、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で微分して $\frac{dx}{dt}$ で割る。$t$ で 2 回微分したものどうしの比ではない

1. 第二次導関数と第 n 次導関数

根拠: 学習指導要領 数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

導関数 $f^{\prime }(x)$ も $x$ の関数なので、微分可能ならもう一度微分できます。これを第二次導関数といい、グラフの凹凸を調べるときに使います。
さらに微分をくり返したものを、まとめて高次導関数といいます。

関数 $y=f(x)$ の第二次導関数とは何か。また、どんな記号で表すか？

導関数 $f^{\prime }(x)$ をもう一度微分して得られる関数。$y^{\prime \prime }$、$f^{\prime \prime }(x)$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$、$\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)$ と書く

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ は、分子は $d$ に 2、分母は $x$ に 2 がつく。

関数 $y=f(x)$ を $n$ 回微分して得られる第 $n$ 次導関数は、どんな記号で表すか？

$y^{(n)}$、$f^{(n)}(x)$、$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

回数をかっこに入れて右肩に書く。かっこが無い $y^n$ は $y$ の $n$ 乗の意味になるので区別する。

$y=\sin x$ の第 $n$ 次導関数は？

$y^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

1 回微分するごとに $\cos x$、$-\sin x$、$-\cos x$、$\sin x$ と 4 回で元にもどる。$\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ なので、1 回の微分は角に $\frac{\pi }{2}$ を足すことと同じ。

$a$ を定数とするとき、$y=e^{ax}$ の第 $n$ 次導関数は？

$y^{(n)}=a^n{e}^{ax}$

1 回微分するごとに $a$ が 1 つかかる。$y^{\prime }=a{e}^{ax}$、$y^{\prime \prime }=a^2{e}^{ax}$。

2. 方程式 $F(x,y)=0$ で表された関数

根拠: 学習指導要領 数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

円 $x^2+y^2=1$ は、$y$ について解くと $y=\sqrt{1-x^2}$ と $y=-\sqrt{1-x^2}$ の 2 つの関数に分かれます。
解かずに、$y$ を $x$ の関数とみて方程式の両辺をそのまま $x$ で微分すると、どちらにも通用する $\frac{dy}{dx}$ の式が 1 回で得られます。
$y$ の式を $x$ で微分するところが合成関数の微分で、$\frac{d}{dx}f(y)=f^{\prime }(y)\frac{dy}{dx}$ となります。

方程式 $F(x,y)=0$ で表された関数の $\frac{dy}{dx}$ を求める手順は？

$y$ を $x$ の関数とみて、方程式の両辺を $x$ で微分し、$\frac{dy}{dx}$ について解く

$y$ を含む項は合成関数の微分で、$y$ で微分したものに $\frac{dy}{dx}$ をかける。答えは $x$ と $y$ の両方を含む式でよい。

$y$ が $x$ の関数であるとき、$\frac{d}{dx}{y}^2$ は？

$2y\frac{dy}{dx}$

$y^2$ を $y$ で微分した $2y$ に、$\frac{dy}{dx}$ をかける。$2y$ で止めない。

円 $x^2+y^2=r^2$ について、$\frac{dy}{dx}$ は？

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$（$y\ne 0$）

両辺を $x$ で微分すると $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$。右辺の定数 $r^2$ は微分すると 0。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ について、$\frac{dy}{dx}$ は？

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$（$y\ne 0$）

両辺を $x$ で微分すると $\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}=0$。

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ について、$\frac{dy}{dx}$ は？

$\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$（$y\ne 0$）

両辺を $x$ で微分すると $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\cdot \frac{dy}{dx}=0$。楕円のときと符号が逆になる。

3. 媒介変数で表された関数

根拠: 学習指導要領 数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

曲線上の点の座標 $(x,y)$ を、1 つの変数 $t$ を使って $x=f(t)$、$y=g(t)$ の形に表したものを、曲線の媒介変数表示といい、$t$ を媒介変数といいます（数学Cの内容）。
$y$ は $t$ を通して $x$ の関数になっているので、合成関数の微分 $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$ から $\frac{dy}{dx}$ が求められます。

$x=f(t)$、$y=g(t)$ と媒介変数で表された関数について、$\frac{dy}{dx}$ は？

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$（$\frac{dx}{dt}\ne 0$ のとき）

$y$ を $t$ で微分したものが分子、$x$ を $t$ で微分したものが分母。答えは $t$ の式でよい。

媒介変数 $t$ で表された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式で求めたあと、第二次導関数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ はどう求めるか？

$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で微分して、$\frac{dx}{dt}$ で割る。$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dy}{dx}$ を新しい「$y$」とみて、もう一度同じ公式を使っている。

媒介変数 $t$ で表された関数について、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d^{2}y/d{t}^2}{d^{2}x/d{t}^2}$ としてよいか？

いけない

$x=t^2$、$y=t^3$（$t>0$）では、$\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}$ で、正しくは $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{2}÷2t=\frac{3}{4t}$。誤った式だと $\frac{6t}{2}$ で $3t$ になり、合わない。

練習問題

問 1　関数 $y=e^{-x}\sin x$ の第二次導関数を求めよ。

$y^{\prime \prime }=-2e^{-x}\cos x$

方針　積の導関数を 2 回使う。1 回目の結果を $e^{-x}$ でくくっておくと、2 回目も同じ形の積になって計算しやすい。

1. $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ なので、$y^{\prime }=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x$
2. $e^{-x}$ でくくる。$y^{\prime }=e^{-x}(\cos x-\sin x)$
3. もう一度、積の導関数を使う。$(\cos x-\sin x{)}^{\prime }=-\sin x-\cos x$ なので、$y^{\prime \prime }=-e^{-x}(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x)$
4. $e^{-x}$ でくくる。$y^{\prime \prime }=e^{-x}(-\cos x+\sin x-\sin x-\cos x)$
5. かっこの中をまとめて、$y^{\prime \prime }=-2e^{-x}\cos x$

問 2　関数 $y=x{e}^x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

$y^{(n)}=(x+n)e^x$

方針　第 $n$ 次導関数は、まず 1 回、2 回、3 回と微分して形の規則を見つけて推測する。推測した式が次の回でも同じ形になることを確かめれば、すべての $n$ で成り立つといえる。

1. 1 回微分する。$y^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x$
2. 2 回目。$y^{\prime \prime }=1\cdot e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$
3. 3 回目。$y^{\prime \prime \prime }=1\cdot e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$
4. 微分するたびに、かっこの中の定数が 1 ずつ増えている。よって $y^{(n)}=(x+n)e^x$ と推測できる
5. 確かめる。$y^{(k)}=(x+k)e^x$ とすると、$y^{(k+1)}=1\cdot e^x+(x+k)e^x=(x+k+1)e^x$ で、次の回も同じ形になる。$n=1$ のときは手順 1 で成り立っているので、すべての自然数 $n$ で成り立つ（数学的帰納法）

問 3　楕円 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$、$y$ で表せ。また、楕円上の点 $(2,1)$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}$。点 $(2,1)$ では $-\frac{1}{2}$

方針　$y$ について解かずに、$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分する。$y^2$ の微分は合成関数の微分で $2y\frac{dy}{dx}$ になる。

1. 両辺を $x$ で微分する。$\frac{2x}{8}+\frac{2y}{2}\cdot \frac{dy}{dx}=0$
2. 約分する。$\frac{x}{4}+y\frac{dy}{dx}=0$
3. $y\ne 0$ のとき、$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}$
4. 点 $(2,1)$ が楕円上にあることを確かめる。$\frac{4}{8}+\frac{1}{2}=1$
5. $x=2$、$y=1$ を代入して、$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{4\times 1}=-\frac{1}{2}$

問 4　方程式 $x^2-xy+y^2=3$ で表された曲線について、$\frac{dy}{dx}$ を $x$、$y$ で表せ。また、曲線上の点 $(1,-1)$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}$。点 $(1,-1)$ では 1

方針　$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分する。$xy$ は $x$ と $y$ の積なので積の導関数を使い、$y^2$ は合成関数の微分を使う。

1. $xy$ を微分する。$\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y+x\cdot \frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}$
2. 両辺を $x$ で微分する。$2x-\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$
3. $\frac{dy}{dx}$ を含む項をまとめる。$(2y-x)\frac{dy}{dx}=y-2x$
4. $x\ne 2y$ のとき、$\frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x}=\frac{2x-y}{x-2y}$
5. 点 $(1,-1)$ が曲線上にあることを確かめる。$x^2$ が 1、$-xy$ が 1、$y^2$ が 1 なので、$1+1+1=3$
6. $x=1$、$y=-1$ を代入する。分子は $2+1$、分母は $1+2$ なので、$\frac{dy}{dx}=\frac{2+1}{1+2}=1$

ここで間違えやすい　$xy$ を微分して $y$ だけ、または $\frac{dy}{dx}$ だけにしない。$x$ も $y$ も変わるので、積の導関数で 2 つの項が出る。

問 5　媒介変数 $t$ を用いて $x=3\cos t$、$y=2\sin t$ と表された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2\cos t}{3\sin t}$（$\sin t\ne 0$）

方針　$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分して、$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ に入れる。

1. $x$ を $t$ で微分する。$\frac{dx}{dt}=-3\sin t$
2. $y$ を $t$ で微分する。$\frac{dy}{dt}=2\cos t$
3. $\sin t\ne 0$ のとき、$\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos t}{-3\sin t}=-\frac{2\cos t}{3\sin t}$

ここで間違えやすい　分子と分母を逆にして $-\frac{3\sin t}{2\cos t}$ としない。式に書かれている順（$x$ が先）ではなく、$y$ の微分が分子。

:::fold
問 6　媒介変数 $t$ を用いて $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0<t<2\pi$）と表された関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を $t$ で表せ。
?
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{(1-\cos t{)}^2}$

方針　$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ で求める。$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ は、求めた $\frac{dy}{dx}$（$t$ の式）を $t$ で微分して、もう一度 $\frac{dx}{dt}$ で割る。$0<t<2\pi$ では $\cos t<1$ なので、$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$ は 0 にならない。

1. $t$ で微分する。$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$\frac{dy}{dt}=\sin t$
2. よって $\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$
3. これを $t$ で微分する。商の導関数から、$\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot \sin t}{(1-\cos t{)}^2}$
4. 分子を整理する。$\cos t-{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=\cos t-1$
5. 約分する。$\frac{\cos t-1}{(1-\cos t{)}^2}=-\frac{1}{1-\cos t}$
6. $\frac{dx}{dt}=1-\cos t$ で割って、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{1-\cos t}\cdot \frac{1}{1-\cos t}=-\frac{1}{(1-\cos t{)}^2}$:::