対数関数と指数関数の導関数｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (ウ)「三角関数，指数関数及び対数関数の導関数について理解し，それらを求めること。」。このノートは、そのうち対数関数と指数関数の導関数を、新しい定数 $e$ の定義から組み立て、対数微分法までを扱います。

0. どういうまとまりか

対数関数 $lo g_{a} x$ を定義に従って微分しようとすると、 $(1 + h)^{\frac{1}{h}}$ の $h \to 0$ での極限が出てきます。この極限値を $e$ と書き、
$e$ を底とする対数（自然対数）を使うと、導関数がいちばん簡単な形になります。数学Ⅲでは、底を省いた $lo g x$ は自然対数を表します。
指数関数は対数関数の逆関数なので、指数関数の導関数は対数関数の導関数から出てきます。

関数	導関数	条件
$lo g x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$lo g ∣ x ∣$	$\frac{1}{x}$	$x \neq = 0$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x l o g a}$	$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 、 $x > 0$
$lo g ∣ f (x)∣$	$\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$	$f (x) \neq = 0$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} lo g a$	$a > 0$ 、 $a \neq = 1$
$x^{α}$	$α x^{α - 1}$	$α$ は実数、 $x > 0$

分かれ目は次の 3 つ。

底が $e$ でないときは $lo g a$ がつく。対数関数では分母に、指数関数ではかけ算で
$x^{n}$ （指数が定数）と $a^{x}$ （底が定数）は別の公式。底にも指数にも $x$ がある $x^{x}$ は、どちらの公式も使えないので対数微分法
対数をとるときは、真数が正でなければならない。負の値もとる式は絶対値をつけてから対数をとる

1. $e$ と自然対数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

$\frac{l o g _{a} ( x + h ) - l o g _{a} x}{h} = \frac{1}{x} lo g_{a} (1 + \frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}$ と変形できます。 $\frac{h}{x} = k$ とおくと、 $h \to 0$ のとき $k \to 0$ で、中身は $(1 + k)^{\frac{1}{k}}$ です。
この極限値が $e$ で、底 $a$ を $e$ にすれば $lo g_{e} e = 1$ となって、導関数が $\frac{1}{x}$ だけになります。

定数 $e$ の定義（極限の式）は？

$e = lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}$

$h = \frac{1}{n}$ とおけば $e = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$ とも書ける。値は $2.718 \dots$ で、無理数。

自然対数とは何か？

$e$ を底とする対数 $lo g_{e} x$

数学Ⅲでは底の $e$ を省いて $lo g x$ と書く。 $lo g e = 1$ 、 $lo g 1 = 0$ 。

2. 対数関数の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

底が $e$ でないときは、底の変換公式 $lo g_{a} x = \frac{l o g x}{l o g a}$ で自然対数に直します。 $lo g ∣ x ∣$ は、 $x < 0$ のとき $lo g (- x)$ で、
合成関数の微分から $\frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ となるので、 $x$ の正負によらず同じ式になります。

$(lo g x)^{'}$ は？

$\frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）

$lo g x$ は自然対数。真数は正なので、定義域は $x > 0$ 。

$(lo g ∣ x ∣)^{'}$ は？

$\frac{1}{x}$ （ $x \neq = 0$ ）

絶対値がついても導関数の形は変わらない（ $\frac{1}{∣ x ∣}$ ではない）。 $x < 0$ のときは ${lo g (- x)}^{'} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ 。

$(lo g_{a} x)^{'}$ は？（ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）

$\frac{1}{x l o g a}$

$lo g_{a} x = \frac{l o g x}{l o g a}$ と自然対数に直して微分する。分母に $lo g a$ がつく。

${lo g ∣ f (x)∣}^{'}$ は？（ $f (x) \neq = 0$ ）

$\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$

合成関数の微分。 $\frac{1}{f ( x )}$ に内側の導関数 $f^{'} (x)$ をかける。 ${lo g (x^{2} + 1)}^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ 。

3. 指数関数の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

$y = e^{x}$ は $x = lo g y$ と同じことです。逆関数の微分法から $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$ の逆数をとって $\frac{d y}{d x} = y = e^{x}$ となります。
底が $a$ のときは $a^{x} = e^{x l o g a}$ と書き直して、合成関数の微分を使います。

$(e^{x})^{'}$ は？

$e^{x}$

微分しても変わらない。 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ の形をまねて $x e^{x - 1}$ としない。

$(a^{x})^{'}$ は？（ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）

$a^{x} lo g a$

$a^{x} = e^{x l o g a}$ とみて合成関数の微分を使う。 $lo g a$ がかけ算でつく。 $a = e$ なら $lo g e = 1$ で $(e^{x})^{'} = e^{x}$ にもどる。

${e^{f (x)}}^{'}$ は？

$f^{'} (x) e^{f (x)}$

外側の $e^{u}$ は微分しても $e^{u}$ のまま。それに内側の導関数をかける。 $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ 、 $(e^{- x^{2}})^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ 。

4. 対数微分法

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

積・商・累乗がからんだ式や、 $x^{x}$ のように底にも指数にも $x$ がある式は、両辺の対数をとると和・差・定数倍に分かれて、微分しやすくなります。
$y$ は $x$ の関数なので、 $lo g ∣ y ∣$ を $x$ で微分すると $\frac{y ^{'}}{y}$ になります。

対数微分法の手順は？

両辺の絶対値の自然対数をとり、両辺を $x$ で微分して $\frac{y ^{'}}{y} = \dots$ の形にし、両辺に $y$ をかけて $y^{'}$ を求める

左辺は $(lo g ∣ y ∣)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$ 。 $y > 0$ が分かっているときは絶対値は要らない。

$α$ が実数のとき、 $(x^{α})^{'}$ は？（ $x > 0$ ）

$α x^{α - 1}$

$y = x^{α}$ の両辺の対数をとると $lo g y = α lo g x$ 。微分して $\frac{y ^{'}}{y} = \frac{α}{x}$ なので、 $y^{'} = \frac{α}{x} \cdot x^{α}$ 。指数が無理数でも同じ形の公式になる。

5. $e$ にからむ極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

次の 2 つの極限は、 $e$ の定義から出ます。 $lo g x$ の $x = 1$ における微分係数、 $e^{x}$ の $x = 0$ における微分係数とみても、同じ値になります。

$lim_{x \to 0} \frac{l o g ( 1 + x )}{x}$ の値は？

$\frac{l o g ( 1 + x )}{x} = lo g (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ で、中身が $e$ に近づくので $lo g e = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x}$ の値は？

$f (x) = e^{x}$ とすると $\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}$ の形で、 $f^{'} (0) = e^{0}$ に等しい。

練習問題

問 1　関数 $y = lo g (x^{2} + 1)$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

方針　 $u = x^{2} + 1$ とおくと $y = lo g u$ の合成関数。 ${lo g f (x)}^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ を使う。 $x^{2} + 1$ は常に正なので、すべての実数 $x$ で定義される。

内側を微分する。 $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
公式に入れる。 $y^{'} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

問 2　関数 $y = x^{2} e^{- x}$ を微分せよ。

$y^{'} = x (2 - x) e^{- x}$

方針　 $x^{2}$ と $e^{- x}$ の積なので、積の導関数を使う。 $e^{- x}$ は内側が $- x$ の合成関数なので、微分するとマイナスがつく。

$e^{- x}$ を微分する。 $(e^{- x})^{'} = e^{- x} \cdot (- x)^{'} = - e^{- x}$
積の導関数に入れる。 $y^{'} = 2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$
$e^{- x}$ でくくる。 $y^{'} = (2 x - x^{2}) e^{- x}$
因数分解して、 $y^{'} = x (2 - x) e^{- x}$

問 3　関数 $y = lo g (x + x^{2} + 1)$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$

方針　 ${lo g f (x)}^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ で $f (x) = x + x^{2} + 1$ とする。 $f^{'} (x)$ を通分すると分子に $f (x)$ と同じ式が現れて、約分できる。 $x^{2} + 1 > ∣ x ∣$ なので真数は常に正。

$x^{2} + 1$ を微分する。 ${g (x)}^{'} = \frac{g ^{'} ( x )}{2 g ( x )}$ から、 $\frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$
真数を微分する。 $f^{'} (x) = 1 + \frac{x}{x ^{2} + 1}$
通分する。 $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 1 + x}{x ^{2} + 1}$
公式に入れる。 $y^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} = \frac{x ^{2} + 1 + x}{x ^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x + x ^{2} + 1}$
$x + x^{2} + 1$ を約分して、 $y^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$

問 4　関数 $y = x^{x}$ （ $x > 0$ ）を微分せよ。

$y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

方針　底にも指数にも $x$ があるので、 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ も $(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ も使えない。両辺の自然対数をとって指数を前に下ろしてから微分する（対数微分法）。 $x > 0$ なので $y > 0$ で、絶対値は要らない。

両辺の自然対数をとる。 $lo g y = lo g x^{x} = x lo g x$
左辺を $x$ で微分する。 $y$ は $x$ の関数なので、 $(lo g y)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$
右辺を積の導関数で微分する。 $(x lo g x)^{'} = 1 \cdot lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = lo g x + 1$
よって $\frac{y ^{'}}{y} = lo g x + 1$
両辺に $y = x^{x}$ をかけて、 $y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

ここで間違えやすい　 $x \cdot x^{x - 1} = x^{x}$ としたり、 $x^{x} lo g x$ としたりしない。前者は指数を定数とみた誤り、後者は底を定数とみた誤りで、正しい答えはこの 2 つの和になっている。

問 5　関数 $y = \frac{( x + 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}$ を、対数微分法で微分せよ。

$y^{'} = \frac{( x + 1 ) ^{2} ( x - 5 )}{( x - 1 ) ^{3}}$

方針　累乗の商なので、対数をとると「3 倍の対数」と「2 倍の対数」の差に分かれる。 $x + 1$ も $x - 1$ も負になりうるので、両辺の絶対値の対数をとる。

両辺の絶対値の自然対数をとる。 $lo g ∣ y ∣ = 3 lo g ∣ x + 1 ∣ - 2 lo g ∣ x - 1 ∣$
両辺を $x$ で微分する。 $\frac{y ^{'}}{y} = \frac{3}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$
右辺を通分する。分子は $3 (x - 1) - 2 (x + 1) = x - 5$ なので、 $\frac{y ^{'}}{y} = \frac{x - 5}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$
両辺に $y$ をかける。 $y^{'} = \frac{x - 5}{( x + 1 ) ( x - 1 )} \cdot \frac{( x + 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}$
$x + 1$ を 1 つ約分して、 $y^{'} = \frac{( x + 1 ) ^{2} ( x - 5 )}{( x - 1 ) ^{3}}$

ここで間違えやすい　手順 1 で絶対値をつけずに $lo g y = 3 lo g (x + 1) - 2 lo g (x - 1)$ と書くと、 $x < 1$ では真数が負になって式が意味をもたない。

問 6　次の極限値を求めよ。　(1) $lim_{x \to 0} (1 + 2 x)^{\frac{1}{x}}$ 　　(2) $lim_{x \to 0} \frac{e ^{3 x} - 1}{x}$

(1) $e^{2}$ 　(2) 3

方針　(1) は $e$ の定義 $lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e$ の形を作る。かっこの中の $2 x$ を $h$ とおき、指数も $h$ で表す。(2) は $lim_{t \to 0} \frac{e ^{t} - 1}{t} = 1$ の形を作る。指数の $3 x$ と分母をそろえる。

(1) $2 x = h$ とおくと、 $x \to 0$ のとき $h \to 0$ で、 $\frac{1}{x} = \frac{2}{h}$
指数を分ける。 $(1 + 2 x)^{\frac{1}{x}} = (1 + h)^{\frac{2}{h}} = {(1 + h)^{\frac{1}{h}}}^{2}$
中かっこの中が $e$ に近づくので、極限値は $e^{2}$
(2) $3 x = t$ とおくと、 $x \to 0$ のとき $t \to 0$ で、 $x = \frac{t}{3}$
置きかえる。 $\frac{e ^{3 x} - 1}{x} = \frac{e ^{t} - 1}{\frac{t}{3}} = 3 \cdot \frac{e ^{t} - 1}{t}$
$\frac{e ^{t} - 1}{t}$ が 1 に近づくので、極限値は 3

対数関数と指数関数の導関数

0. どういうまとまりか

1. e と自然対数

2. 対数関数の導関数

3. 指数関数の導関数

4. 対数微分法

5. e にからむ極限

練習問題

1. $e$ と自然対数

5. $e$ にからむ極限