平均値の定理｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (エ)「導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減，極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。」。このノートは、導関数の符号から関数の増減が読める根拠になる平均値の定理と、その不等式への使い方を扱います。

0. どういうまとまりか

区間の両端を結ぶ直線の傾き（平均変化率）と同じ傾きの接線が、区間の途中のどこかで必ず引ける、というのが平均値の定理です。
「どこか」の場所 $c$ は分からなくても、 $a < c < b$ という範囲だけで $f^{'} (c)$ の大きさが評価でき、それが不等式の証明や、導関数の符号と増減の関係の根拠になります。

項目	中身
前提	$f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能
結論	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)$ 、 $a < c < b$ を満たす実数 $c$ が存在する
図形的な意味	両端の点を結ぶ直線と平行な接線が、区間の途中で引ける
使いどころ	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ や $f (b) - f (a)$ の形を含む不等式・極限

分かれ目は次の 3 つ。

前提は 2 つとも要る。閉区間で連続、開区間で微分可能。途中に微分可能でない点が 1 つあるだけで成り立たなくなることがある
定理が言うのは $c$ が「存在する」ことだけ。 $c$ の値も個数も言っていない（2 つ以上あることもある）
不等式に使うときは、 $c$ を求めようとしない。 $a < c < b$ から $f^{'} (c)$ をはさむ

1. 平均値の定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

$f (a) = f (b)$ の場合は「 $f^{'} (c) = 0$ 、 $a < c < b$ を満たす $c$ が存在する」という形になり、これをロルの定理といいます。平均値の定理は、それを両端の高さが違う場合に広げたものです。

平均値の定理の結論は？（ $f (x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能とする）

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)$ 、 $a < c < b$ を満たす実数 $c$ が存在する

左辺は区間 $[a, b]$ での平均変化率、右辺は $x = c$ での微分係数。 $c$ は区間の端を含まない。

平均値の定理が成り立つための、関数 $f (x)$ についての前提 2 つは？

閉区間 $[a, b]$ で連続であること、開区間 $(a, b)$ で微分可能であること

微分可能なら連続なので、 $[a, b]$ を含む区間で微分可能な関数なら 2 つとも満たす。端点 $a$ 、 $b$ での微分可能性は要らない。

平均値の定理の図形的な意味は？

曲線 $y = f (x)$ 上の 2 点 $A (a, f (a))$ 、 $B (b, f (b))$ を結ぶ直線 AB と平行な接線が、A と B の間の曲線上のどこかで引ける

直線 AB の傾きが $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ 、接線の傾きが $f^{'} (c)$ 。

平均値の定理を、 $b = a + h$ とおいて $f (a + h)$ の式に書き直すと？

$f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a + θ h)$ 、 $0 < θ < 1$ を満たす実数 $θ$ が存在する

$c$ は $a$ と $a + h$ の間にあるので、 $c = a + θ h$ （ $0 < θ < 1$ ）と表せる。この形は $h < 0$ のときも成り立つ。

2. 条件を満たす c を求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

具体的な関数と区間が与えられれば、 $c$ は方程式を解いて求められます。求めた $c$ が区間の内部にあることまで確かめます。

関数 $f (x)$ と区間 $[a, b]$ について、平均値の定理の式を満たす $c$ の値は、どう求めるか？

平均変化率 $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ を計算し、方程式 $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ を解いて、 $a < c < b$ を満たす解だけを選ぶ

区間の外に出た解や、端点 $a$ 、 $b$ と一致する解は捨てる。

平均値の定理の式を満たす $c$ は、1 つの区間にただ 1 つか？

1 つとは限らない。定理が保証するのは少なくとも 1 つ存在することだけ

$f (x) = sin x$ 、区間 $[0, 2 π]$ では平均変化率が 0 で、 $cos c = 0$ を満たす $c$ は $\frac{π}{2}$ と $\frac{3}{2} π$ の 2 つある。

$f (x) = ∣ x ∣$ は区間 $[- 1, 1]$ で連続だが、平均値の定理の式を満たす $c$ が存在しない。前提のどこが欠けているか？

$x = 0$ で微分可能でないので、「開区間 $(- 1, 1)$ で微分可能」が満たされない

平均変化率は 0 だが、 $f^{'} (x)$ は $x < 0$ で $- 1$ 、 $x > 0$ で 1 で、0 になる点が無い。

3. 不等式の証明への利用

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

$c$ の場所が分からなくても、 $a < c < b$ という範囲があれば $f^{'} (c)$ を上下からはさめます。これが不等式になります。

不等式の証明で、平均値の定理を使うとよいのは、式にどんな形があるときか？

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ の形、または同じ関数の 2 つの値の差 $f (b) - f (a)$ があるとき

$lo g b - lo g a$ 、 $e^{b} - e^{a}$ 、 $sin b - sin a$ のように、同じ関数に $a$ と $b$ を入れた差が目印。

平均値の定理で不等式を証明するとき、 $f^{'} (c)$ の大きさはどうやって評価するか？

$a < c < b$ と $f^{'} (x)$ の増減から、 $f^{'} (c)$ を $f^{'} (a)$ と $f^{'} (b)$ ではさむ（または $∣ cos c ∣ ≦ 1$ のように、 $c$ がどこにあっても成り立つ不等式を使う）

$f^{'} (x)$ が減少するなら $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ 、増加するなら $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ 。 $c$ の値そのものは求めない。

4. 導関数の符号と増減の根拠

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

「 $f^{'} (x) > 0$ なら増加する」は図から明らかに見えますが、証明は平均値の定理によります。区間内の 2 点 $u < v$ について $f (v) - f (u) = f^{'} (c) (v - u)$ と書けるからです。

「ある区間で常に $f^{'} (x) > 0$ ならば、 $f (x)$ はその区間で増加する」は、平均値の定理からどう示されるか？

区間内の任意の 2 数 $u < v$ について、 $f (v) - f (u) = f^{'} (c) (v - u)$ 、 $u < c < v$ となる $c$ があり、 $f^{'} (c) > 0$ 、 $v - u > 0$ だから $f (v) - f (u) > 0$

$f^{'} (x) < 0$ なら同じ式から $f (v) < f (u)$ となり、減少する。

ある区間で常に $f^{'} (x) = 0$ ならば、 $f (x)$ はその区間でどんな関数か？

定数関数（その区間で一定の値をとる）

区間内の任意の 2 数 $u < v$ について $f (v) - f (u) = f^{'} (c) (v - u) = 0$ となるので、 $f (u) = f (v)$ 。

ある区間で常に $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ ならば、 $f (x)$ と $g (x)$ の関係は？

$f (x) = g (x) + C$ （ $C$ は定数）

${f (x) - g (x)}^{'} = 0$ なので、差 $f (x) - g (x)$ がその区間で定数になる。不定積分に積分定数が付く理由でもある。

練習問題

問 1　関数 $f (x) = x$ と区間 $[1, 4]$ について、平均値の定理の式 $\frac{f ( 4 ) - f ( 1 )}{4 - 1} = f^{'} (c)$ 、 $1 < c < 4$ を満たす $c$ の値を求めよ。

$c = \frac{9}{4}$

方針　左辺の平均変化率は数として計算できる。右辺は $f^{'} (x)$ に $x = c$ を入れた式なので、 $c$ についての方程式になる。解いたあと、 $1 < c < 4$ を満たすことを確かめる。

$f (x) = x$ は $[1, 4]$ で連続、 $(1, 4)$ で微分可能なので、定理が使える
微分する。 $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
平均変化率を求める。 $f (4) = 2$ 、 $f (1) = 1$ なので、 $\frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$
方程式は $\frac{1}{2 c} = \frac{1}{3}$
逆数をとって $2 c = 3$ なので、 $c = \frac{3}{2}$
両辺を 2 乗して、 $c = \frac{9}{4}$
$1 < \frac{9}{4} < 4$ なので、区間の内部にある

問 2　関数 $f (x) = lo g x$ と区間 $[1, e]$ について、平均値の定理の式を満たす $c$ の値を求めよ。

$c = e - 1$

方針　平均変化率を計算し、 $f^{'} (c)$ と等しいとおいて $c$ を求める。 $c$ が $1 < c < e$ にあることも確かめる。

$f (x) = lo g x$ は $[1, e]$ で連続、 $(1, e)$ で微分可能なので、定理が使える
微分する。 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$
$f (e) = 1$ 、 $f (1) = 0$ なので、平均変化率は $\frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$
方程式は $\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1}$
よって $c = e - 1$
$e$ は 2.718… なので $e - 1$ は 1.718… で、 $1 < e - 1 < e$ を満たす

問 3　 $0 < a < b$ のとき、不等式 $\frac{1}{b} < \frac{l o g b - l o g a}{b - a} < \frac{1}{a}$ が成り立つことを証明せよ。

$f (x) = lo g x$ に区間 $[a, b]$ で平均値の定理を使い、 $\frac{l o g b - l o g a}{b - a} = \frac{1}{c}$ を $a < c < b$ ではさむ

方針　中央の式は、 $f (x) = lo g x$ の区間 $[a, b]$ での平均変化率の形をしている。平均値の定理でこれを $f^{'} (c) = \frac{1}{c}$ に置きかえ、 $a < c < b$ から $\frac{1}{c}$ の範囲を出す。

$f (x) = lo g x$ とおく。 $0 < a < b$ なので、 $f (x)$ は $[a, b]$ で連続、 $(a, b)$ で微分可能
$f^{'} (x) = \frac{1}{x}$
平均値の定理から、 $\frac{l o g b - l o g a}{b - a} = \frac{1}{c}$ 、 $a < c < b$ を満たす実数 $c$ が存在する
$0 < a < c < b$ で、正の数は大きいほど逆数が小さいので、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$
手順 3 の等式で $\frac{1}{c}$ を置きかえると、 $\frac{1}{b} < \frac{l o g b - l o g a}{b - a} < \frac{1}{a}$

ここで間違えやすい　手順 4 で逆数をとると不等号の向きが逆になる。 $a < c < b$ から $\frac{1}{a} < \frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ としない。

問 4　すべての実数 $a$ 、 $b$ について、不等式 $∣ sin a - sin b ∣ ≦ ∣ a - b ∣$ が成り立つことを証明せよ。

$f (x) = sin x$ に平均値の定理を使い、 $∣ cos c ∣ ≦ 1$ を用いる（ $a = b$ のときは両辺が 0）

方針　左辺は同じ関数 $sin x$ の 2 つの値の差なので、平均値の定理で $sin b - sin a = (b - a) cos c$ と書ける。 $c$ がどこにあっても $∣ cos c ∣ ≦ 1$ なので、それで評価する。定理は $a < b$ の形で使うので、 $a = b$ の場合を先に分けておく。

$a = b$ のとき、左辺も右辺も 0 なので、不等式は等号で成り立つ
$a \neq = b$ のとき。 $a$ と $b$ を入れかえても両辺の値は変わらないので、 $a < b$ としてよい
$f (x) = sin x$ はすべての実数で微分可能なので、 $[a, b]$ で連続、 $(a, b)$ で微分可能。 $f^{'} (x) = cos x$
平均値の定理から、 $\frac{s i n b - s i n a}{b - a} = cos c$ 、 $a < c < b$ を満たす実数 $c$ が存在する
分母をはらって、 $sin b - sin a = (b - a) cos c$
両辺の絶対値をとると、 $∣ sin b - sin a ∣ = ∣ b - a ∣ ∣ cos c ∣$
$∣ cos c ∣ ≦ 1$ なので、 $∣ sin b - sin a ∣ ≦ ∣ b - a ∣$
$∣ sin b - sin a ∣ = ∣ sin a - sin b ∣$ 、 $∣ b - a ∣ = ∣ a - b ∣$ なので、示すべき不等式が得られる

ここで間違えやすい　 $a = b$ の場合を落とさない。平均値の定理は $a < b$ の区間に対する定理なので、 $a = b$ のときは使えない。

問 5　極限 $lim_{x \to + 0} \frac{e ^{x} - e ^{s i n x}}{x - s i n x}$ を求めよ。ただし、 $x > 0$ のとき $sin x < x$ であることは用いてよい。

方針　分子は $e^{t}$ に $t = x$ と $t = sin x$ を入れた値の差、分母はその $x$ と $sin x$ の差なので、関数 $e^{t}$ の平均変化率の形になっている。平均値の定理で $e^{c}$ に置きかえ、 $c$ をはさみうちの原理で 0 に近づける。

$f (t) = e^{t}$ とおく。 $f (t)$ はすべての実数で微分可能で、 $f^{'} (t) = e^{t}$
$x > 0$ のとき $sin x < x$ なので、区間 $[sin x, x]$ で平均値の定理が使える
$\frac{e ^{x} - e ^{s i n x}}{x - s i n x} = e^{c}$ 、 $sin x < c < x$ を満たす実数 $c$ が存在する
$x \to + 0$ のとき、 $sin x \to 0$ かつ $x \to 0$
$sin x < c < x$ なので、はさみうちの原理から $c \to 0$
$e^{t}$ は連続なので、 $c \to 0$ のとき $e^{c} \to e^{0} = 1$
よって、求める極限は 1