いろいろな関数の増減と極値

$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$。極小値はない

方針　極値は $f^{\prime }(x)$ の符号が変わるところでとる。真数は正なので定義域は $x>0$。商の導関数で微分すると分母が $x^2$ になるので、符号は分子だけで決まる。

1. 定義域は $x>0$
2. 商の導関数で微分する。$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$
3. $x^2>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $1-\log x$ の符号と同じ
4. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\log x=1$、つまり $x=e$
5. $0<x<e$ では $\log x<1$ なので $f^{\prime }(x)>0$、$x>e$ では $\log x>1$ なので $f^{\prime }(x)<0$
6. $x=e$ での値は $f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$
7. $x=e$ で増加から減少に変わるので、極大値 $\frac{1}{e}$。減少から増加に変わる点は無いので、極小値はない

$x=-1$ で極大値 $-2$、$x=1$ で極小値 2

方針　定義域は $x\ne 0$。$f^{\prime }(x)$ を通分して 1 つの分数にまとめると、分母が $x^2$ で正なので、分子の符号だけを調べればよい。$x=0$ は定義域に入らないが、増減表の区切りには入れる。

1. 定義域は $x\ne 0$
2. 微分する。$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$
3. 通分する。$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
4. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは、$x=-1,1$
5. $x^2>0$ なので符号は $(x+1)(x-1)$ で決まる。$x<-1$ で正、$-1<x<0$ と $0<x<1$ で負、$x>1$ で正
6. $f(-1)=-1-1=-2$、$f(1)=1+1=2$
7. $x=-1$ で増加から減少に変わるので極大値 $-2$、$x=1$ で減少から増加に変わるので極小値 2

ここで間違えやすい　極大値 $-2$ が極小値 2 より小さいので、逆に書いたと思って入れかえない。極値はその点の近くだけで比べた値で、間に定義されない点 $x=0$ があるとこういうことが起こる。

$x=\frac{\pi }{3}$ で極小値 $\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$、$x=\frac{5}{3}\pi$ で極大値 $\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}$

方針　$f^{\prime }(x)$ に三角関数が入るので、与えられた区間 $0\leqq x\leqq 2\pi$ の中で $f^{\prime }(x)=0$ の解をすべて求め、その解で区切って符号を調べる。符号は $\cos x$ と $\frac{1}{2}$ の大小で決まる。

1. 微分する。$f^{\prime }(x)=1-2\cos x$
2. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\cos x=\frac{1}{2}$ のとき。$0\leqq x\leqq 2\pi$ では $x=\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi$
3. $0\leqq x<\frac{\pi }{3}$ では $\cos x>\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)<0$
4. $\frac{\pi }{3}<x<\frac{5}{3}\pi$ では $\cos x<\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)>0$
5. $\frac{5}{3}\pi <x\leqq 2\pi$ では $\cos x>\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)<0$
6. $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$
7. $\sin \frac{5}{3}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$f\left(\frac{5}{3}\pi \right)=\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}$
8. $x=\frac{\pi }{3}$ で減少から増加に変わるので極小、$x=\frac{5}{3}\pi$ で増加から減少に変わるので極大

$x=0$ で極大値 0、$x=2$ で極小値 $-3\sqrt[3]{4}$

方針　積の導関数で微分する。$\sqrt[3]{x^2}$ の導関数は分母に $\sqrt[3]{x}$ をもつので、$x=0$ では $f^{\prime }(x)$ が存在しない。極値の候補は $f^{\prime }(x)=0$ の点と $f^{\prime }(x)$ が存在しない点の両方なので、$x=0$ も増減表に入れる。

1. 定義域は実数全体で、$f(x)$ は連続
2. $\sqrt[3]{x^2}$ を微分する。$u=x^2$ とおく合成関数の微分で、$x\ne 0$ のとき ${\left(\sqrt[3]{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}(x^2{)}^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}}$
3. $\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}$ なので、${\left(\sqrt[3]{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$（$x<0$ のときも成り立つ）
4. 積の導関数から、$x\ne 0$ のとき $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}(x-5)+\sqrt[3]{x^2}$
5. 通分する。$\sqrt[3]{x^2}\times 3\sqrt[3]{x}=3x$ なので、$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-5)+3x}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{5(x-2)}{3\sqrt[3]{x}}$
6. $x=0$ では、$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h-5}{\sqrt[3]{h}}$ が $h\to 0$ で発散するので、微分可能でない
7. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=2$
8. 符号を調べる。$x<0$ では分子 $x-2$ も分母 $\sqrt[3]{x}$ も負なので $f^{\prime }(x)>0$。$0<x<2$ では分子が負、分母が正なので $f^{\prime }(x)<0$。$x>2$ ではともに正なので $f^{\prime }(x)>0$
9. $f(0)=0$、$f(2)=\sqrt[3]{4}\times (2-5)=-3\sqrt[3]{4}$
10. $x=0$ で増加から減少に変わるので極大値 0、$x=2$ で減少から増加に変わるので極小値 $-3\sqrt[3]{4}$

ここで間違えやすい　$f^{\prime }(x)=0$ の解 $x=2$ だけを調べて、極大値を「なし」としない。$x=0$ は $f^{\prime }(x)$ が存在しない点だが、前後で符号が変わるので極大になる。

$a<1$

方針　極値をもつのは、$f^{\prime }(x)$ の符号が変わる点があるとき。$f^{\prime }(x)$ は（二次式）$\times e^x$ の形になり、$e^x>0$ なので、二次式の符号が変わる条件を調べればよい。二次式の符号が変わるのは、異なる 2 つの実数解をもつとき。

1. 積の導関数で微分する。$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+(x^2+a)\cdot e^x$
2. $e^x$ でくくる。$f^{\prime }(x)=(x^2+2x+a)e^x$
3. $e^x>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $g(x)=x^2+2x+a$ の符号と同じ
4. $g(x)$ の符号が変わるのは、$g(x)=0$ が異なる 2 つの実数解をもつとき
5. 判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4}=1^2-1\cdot a=1-a$
6. $D>0$ から $1-a>0$ なので、$a<1$

ここで間違えやすい　等号を入れて $a\leqq 1$ としない。$a=1$ のとき $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2{e}^x\geqq 0$ で符号が変わらず、極値をもたない。

$a=4$、$b=0$

方針　「$x=1$ で極大値 2 をとる」は、$f^{\prime }(1)=0$ と $f(1)=2$ の 2 つの条件を含む。この 2 本で $a$、$b$ を出す。ただし $f^{\prime }(1)=0$ は必要条件にすぎないので、最後に $x=1$ で本当に極大になるかを確かめる。

1. 商の導関数で微分する。$f^{\prime }(x)=\frac{a(x^2+1)-(ax+b)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$
2. 分子を整理する。$a{x}^2+a-2a{x}^2-2bx=-a{x}^2-2bx+a$ なので、$f^{\prime }(x)=\frac{-a{x}^2-2bx+a}{(x^2+1{)}^2}$
3. $f^{\prime }(1)=0$ から、分子に $x=1$ を入れて $-a-2b+a=0$。よって $-2b=0$ で、$b=0$
4. $f(1)=2$ から、$\frac{a+b}{2}=2$。よって $a+b=4$
5. $b=0$ を代入して、$a=4$
6. 確かめる。$a=4$、$b=0$ のとき $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ で、$f^{\prime }(x)=\frac{-4x^2+4}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-4(x+1)(x-1)}{(x^2+1{)}^2}$
7. 分母は正。$x=1$ の前後で、分子は $0<x<1$ のとき正、$x>1$ のとき負なので、$f^{\prime }(x)$ は $+$ から $-$ に変わる
8. よって $x=1$ で確かに極大になり、極大値は $f(1)=\frac{4}{2}=2$