合成関数の導関数｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (イ)「合成関数の導関数について理解し，それを求めること。」。このノートは、関数の中に関数が入った形の微分と、そこから出てくる逆関数の微分法・ $x^{r}$ の導関数を扱います。

0. どういうまとまりか

$y = (2 x + 1)^{3}$ は、 $u = 2 x + 1$ と $y = u^{3}$ をつないだ合成関数です。合成関数は、外側の関数を微分したものに、内側の関数を微分したものをかけると微分できます。
この 1 つの公式から、 ${f (a x + b)}^{'}$ 、累乗の形、逆関数の微分法、指数が分数のときの $x^{r}$ の導関数がすべて出てきます。
以下、出てくる関数は微分可能とします。

形	導関数
$y = f (u)$ 、 $u = g (x)$	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
$f (g (x))$	$f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
$f (a x + b)$	$a f^{'} (a x + b)$
${g (x)}^{n}$	$n {g (x)}^{n - 1} g^{'} (x)$
逆関数（ $x$ が $y$ の式で表されている）	$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$
$x^{r}$ （ $r$ は有理数、 $x > 0$ ）	$r x^{r - 1}$

分かれ目は次の 3 つ。

内側の関数の導関数をかけ忘れない。 ${(2 x + 1)^{3}}^{'}$ は $3 (2 x + 1)^{2}$ ではなく $6 (2 x + 1)^{2}$
根号や分数の累乗は、 $x^{r}$ の形に書き直してから微分する
逆関数の微分法で $\frac{d x}{d y}$ に入れるのは、 $x$ の値ではなく、対応する $y$ の値

1. 合成関数の微分法

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

$x$ の増分 $Δ x$ に対する $u$ の増分を $Δ u$ 、 $y$ の増分を $Δ y$ とすると、 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}$ です。
$Δ x \to 0$ のとき $Δ u \to 0$ となるので、極限をとると公式になります。分数の約分のように見える形で覚えられます。

$y = f (u)$ 、 $u = g (x)$ がともに微分可能なとき、合成関数 $y = f (g (x))$ の導関数 $\frac{d y}{d x}$ を、 $\frac{d y}{d u}$ と $\frac{d u}{d x}$ で表すと？

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$y$ を $u$ で微分したものに、 $u$ を $x$ で微分したものをかける。

合成関数の導関数 ${f (g (x))}^{'}$ を、 $f^{'}$ と $g^{'}$ で表すと？

$f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

外側の関数を微分したもの（中身は $g (x)$ のまま）に、内側の関数を微分したものをかける。

${(2 x + 1)^{3}}^{'} = 3 (2 x + 1)^{2}$ は正しいか？

誤り。正しくは $3 (2 x + 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$

内側の $2 x + 1$ の導関数 2 をかけ忘れている。合成関数の微分でいちばん多い誤り。

2. よく使う形

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

内側が一次式のときと、外側が累乗のときは、公式として覚えておくと速く計算できます。

$a$ 、 $b$ を定数とするとき、 ${f (a x + b)}^{'}$ は？

$a f^{'} (a x + b)$

内側の $a x + b$ の導関数は $a$ 。 $x$ の係数が外に出る。

$n$ を整数とするとき、 ${(g (x))^{n}}^{'}$ は？

$n {g (x)}^{n - 1} g^{'} (x)$

外側の $u^{n}$ を微分して $n u^{n - 1}$ 、それに内側の導関数 $g^{'} (x)$ をかける。 $n$ は有理数でも成り立つ（ $g (x) > 0$ ）。

${g (x)}^{'}$ は？（ $g (x) > 0$ ）

$\frac{g ^{'} ( x )}{2 g ( x )}$

外側の $u$ の導関数 $\frac{1}{2 u}$ に、内側の導関数 $g^{'} (x)$ をかける。

3. 逆関数の微分法

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

微分可能な関数 $y = f (x)$ の逆関数を $y = g (x)$ とすると、 $y = g (x)$ は $x = f (y)$ と同じことです。
この両辺を $x$ で微分すると、右辺は合成関数の微分法から $\frac{d x}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ となり、 $1 = \frac{d x}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ が出ます。

逆関数の微分法の公式（ $\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d x}{d y}$ で表す式）は？

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ （ $\frac{d x}{d y} \neq = 0$ のとき）

$x$ が $y$ の式で表されているとき、 $x$ を $y$ で微分して逆数をとればよい。

$y = 3 x$ の導関数を逆関数の微分法で求めるとき、最初に何をするか？

$x = y^{3}$ と、 $x$ を $y$ の式で表す

$\frac{d x}{d y} = 3 y^{2}$ なので、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y ^{2}} = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$ （ $x \neq = 0$ ）。最後に $y$ を $x$ の式にもどす。

4. $x^{r}$ の導関数（ $r$ が有理数のとき）

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(イ)

$r = \frac{m}{n}$ （ $m$ は整数、 $n$ は自然数）のとき、 $y = x^{\frac{m}{n}}$ は $y^{n} = x^{m}$ と書けます。両辺を $x$ で微分すると $n y^{n - 1} \frac{d y}{d x} = m x^{m - 1}$ で、
これを整理すると $\frac{d y}{d x} = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} - 1}$ になります。整数のときと同じ形の公式が、指数が分数でも使えます。

$r$ が有理数のとき、 $(x^{r})^{'}$ は？（ $x > 0$ ）

$r x^{r - 1}$

整数のときと同じ形。根号は $n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}$ と書き直してから使う。

$(x)^{'}$ は？

$\frac{1}{2 x}$ （ $x > 0$ ）

$x = x^{\frac{1}{2}}$ なので、 $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ 。よく出るので結果を覚える。

$(3 x^{2})^{'}$ は？

$\frac{2}{3 3 x}$ （ $x \neq = 0$ ）

$x > 0$ のとき $3 x^{2} = x^{\frac{2}{3}}$ なので、 $\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$ 。 $x < 0$ でも同じ式になる。 $x = 0$ では微分可能でない。

$(\frac{1}{x})^{'}$ は？

$- \frac{1}{2 x x}$ （ $x > 0$ ）

$\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ なので、 $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ 。 $x^{\frac{3}{2}} = x x$ 。

練習問題

問 1　関数 $y = (3 x^{2} - 1)^{4}$ を微分せよ。

$y^{'} = 24 x (3 x^{2} - 1)^{3}$

方針　 $u = 3 x^{2} - 1$ とおくと $y = u^{4}$ で、合成関数になっている。外側 $u^{4}$ を微分して、内側 $3 x^{2} - 1$ の導関数をかける。

外側を微分する。 $(u^{4})^{'} = 4 u^{3}$ なので、 $4 (3 x^{2} - 1)^{3}$
内側を微分する。 $(3 x^{2} - 1)^{'} = 6 x$
かける。 $y^{'} = 4 (3 x^{2} - 1)^{3} \cdot 6 x = 24 x (3 x^{2} - 1)^{3}$

問 2　関数 $y = x^{2} + 1$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$

方針　根号を $\frac{1}{2}$ 乗に書き直すと、 $u = x^{2} + 1$ 、 $y = u^{\frac{1}{2}}$ の合成関数になる。 $(u^{r})^{'} = r u^{r - 1}$ は $r$ が有理数でも使える。

書き直す。 $y = (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}}$
外側を微分する。 $\frac{1}{2} (x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1}$
内側を微分する。 $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
かける。 $y^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 1}$

問 3　関数 $y = \frac{1}{( 2 x + 3 ) ^{2}}$ を微分せよ。

$y^{'} = - \frac{4}{( 2 x + 3 ) ^{3}}$

方針　商の導関数でも解けるが、 $y = (2 x + 3)^{- 2}$ と書き直せば合成関数の微分 1 回で済む。内側は一次式なので、 $x$ の係数 2 が外に出る。

書き直す。 $y = (2 x + 3)^{- 2}$
外側を微分する。 $- 2 (2 x + 3)^{- 3}$
内側を微分する。 $(2 x + 3)^{'} = 2$
かける。 $y^{'} = - 2 (2 x + 3)^{- 3} \cdot 2 = - 4 (2 x + 3)^{- 3} = - \frac{4}{( 2 x + 3 ) ^{3}}$

ここで間違えやすい　指数は $- 2$ から 1 をひいて $- 3$ になる。 $- 1$ にして $- \frac{4}{2 x + 3}$ としない。

問 4　関数 $y = x 2 x + 1$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{3 x + 1}{2 x + 1}$

方針　 $x$ と $2 x + 1$ の積なので、積の導関数を使う。 $2 x + 1$ の微分には合成関数の微分が要る。最後に通分してまとめる。

$2 x + 1$ を微分する。 ${g (x)}^{'} = \frac{g ^{'} ( x )}{2 g ( x )}$ で $g (x) = 2 x + 1$ とすると、 $\frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}$
積の導関数に入れる。 $y^{'} = 1 \cdot 2 x + 1 + x \cdot \frac{1}{2 x + 1}$
通分する。 $2 x + 1 = \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ なので、 $y^{'} = \frac{( 2 x + 1 ) + x}{2 x + 1}$
分子をまとめて、 $y^{'} = \frac{3 x + 1}{2 x + 1}$

問 5　関数 $y = (\frac{x}{x + 1})^{3}$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{3 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{4}}$

方針　 $u = \frac{x}{x + 1}$ とおくと $y = u^{3}$ の合成関数。外側を微分して、内側の導関数をかける。内側は分数なので、商の導関数で微分する。

外側を微分する。 $3 u^{2} = 3 (\frac{x}{x + 1})^{2} = \frac{3 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}}$
内側を商の導関数で微分する。 $(\frac{x}{x + 1})^{'} = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$
かける。 $y^{'} = \frac{3 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{4}}$

問 6　関数 $f (x) = x^{3} + x$ の逆関数を $g (x)$ とするとき、 $g^{'} (2)$ の値を求めよ。

$g^{'} (2) = \frac{1}{4}$

方針　 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ で $f (x)$ は常に増加するので、逆関数がある。ただし $g (x)$ を式で表すことはできない。 $y = g (x)$ を $x = y^{3} + y$ と書いて、逆関数の微分法 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ を使う。

$y = g (x)$ とおくと、 $x = f (y) = y^{3} + y$
$x$ を $y$ で微分する。 $\frac{d x}{d y} = 3 y^{2} + 1$
逆関数の微分法から、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y ^{2} + 1}$
$x = 2$ に対応する $y$ を求める。 $y^{3} + y = 2$ から $y^{3} + y - 2 = 0$ で、 $(y - 1) (y^{2} + y + 2) = 0$
$y^{2} + y + 2 = (y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ なので、 $y = 1$
$y = 1$ を代入して、 $g^{'} (2) = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$

ここで間違えやすい　 $\frac{1}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{1}{13}$ としない。 $\frac{d x}{d y}$ に入れるのは $x = 2$ ではなく、それに対応する $y = g (2) = 1$ 。

合成関数の導関数

0. どういうまとまりか

1. 合成関数の微分法

2. よく使う形

3. 逆関数の微分法

4. xr の導関数（r が有理数のとき）

練習問題

4. $x^{r}$ の導関数（ $r$ が有理数のとき）