積と商の導関数｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (ア)「微分可能性，関数の積及び商の導関数について理解し，関数の和，差，積及び商の導関数を求めること。」。このノートは、2 つの関数をかけた形・割った形の関数を、展開せずに微分する公式を扱います。

0. どういうまとまりか

数学Ⅱでは、積の形の式は展開してから微分しました。数学Ⅲでは、積のまま・分数のまま微分する公式を使います。
和と差は「それぞれを微分して足す・ひく」でよいのに、積と商はそうなりません。ここが最初のつまずきです。
以下、 $f (x)$ と $g (x)$ は微分可能な関数とします。

形	導関数
定数倍・和・差 $k f (x) + l g (x)$	$k f^{'} (x) + l g^{'} (x)$
積 $f (x) g (x)$	$f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
商 $\frac{f ( x )}{g ( x )}$	$\frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$
逆数 $\frac{1}{g ( x )}$	$- \frac{g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$
$x^{n}$ （ $n$ は整数）	$n x^{n - 1}$

分かれ目は次の 3 つ。

積の導関数は $f^{'} g^{'}$ ではない。片方ずつ微分したものを足す
商の導関数は分子の順と符号。「分子を微分したもの」が先で、間はマイナス。分母は 2 乗
分母が単項式の分数式は、割ってから $x^{n}$ の公式（ $n$ は負の整数でもよい）を使うほうが速い

1. 定数倍・和・差の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ア)

数学Ⅱで多項式に使った性質は、微分可能な関数ならどれにでも成り立ちます。

$k$ 、 $l$ を定数とするとき、 ${k f (x) + l g (x)}^{'}$ は？

$k f^{'} (x) + l g^{'} (x)$

定数倍は外に出し、和と差はそれぞれを微分する。 ${f (x) - g (x)}^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ もこの形（ $k = 1$ 、 $l = - 1$ ）。

2. 積の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ア)

$f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)$ に $f (x) g (x + h)$ をひいて加えると、 ${f (x + h) - f (x)} g (x + h) + f (x) {g (x + h) - g (x)}$ と分かれます。
$h$ で割って $h \to 0$ とすると、 $g (x)$ は微分可能なので連続で $g (x + h)$ は $g (x)$ に近づき、 $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ が出ます。

積の導関数 ${f (x) g (x)}^{'}$ は？

$f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

「前を微分して後ろはそのまま」と「前はそのままで後ろを微分」を足す。

${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g^{'} (x)$ としてよいか？

いけない。正しくは $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

$x^{2} = x \cdot x$ で確かめると、 $f^{'} g^{'}$ では $1 \cdot 1$ で 1 になるが、正しい導関数は $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 x$ 。

積の導関数の公式を定義から導くとき、 $f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)$ にどんな変形をするか？

$f (x) g (x + h)$ をひいて加え、 ${f (x + h) - f (x)} g (x + h) + f (x) {g (x + h) - g (x)}$ と分ける

$h$ で割って $h \to 0$ とする。 $g (x)$ は微分可能だから連続で、 $g (x + h)$ は $g (x)$ に近づく。

3 つの関数の積の導関数 ${f (x) g (x) h (x)}^{'}$ は？

$f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x)$

1 つずつ順に微分して、3 つを足す。 ${f (x) g (x)} h (x)$ とみて積の導関数を 2 回使うと出る。

積の導関数を使うと、 ${f (x)}^{2}$ の導関数は？

$2 f (x) f^{'} (x)$

$f (x) \cdot f (x)$ とみて、 $f^{'} (x) f (x) + f (x) f^{'} (x)$ 。 $2 f (x)$ で止めず、 $f^{'} (x)$ がかかる。

3. 商の導関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ア)

商の導関数は、まず $\frac{1}{g ( x )}$ の導関数を定義から求め、 $\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) \cdot \frac{1}{g ( x )}$ に積の導関数を使うと出ます。分母が 0 になる $x$ は除いて考えます。

商の導関数 ${\frac{f ( x )}{g ( x )}}^{'}$ は？（ $g (x) \neq = 0$ ）

$\frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$

分母は 2 乗。分子は「分子を微分 × 分母」から「分子 × 分母を微分」をひく。

商の導関数の分子を $f (x) g^{'} (x) - f^{'} (x) g (x)$ と書くと、どうなるか？

符号が逆になり、誤り。正しい分子は $f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$

積の導関数は足し算なので順を入れかえても同じだが、商はひき算なので順が決まっている。分子を微分したものが先。

逆数の導関数 ${\frac{1}{g ( x )}}^{'}$ は？（ $g (x) \neq = 0$ ）

$- \frac{g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$

商の導関数で分子を 1 としたもの（1 の導関数は 0）。マイナスを落としやすい。

4. $x^{n}$ の導関数（ $n$ が負の整数のとき）

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(ア)

$n$ が負の整数のとき、 $n = - m$ （ $m$ は自然数）とおくと $x^{n} = \frac{1}{x ^{m}}$ です。逆数の導関数から
$(\frac{1}{x ^{m}})^{'} = - \frac{m x ^{m - 1}}{x ^{2 m}} = - m x^{- m - 1}$ となり、これは $n x^{n - 1}$ と同じ形です。

$n$ が負の整数のとき、 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ は成り立つか？

成り立つ（ $x \neq = 0$ ）。 $n$ がどんな整数でも $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$

$n = - m$ とおいて $\frac{1}{x ^{m}}$ に逆数の導関数を使うと確かめられる。

$n$ を自然数とするとき、 $(\frac{1}{x ^{n}})^{'}$ は？

$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$

$\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}$ とみて $- n x^{- n - 1}$ 。分母の次数は 1 つ上がる（ $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ ）。

$\frac{x ^{2} + 1}{x}$ のように、分母が単項式の分数式は、どう微分すると速いか？

先に割って $x^{n}$ の和の形にしてから、項ごとに微分する

$\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ なので、導関数は $1 - \frac{1}{x ^{2}}$ 。商の導関数でも同じ結果になるが、計算が長い。

練習問題

問 1　関数 $y = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$ を、積の導関数を使って微分せよ。

$y^{'} = 9 x^{2} - 4 x + 3$

方針　2 つの式の積なので、積の導関数 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ を使う。 $f = x^{2} + 1$ 、 $g = 3 x - 2$ とみる。

それぞれを微分する。 $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$ 、 $(3 x - 2)^{'} = 3$
公式に入れる。 $y^{'} = 2 x (3 x - 2) + (x^{2} + 1) \cdot 3$
展開する。 $2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x$ 、 $(x^{2} + 1) \cdot 3 = 3 x^{2} + 3$
足す。 $y^{'} = 6 x^{2} - 4 x + 3 x^{2} + 3 = 9 x^{2} - 4 x + 3$

問 2　関数 $y = \frac{2 x - 1}{x ^{2} + 1}$ を微分せよ。

$y^{'} = \frac{- 2 x ^{2} + 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

方針　分数の形で、分母が単項式でないので、商の導関数 $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ を使う。 $f = 2 x - 1$ 、 $g = x^{2} + 1$ とみる。

それぞれを微分する。 $(2 x - 1)^{'} = 2$ 、 $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
公式に入れる。 $y^{'} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - ( 2 x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
分子の前半を展開する。 $2 (x^{2} + 1) = 2 x^{2} + 2$
分子の後半を展開する。 $(2 x - 1) \cdot 2 x = 4 x^{2} - 2 x$
ひく。 $(2 x^{2} + 2) - (4 x^{2} - 2 x) = - 2 x^{2} + 2 x + 2$
よって $y^{'} = \frac{- 2 x ^{2} + 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

ここで間違えやすい　手順 5 で後半をかっこに入れずにひくと、 $- 2 x$ の符号を変え忘れて $- 2 x^{2} - 2 x + 2$ になる。

問 3　関数 $y = \frac{x ^{3} - 2 x + 1}{x ^{2}}$ を微分せよ。

$y^{'} = 1 + \frac{2}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{3}}$ （通分すると $\frac{x ^{3} + 2 x - 2}{x ^{3}}$ ）

方針　分母が単項式 $x^{2}$ なので、先に割って $x^{n}$ の形の和にする。 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ は $n$ が負の整数でも使える。

項ごとに割る。 $y = \frac{x ^{3}}{x ^{2}} - \frac{2 x}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}} = x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$
指数で書く。 $y = x - 2 x^{- 1} + x^{- 2}$
項ごとに微分する。 $(x)^{'} = 1$ 、 $(- 2 x^{- 1})^{'} = 2 x^{- 2}$ 、 $(x^{- 2})^{'} = - 2 x^{- 3}$
足す。 $y^{'} = 1 + 2 x^{- 2} - 2 x^{- 3} = 1 + \frac{2}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{3}}$
通分するなら、分母を $x^{3}$ にそろえて $y^{'} = \frac{x ^{3} + 2 x - 2}{x ^{3}}$

問 4　関数 $y = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ を、展開せずに微分せよ。

$y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 11$

方針　3 つの式の積なので、 $(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$ を使う。3 つの因数はどれも微分すると 1 になる。

公式に入れる。 $y^{'} = 1 \cdot (x + 2) (x + 3) + (x + 1) \cdot 1 \cdot (x + 3) + (x + 1) (x + 2) \cdot 1$
1 つ目を展開する。 $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$
2 つ目を展開する。 $(x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$
3 つ目を展開する。 $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$
足す。 $x^{2}$ の項は $3 x^{2}$ 、 $x$ の項は $5 x + 4 x + 3 x = 12 x$ 、定数項は 11 なので、 $y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 11$

問 5　関数 $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ について、 $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ の値を求めよ。

$x = 0, 2$

方針　商の導関数で $f^{'} (x)$ を求める。分数の値が 0 になるのは分子が 0 のときなので、分子を因数分解する。分母が 0 になる $x = 1$ は定義域に入らない。

$f = x^{2}$ 、 $g = x - 1$ とみて、それぞれ微分する。 $(x^{2})^{'} = 2 x$ 、 $(x - 1)^{'} = 1$
公式に入れる。 $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2} \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}}$
分子を整理する。 $2 x (x - 1) - x^{2} = 2 x^{2} - 2 x - x^{2} = x^{2} - 2 x$
因数分解する。 $f^{'} (x) = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = 0$ となるのは分子が 0 のときで、 $x = 0, 2$ （どちらも $x \neq = 1$ を満たす）

問 6　関数 $f (x) = \frac{a x + b}{x ^{2} + 1}$ が $f^{'} (0) = 3$ 、 $f^{'} (1) = - 1$ を満たすとき、定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 3$ 、 $b = 2$

方針　商の導関数で $f^{'} (x)$ を $a$ 、 $b$ を含む式で表し、 $x = 0$ と $x = 1$ を代入して 2 本の式を作る。

分子と分母を微分する。 $(a x + b)^{'} = a$ 、 $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
公式に入れる。 $f^{'} (x) = \frac{a ( x ^{2} + 1 ) - ( a x + b ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
分子を整理する。 $a (x^{2} + 1) - (a x + b) \cdot 2 x = a x^{2} + a - 2 a x^{2} - 2 b x = - a x^{2} - 2 b x + a$
$x = 0$ を代入する。分子は $a$ 、分母は 1 なので $f^{'} (0) = a$ 。条件から $a = 3$
$x = 1$ を代入する。分子は $- a - 2 b + a = - 2 b$ 、分母は $2^{2} = 4$ なので $f^{'} (1) = - \frac{2 b}{4} = - \frac{b}{2}$
条件から $- \frac{b}{2} = - 1$ なので、 $b = 2$

積と商の導関数

0. どういうまとまりか

1. 定数倍・和・差の導関数

2. 積の導関数

3. 商の導関数

4. xn の導関数（n が負の整数のとき）

練習問題

4. $x^{n}$ の導関数（ $n$ が負の整数のとき）