接線と法線｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (エ)「導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減，極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。」。このノートは、分数関数・指数関数・対数関数のグラフや、円・楕円・媒介変数で表された曲線に引く接線と法線の方程式を扱います。

0. どういうまとまりか

接線の傾きは微分係数 $f^{'} (a)$ です。数学Ⅱと式の形は同じで、変わるのは微分する関数の種類と、曲線の表し方です。
$y = f (x)$ の形でない曲線（円・楕円・媒介変数で表された曲線）でも、接点での $\frac{d y}{d x}$ さえ求まれば、同じ式で接線が書けます。

場面	立てる式
曲線上の点 $(a, f (a))$ における接線	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
同じ点における法線（ $f^{'} (a) \neq = 0$ ）	$y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$
曲線上にない点から引いた接線	接点を $(t, f (t))$ とおき、接線が与えられた点を通る条件から $t$ を決める
方程式 $F (x, y) = 0$ で表された曲線	両辺を $x$ で微分して $\frac{d y}{d x}$ を求める
媒介変数 $t$ で表された曲線	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \div \frac{d x}{d t}$
2 曲線が接する	共有点で $y$ 座標と接線の傾きがともに一致する

分かれ目は次の 3 つ。

「点 A における接線」は A が接点、「点 A から引いた接線」は A が接点とは限らない。後者は接点を文字でおく
法線の傾き $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ は $f^{'} (a) \neq = 0$ のときだけ。 $f^{'} (a) = 0$ のとき法線は $x = a$
2 曲線が接するとは、共有点をもつだけでなく、そこで傾きも一致すること。条件は 2 本要る

1. 接線と法線の方程式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

接点と傾きが分かれば直線は決まります。接点で接線と垂直に交わる直線が法線です。

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は？（ $f (x)$ は $x = a$ で微分可能）

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

点 $(a, f (a))$ を通り、傾きが微分係数 $f^{'} (a)$ の直線。

曲線上の点 A における法線とは何か？

点 A を通り、A における接線と垂直に交わる直線

垂直な 2 直線の傾きの積は $- 1$ なので、接線の傾きが $m$ （ $m \neq = 0$ ）なら法線の傾きは $- \frac{1}{m}$ 。

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における法線の方程式は？（ $f^{'} (a) \neq = 0$ のとき）

$y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$

接線の式の傾き $f^{'} (a)$ を $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ に取りかえた形。

$f^{'} (a) = 0$ のとき、曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における法線の方程式は？

$x = a$

接線が $x$ 軸に平行（ $y = f (a)$ ）なので、法線は $x$ 軸に垂直な直線になる。 $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ の式は分母が 0 になって使えない。

2. 曲線上にない点から引いた接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

通る点が与えられても、その点が接点とは限りません。接点が分からないときは、接点の $x$ 座標を文字でおきます。

曲線 $y = f (x)$ 上にない点 $(p, q)$ から曲線に引いた接線は、どう求めるか？

接点を $(t, f (t))$ とおいて接線 $y - f (t) = f^{'} (t) (x - t)$ を作り、これが $(p, q)$ を通る条件 $q - f (t) = f^{'} (t) (p - t)$ から $t$ を求める

求めた $t$ を接線の式に戻す。 $t$ が複数あれば接線も複数ある。

「点 A における接線」と「点 A から引いた（点 A を通る）接線」の違いは？

「における」は A が接点。「から引いた」「を通る」は A が接点とは限らないので、接点を文字でおく

A が曲線上にあっても、「A を通る接線」には A 以外の点で接するものが含まれることがある。

3. いろいろな表し方の曲線の接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

円や楕円は $y = f (x)$ の形に直さなくても、方程式のまま両辺を $x$ で微分すれば $\frac{d y}{d x}$ が求まります。このとき $y$ は $x$ の関数とみるので、 $y^{2}$ を $x$ で微分すると合成関数の微分で $2 y \cdot \frac{d y}{d x}$ になります。
媒介変数表示とは、 $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ のように $x$ と $y$ をそれぞれ別の変数 $t$ の式で表し、 $t$ を動かして点 $(x, y)$ に曲線を描かせる表し方です。

方程式 $F (x, y) = 0$ で表された曲線の接線の傾きは、どう求めるか？

$y$ を $x$ の関数とみて方程式の両辺を $x$ で微分し、 $\frac{d y}{d x}$ について解いて、接点の座標を代入する

$\frac{d}{d x} y^{2} = 2 y \cdot \frac{d y}{d x}$ のように、 $y$ の式を微分したら $\frac{d y}{d x}$ をかける。

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$

両辺を $x$ で微分すると $2 x + 2 y \cdot \frac{d y}{d x} = 0$ で、 $y \neq = 0$ のとき $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ 。 $y_{1} = 0$ のときも、この式は接線 $x = x_{1}$ を正しく表す。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は？

$\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$

両辺を $x$ で微分すると $\frac{2 x}{a ^{2}} + \frac{2 y}{b ^{2}} \cdot \frac{d y}{d x} = 0$ で、 $y \neq = 0$ のとき $\frac{d y}{d x} = - \frac{b ^{2} x}{a ^{2} y}$ 。 $x^{2}$ を $x_{1} x$ に、 $y^{2}$ を $y_{1} y$ に置きかえた形と覚える。

媒介変数 $t$ を用いて $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ と表された曲線の、接線の傾き $\frac{d y}{d x}$ は？

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{g ^{'} ( t )}{f ^{'} ( t )}$ （ $f^{'} (t) \neq = 0$ のとき）

$t$ を消去しなくてよい。接点の座標も、同じ $t$ の値を $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ に入れて求める。

4. 2 曲線が接する条件と共通接線

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

2 つの曲線が 1 点を共有し、その点での接線が一致するとき、2 曲線はその点で接するといいます。共有するだけでは交わっているのと区別がつかないので、傾きの一致まで式にします。

2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ が $x = p$ の点で接する条件は？

$f (p) = g (p)$ かつ $f^{'} (p) = g^{'} (p)$

共有点であること（ $y$ 座標が一致）と、そこでの接線の傾きが一致することの 2 本。未知数が 2 つ（ $p$ と定数）あっても、この 2 本で決まる。

2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ に、異なる点で接する共通接線は、どう求めるか？

それぞれの接点の $x$ 座標を $s$ 、 $t$ とおいて接線を 2 本書き、傾きどうし・ $y$ 切片どうしが等しいとおいて $s$ 、 $t$ を求める

$y = f^{'} (s) x + f (s) - s f^{'} (s)$ と $y = g^{'} (t) x + g (t) - t g^{'} (t)$ が同じ直線になる条件。接点が同じとは限らないので、文字を 2 つ使う。

練習問題

問 1　曲線 $y = lo g x$ 上の点 $(e, 1)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

接線 $y = \frac{1}{e} x$ 、法線 $y = - e x + e^{2} + 1$

方針　点 $(e, 1)$ は接点なので、 $x = e$ での微分係数を傾きにして接線を書く。法線は同じ点を通り、傾きが接線の傾きの逆数に $- 1$ をかけたもの。

微分する。 $y^{'} = \frac{1}{x}$
$x = e$ での接線の傾きは $\frac{1}{e}$
接線は $y - 1 = \frac{1}{e} (x - e)$
右辺を展開すると $\frac{1}{e} x - 1$ なので、 $y = \frac{1}{e} x$
法線の傾きは、 $\frac{1}{e}$ の逆数に $- 1$ をかけて $- e$
法線は $y - 1 = - e (x - e)$
右辺を展開すると $- e x + e^{2}$ なので、 $y = - e x + e^{2} + 1$

問 2　原点から曲線 $y = e^{x}$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。

接線 $y = e x$ 、接点 $(1, e)$

方針　原点は曲線 $y = e^{x}$ 上にない（ $x = 0$ のとき $y = 1$ ）ので、接点ではない。接点を $(t, e^{t})$ とおいて接線を作り、それが原点を通る条件から $t$ を決める。

微分する。 $y^{'} = e^{x}$
接点を $(t, e^{t})$ とすると、接線の傾きは $e^{t}$
接線は $y - e^{t} = e^{t} (x - t)$
これが原点を通るので、 $x = 0$ 、 $y = 0$ を代入して $- e^{t} = - t e^{t}$
$e^{t} > 0$ なので両辺を $- e^{t}$ でわって、 $t = 1$
接点は $(1, e)$ 、傾きは $e$
接線は $y - e = e (x - 1)$ で、整理して $y = e x$

ここで間違えやすい　原点を接点とみて $y^{'}$ に $x = 0$ を代入し、傾き 1 の直線 $y = x$ としない。 $y = x$ は原点を通るが、曲線 $y = e^{x}$ とは共有点をもたない。

問 3　楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 上の点 $(2, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

$y = - \frac{1}{2} x + 2$ （ $x + 2 y = 4$ ）

方針　 $y$ について解かず、方程式の両辺をそのまま $x$ で微分して $\frac{d y}{d x}$ を求める。 $y$ は $x$ の関数なので、 $y^{2}$ の微分には $\frac{d y}{d x}$ がかかる。

点 $(2, 1)$ が楕円上にあることを確かめる。 $\frac{4}{8} + \frac{1}{2} = 1$
両辺を $x$ で微分する。 $\frac{x ^{2}}{8}$ は $\frac{x}{4}$ 、 $\frac{y ^{2}}{2}$ は $y \cdot \frac{d y}{d x}$ になるので、 $\frac{x}{4} + y \cdot \frac{d y}{d x} = 0$
$y \neq = 0$ のとき、 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$
$x = 2$ 、 $y = 1$ を代入すると、傾きは $- \frac{2}{4 \times 1} = - \frac{1}{2}$
接線は $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 2)$
右辺を展開すると $- \frac{1}{2} x + 1$ なので、 $y = - \frac{1}{2} x + 2$

楕円の接線の公式 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ に $a^{2} = 8$ 、 $b^{2} = 2$ 、 $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1$ を入れると $\frac{2 x}{8} + \frac{y}{2} = 1$ で、両辺を 4 倍して $x + 2 y = 4$ 。同じ直線になる。

問 4　媒介変数 $t$ を用いて $x = t - sin t$ 、 $y = 1 - cos t$ と表された曲線の、 $t = \frac{π}{2}$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

$y = x - \frac{π}{2} + 2$

方針　 $t$ を消去せず、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \div \frac{d x}{d t}$ で傾きを求める。接点の座標も $t = \frac{π}{2}$ を代入して求める。

$t$ で微分する。 $\frac{d x}{d t} = 1 - cos t$ 、 $\frac{d y}{d t} = sin t$
$\frac{d x}{d t} \neq = 0$ のとき、 $\frac{d y}{d x} = \frac{s i n t}{1 - c o s t}$
$t = \frac{π}{2}$ のとき $sin t = 1$ 、 $cos t = 0$ なので、傾きは $\frac{1}{1 - 0} = 1$
接点の座標は、 $x = \frac{π}{2} - 1$ 、 $y = 1 - 0 = 1$
接線は $y - 1 = 1 \cdot {x - (\frac{π}{2} - 1)}$
右辺は $x - \frac{π}{2} + 1$ なので、 $y = x - \frac{π}{2} + 2$

ここで間違えやすい　接点の $x$ 座標を $\frac{π}{2}$ としない。 $\frac{π}{2}$ は媒介変数 $t$ の値で、 $x$ 座標は $t - sin t$ に代入した $\frac{π}{2} - 1$ 。

問 5　2 曲線 $y = a x^{2}$ 、 $y = lo g x$ が接するとき、定数 $a$ の値と接点の座標を求めよ。

$a = \frac{1}{2 e}$ 、接点 $(e, \frac{1}{2})$

方針　接点の $x$ 座標を $p$ とおく。2 曲線が接する条件は、 $x = p$ で $y$ 座標が一致し、接線の傾きも一致すること。この 2 本の式から $p$ と $a$ を求める。

$f (x) = a x^{2}$ 、 $g (x) = lo g x$ とすると、 $f^{'} (x) = 2 a x$ 、 $g^{'} (x) = \frac{1}{x}$
接点の $x$ 座標を $p$ とする。真数は正なので $p > 0$
$y$ 座標が一致するから、 $a p^{2} = lo g p$
傾きが一致するから、 $2 a p = \frac{1}{p}$
手順 4 の両辺に $\frac{p}{2}$ をかけると、 $a p^{2} = \frac{1}{2}$
これを手順 3 に代入して、 $lo g p = \frac{1}{2}$
よって $p = e^{\frac{1}{2}} = e$
$a p^{2} = \frac{1}{2}$ に $p^{2} = e$ を代入して $a e = \frac{1}{2}$ なので、 $a = \frac{1}{2 e}$
接点の $y$ 座標は $lo g e = \frac{1}{2}$ なので、接点は $(e, \frac{1}{2})$

ここで間違えやすい　 $a x^{2} = lo g x$ が「ただ 1 つの解をもつ」条件として解こうとしない。二次方程式でないので判別式は使えない。接する条件は、値の一致と傾きの一致の 2 本で書く。

問 6　2 曲線 $y = x^{2}$ 、 $y = \frac{1}{x}$ の両方に接する直線の方程式を求めよ。

$y = - 4 x - 4$

方針　共通接線が 2 曲線に接する点は別々なので、接点の $x$ 座標を $s$ 、 $t$ と 2 つの文字でおく。それぞれの接線を $y = m x + n$ の形に直し、傾きと $y$ 切片が一致する条件から $s$ 、 $t$ を求める。

$y = x^{2}$ の導関数は $y^{'} = 2 x$ 。点 $(s, s^{2})$ における接線は $y - s^{2} = 2 s (x - s)$
整理して、 $y = 2 s x - s^{2}$
$y = \frac{1}{x}$ の導関数は $y^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ 。点 $(t, \frac{1}{t})$ （ $t \neq = 0$ ）における接線は $y - \frac{1}{t} = - \frac{1}{t ^{2}} (x - t)$
右辺は $- \frac{1}{t ^{2}} x + \frac{1}{t}$ なので、整理して $y = - \frac{1}{t ^{2}} x + \frac{2}{t}$
2 本が同じ直線になるので、傾きから $2 s = - \frac{1}{t ^{2}}$ 、 $y$ 切片から $- s^{2} = \frac{2}{t}$
傾きの式から、 $s = - \frac{1}{2 t ^{2}}$
これを $y$ 切片の式に代入すると、 $s^{2} = \frac{1}{4 t ^{4}}$ なので、 $- \frac{1}{4 t ^{4}} = \frac{2}{t}$
両辺に $4 t^{4}$ をかけて、 $- 1 = 8 t^{3}$
$t^{3} = - \frac{1}{8}$ で、 $t$ は実数なので $t = - \frac{1}{2}$
$t^{2} = \frac{1}{4}$ なので、 $s = - \frac{1}{2 \times \frac{1}{4}} = - 2$
$y = 2 s x - s^{2}$ に $s = - 2$ を代入して、 $y = - 4 x - 4$

確かめると、 $y = \frac{1}{x}$ の $t = - \frac{1}{2}$ での接線は、傾きが $- 4$ 、 $y$ 切片が $\frac{2}{t} = - 4$ で、同じ直線になる。