三角関数の導関数｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (ウ)「三角関数，指数関数及び対数関数の導関数について理解し，それらを求めること。」。このノートは、そのうち三角関数 $sin x$ 、 $cos x$ 、 $tan x$ の導関数と、合成関数の微分との組み合わせを扱います。

0. どういうまとまりか

三角関数の導関数は、3 つの公式を覚えれば、あとは積・商・合成関数の微分と組み合わせるだけです。
$sin x$ の導関数は、加法定理と極限 $lim_{h \to 0} \frac{s i n h}{h} = 1$ から導きます。 $cos x$ と $tan x$ は、 $sin x$ の結果から出てきます。

関数	導関数
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$\frac{1}{c o s ^{2} x}$
$\frac{1}{t a n x}$	$- \frac{1}{s i n ^{2} x}$
$sin (a x + b)$	$a cos (a x + b)$
$cos (a x + b)$	$- a sin (a x + b)$

分かれ目は次の 3 つ。

$cos x$ の導関数にはマイナスがつく。 $sin x$ の導関数にはつかない
$sin 2 x$ や $sin^{2} x$ は合成関数。内側の導関数（ $2$ や $cos x$ ）をかけ忘れない
公式が成り立つのは、角を弧度法で表したときだけ

1. $sin x$ と $cos x$ の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

加法定理から $sin (x + h) - sin x = sin x (cos h - 1) + cos x sin h$ です。 $h$ で割ると $sin x \cdot \frac{c o s h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{s i n h}{h}$ となります。
$h \to 0$ のとき $\frac{s i n h}{h}$ は 1 に、 $\frac{c o s h - 1}{h} = - \frac{s i n h}{h} \cdot \frac{s i n h}{c o s h + 1}$ は 0 に近づくので、 $cos x$ が残ります。
$cos x$ のほうは、 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ とみて合成関数の微分を使うと、 $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ になります。

$(sin x)^{'}$ は？

$cos x$

符号はそのまま。

$(cos x)^{'}$ は？

$- sin x$

マイナスがつく。 $cos x$ は $0 < x < π$ で減少するので、導関数は負になる、と確かめられる。

$(sin x)^{'} = cos x$ を導関数の定義から導くときに使う、2 つの道具は？

加法定理（ $sin (x + h) = sin x cos h + cos x sin h$ ）と、極限 $lim_{h \to 0} \frac{s i n h}{h} = 1$

$\frac{s i n ( x + h ) - s i n x}{h} = sin x \cdot \frac{c o s h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{s i n h}{h}$ と分け、 $\frac{c o s h - 1}{h}$ が 0 に近づくことを使う。

$(sin x)^{'} = cos x$ などの公式が成り立つのは、角 $x$ をどの単位で表したときか？

弧度法（ラジアン）

$lim_{h \to 0} \frac{s i n h}{h} = 1$ が弧度法でしか成り立たないから。度数法だとこの極限は $\frac{π}{180}$ になり、公式に余計な定数がつく。

2. $tan x$ の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

$tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ なので、商の導関数を使えば $sin x$ と $cos x$ の導関数から求められます。 $cos x = 0$ となる $x$ は定義域に入りません。

$(tan x)^{'}$ は？

$\frac{1}{c o s ^{2} x}$

$tan x$ は定義されるところで常に増加するので、導関数は常に正。

$(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ は、何を使ってどう導くか？

$tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ に商の導関数を使う

分子は $cos x \cdot cos x - sin x \cdot (- sin x) = cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ 、分母は $cos^{2} x$ 。

$(tan x)^{'}$ を、 $tan x$ を使って表すと？

$1 + tan^{2} x$

相互関係 $1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ から。積分でも使う形。

$(\frac{1}{t a n x})^{'}$ は？

$- \frac{1}{s i n ^{2} x}$

$\frac{1}{t a n x} = \frac{c o s x}{s i n x}$ に商の導関数を使う。分子は $- sin^{2} x - cos^{2} x = - 1$ 。 $tan x$ のときと、符号も分母も入れかわる。

3. 合成関数と組み合わせる

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ウ)

$sin 2 x$ は「 $2 x$ の $sin$ 」、 $sin^{2} x$ は「 $sin x$ の 2 乗」です。どちらが外側でどちらが内側かを見分けて、合成関数の微分を使います。

$a$ 、 $b$ を定数とするとき、 ${sin (a x + b)}^{'}$ は？

$a cos (a x + b)$

内側 $a x + b$ の導関数 $a$ をかける。 $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ 。

$a$ 、 $b$ を定数とするとき、 ${cos (a x + b)}^{'}$ は？

$- a sin (a x + b)$

マイナスと、内側の導関数 $a$ の両方がつく。 ${cos (3 x + 1)}^{'} = - 3 sin (3 x + 1)$ 。

$(sin^{2} x)^{'}$ は？

$2 sin x cos x$ （ $= sin 2 x$ ）

外側は 2 乗、内側は $sin x$ 。 $2 sin x$ に、内側の導関数 $cos x$ をかける。

$(tan^{2} x)^{'}$ は？

$\frac{2 t a n x}{c o s ^{2} x}$

外側は 2 乗、内側は $tan x$ 。 $2 tan x$ に、内側の導関数 $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ をかける。

練習問題

問 1　関数 $y = cos (3 x + 1)$ を微分せよ。

$y^{'} = - 3 sin (3 x + 1)$

方針　 $u = 3 x + 1$ とおくと $y = cos u$ の合成関数。外側の $cos u$ を微分して、内側の導関数をかける。

外側を微分する。 $(cos u)^{'} = - sin u$ なので、 $- sin (3 x + 1)$
内側を微分する。 $(3 x + 1)^{'} = 3$
かける。 $y^{'} = - sin (3 x + 1) \cdot 3 = - 3 sin (3 x + 1)$

問 2　関数 $y = sin^{2} 3 x$ を微分せよ。

$y^{'} = 6 sin 3 x cos 3 x$ （ $= 3 sin 6 x$ ）

方針　 $y = (sin 3 x)^{2}$ で、合成が 2 段になっている。いちばん外側は 2 乗、その内側が $sin 3 x$ 、さらにその内側が $3 x$ 。外側から順に微分してかけていく。

いちばん外側の 2 乗を微分する。 $2 sin 3 x$
その内側 $sin 3 x$ を微分する。 $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$
かける。 $y^{'} = 2 sin 3 x \cdot 3 cos 3 x = 6 sin 3 x cos 3 x$
2 倍角の公式 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ で $θ = 3 x$ とすると、 $y^{'} = 3 sin 6 x$

ここで間違えやすい　 $2 sin 3 x cos 3 x$ で止めない。 $sin 3 x$ の内側にある $3 x$ の導関数 3 もかける。

問 3　関数 $y = x^{2} cos x$ を微分せよ。

$y^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x$

方針　 $x^{2}$ と $cos x$ の積なので、積の導関数 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ を使う。

それぞれを微分する。 $(x^{2})^{'} = 2 x$ 、 $(cos x)^{'} = - sin x$
公式に入れる。 $y^{'} = 2 x \cdot cos x + x^{2} \cdot (- sin x)$
整理して、 $y^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x$

問 4　関数 $y = \frac{s i n x}{1 + c o s x}$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{1}{1 + c o s x}$

方針　分数の形なので商の導関数を使う。分子に $cos^{2} x + sin^{2} x$ が出てくるので、1 に置きかえて約分する。

分子と分母を微分する。 $(sin x)^{'} = cos x$ 、 $(1 + cos x)^{'} = - sin x$
公式に入れる。 $y^{'} = \frac{c o s x ( 1 + c o s x ) - s i n x \cdot ( - s i n x )}{( 1 + c o s x ) ^{2}}$
分子を展開する。 $cos x + cos^{2} x + sin^{2} x$
$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ なので、分子は $1 + cos x$
約分する。 $y^{'} = \frac{1 + c o s x}{( 1 + c o s x ) ^{2}} = \frac{1}{1 + c o s x}$

問 5　関数 $y = tan x - x$ を微分し、結果を $tan x$ だけで表せ。

$y^{'} = tan^{2} x$

方針　項ごとに微分する。 $(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ から 1 をひいた形になるので、通分して $sin x$ と $cos x$ の比にまとめる。

項ごとに微分する。 $y^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x} - 1$
通分する。 $y^{'} = \frac{1 - c o s ^{2} x}{c o s ^{2} x}$
$1 - cos^{2} x = sin^{2} x$ なので、 $y^{'} = \frac{s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x}$
$\frac{s i n x}{c o s x} = tan x$ なので、 $y^{'} = tan^{2} x$

問 6　極限値 $lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{s i n x - \frac{3}{2}}{x - \frac{π}{3}}$ を求めよ。

$\frac{1}{2}$

方針　 $\frac{3}{2} = sin \frac{π}{3}$ なので、式は $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ の形をしている（ $f (x) = sin x$ 、 $a = \frac{π}{3}$ ）。これは微分係数 $f^{'} (a)$ の定義そのものなので、導関数に代入するだけで求められる。

$f (x) = sin x$ とおくと、 $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$
与えられた式は $lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{f ( x ) - f ( \frac{π}{3} )}{x - \frac{π}{3}}$ で、これは $f^{'} (\frac{π}{3})$ に等しい
$f^{'} (x) = cos x$ なので、 $f^{'} (\frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$

三角関数の導関数

0. どういうまとまりか

1. sinx と cosx の導関数

2. tanx の導関数

3. 合成関数と組み合わせる

練習問題

1. $sin x$ と $cos x$ の導関数

2. $tan x$ の導関数