いろいろな関数の最大と最小

$x=\frac{\pi }{6}$ で最大値 $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$、$x=\frac{5}{6}\pi$ で最小値 $\frac{5}{6}\pi -\sqrt{3}$

方針　閉区間なので、極値と両端の値を比べる。$f^{\prime }(x)=0$ の解を区間内ですべて求めて増減表を作り、極大値と極小値、$f(0)$、$f(\pi )$ の 4 つを比べる。

1. 微分する。$f^{\prime }(x)=1-2\sin x$
2. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\sin x=\frac{1}{2}$ のとき。$0\leqq x\leqq \pi$ では $x=\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$
3. $0\leqq x<\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi <x\leqq \pi$ では $\sin x<\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)>0$、$\frac{\pi }{6}<x<\frac{5}{6}\pi$ では $\sin x>\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)<0$
4. $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、極大値は $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$
5. $\cos \frac{5}{6}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、極小値は $f\left(\frac{5}{6}\pi \right)=\frac{5}{6}\pi -\sqrt{3}$
6. 両端の値は、$f(0)=0+2=2$、$f(\pi )=\pi -2$
7. 最大値の候補は極大値と $f(\pi )$。極大値はおよそ 2.26、$\pi -2$ はおよそ 1.14 なので、極大値のほうが大きい
8. 最小値の候補は極小値と $f(0)$。極小値はおよそ 0.89、$f(0)$ は 2 なので、極小値のほうが小さい

$x=\sqrt{2}$ で最大値 2、$x=-\sqrt{2}$ で最小値 $-2$

方針　根号の中が 0 以上になる範囲が定義域で、閉区間 $-2\leqq x\leqq 2$ になる。積の導関数と合成関数の微分で $f^{\prime }(x)$ を求め、通分して符号を調べ、極値と両端の値を比べる。

1. 定義域は $4-x^2\geqq 0$ から、$-2\leqq x\leqq 2$
2. ${\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{\prime }=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$
3. $-2<x<2$ で、積の導関数から $f^{\prime }(x)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$
4. 通分する。$f^{\prime }(x)=\frac{(4-x^2)-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$
5. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x^2=2$、つまり $x=-\sqrt{2},\sqrt{2}$
6. 分母は正なので符号は $4-2x^2$ で決まる。$-2<x<-\sqrt{2}$ で負、$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ で正、$\sqrt{2}<x<2$ で負
7. $x=\sqrt{2}$ のとき $4-x^2=2$ なので、$f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$
8. 同じく、$f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\times \sqrt{2}=-2$
9. 両端の値は $f(-2)=0$、$f(2)=0$
10. 4 つの値 $0$、$-2$、$2$、$0$ を比べて、最大値は 2、最小値は $-2$

$x=2$ で最大値 $\frac{4}{e^2}$。最小値はない

方針　区間 $x>0$ には端の値が無いので、極値に加えて、$x\to +0$ と $x\to \infty$ の極限を調べる。極限は関数がとる値ではないので、極限がいちばん小さくても最小値にはならない。

1. 積の導関数で微分する。$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot (-e^{-x})$
2. $x{e}^{-x}$ でくくる。$f^{\prime }(x)=x(2-x)e^{-x}$
3. $x>0$ では $x>0$、$e^{-x}>0$ なので、符号は $2-x$ で決まる。$0<x<2$ で $f^{\prime }(x)>0$、$x>2$ で $f^{\prime }(x)<0$
4. $x=2$ で増加から減少に変わる。極大値は $f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$
5. 増減は増加から減少へ 1 回変わるだけなので、この極大値が最大値
6. 端の極限を調べる。${\lim }_{x\to +0}{x}^2{e}^{-x}=0$、${\lim }_{x\to \infty }{x}^2{e}^{-x}=0$
7. $x>0$ では $f(x)>0$ で、$f(x)$ は 0 に限りなく近づくが、0 になる $x$ は無い。よって最小値はない

ここで間違えやすい　端の極限 0 を「最小値 0」と答えない。$x=0$ は区間に含まれず、$x^2{e}^{-x}=0$ となる正の数 $x$ は無い。

$x=0$ で最小値 2

方針　$e^{2x}=(e^x{)}^2$ なので、$t=e^x$ とおくと $t$ の分数関数になる。置き換えたら、まず $t$ の変域を書く。$x$ が実数全体を動くとき $t>0$ なので、その範囲で増減を調べる。

1. $t=e^x$ とおく。$x$ は実数全体を動くので、$t>0$
2. $f(x)$ を $t$ で表して $g(t)=\frac{t^2+3}{t+1}$ とおく
3. 商の導関数で微分する。$g^{\prime }(t)=\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\cdot 1}{(t+1{)}^2}$
4. 分子を整理する。$2t^2+2t-t^2-3=t^2+2t-3=(t+3)(t-1)$ なので、$g^{\prime }(t)=\frac{(t+3)(t-1)}{(t+1{)}^2}$
5. $t>0$ では $t+3>0$、$(t+1{)}^2>0$ なので、符号は $t-1$ で決まる。$0<t<1$ で $g^{\prime }(t)<0$、$t>1$ で $g^{\prime }(t)>0$
6. $t=1$ で減少から増加に 1 回変わるだけなので、$t=1$ で最小
7. 最小値は $g(1)=\frac{1+3}{1+1}=2$
8. $t=1$ のとき $e^x=1$ なので、$x=0$

ここで間違えやすい　$g^{\prime }(t)=0$ のもう 1 つの解 $t=-3$ を候補にしない。$t=e^x$ は正の値しかとらないので、$t=-3$ に対応する $x$ は無い。

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（$\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi }{3}$ のとき。O は AB の中点）

方針　半円に内接する図形なので、角を変数にとると根号が出ない。AB の中点を O として $\angle \mathrm{BOC}=\theta$ とおき、まず $\theta$ の範囲を決める。そのうえで上底・高さを $\theta$ で表し、面積を $\theta$ の関数にして増減を調べる。

1. O を原点、A を $(-1,0)$、B を $(1,0)$ とし、$\angle \mathrm{BOC}=\theta$ とおく。台形になる範囲は $0<\theta <\frac{\pi }{2}$
2. C の座標は $(\cos \theta ,\sin \theta )$。CD は AB と平行なので、D は $y$ 軸について C と対称で、$(-\cos \theta ,\sin \theta )$
3. 上底は $\mathrm{CD}=2\cos \theta$、下底は $\mathrm{AB}=2$、高さは $\sin \theta$
4. 面積を $S$ とすると、$S=\frac{1}{2}(2+2\cos \theta )\sin \theta =(1+\cos \theta )\sin \theta$
5. 積の導関数で微分する。$\frac{dS}{d\theta }=-\sin \theta \cdot \sin \theta +(1+\cos \theta )\cos \theta =-{\sin }^2\theta +\cos \theta +{\cos }^2\theta$
6. ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を代入する。$\frac{dS}{d\theta }=2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1$
7. 因数分解する。$\frac{dS}{d\theta }=(2\cos \theta -1)(\cos \theta +1)$
8. $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ では $\cos \theta +1>0$ なので、符号は $2\cos \theta -1$ で決まる。$0<\theta <\frac{\pi }{3}$ で正、$\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}$ で負
9. 増加から減少に 1 回変わるだけなので、$\theta =\frac{\pi }{3}$ で最大
10. $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、最大値は $\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\frac{2}{e}$（$t=1$ のとき）

方針　接線の式を $t$ で書けば、A、B の座標が $t$ で表せて、面積が $t$ の関数になる。変数の範囲は $t>0$ で端の値が無いが、増減が増加から減少へ 1 回変わるだけなら、その極大値が最大値になる。

1. 微分する。$y^{\prime }=-e^{-x}$ なので、P における接線の傾きは $-e^{-t}$
2. 接線は $y-e^{-t}=-e^{-t}(x-t)$
3. $y=0$ とおくと $-e^{-t}=-e^{-t}(x-t)$。両辺を $-e^{-t}$ でわって $x-t=1$ なので、A の $x$ 座標は $t+1$
4. $x=0$ とおくと $y-e^{-t}=t{e}^{-t}$ なので、B の $y$ 座標は $(t+1)e^{-t}$
5. $t>0$ ではどちらも正なので、面積を $S$ とすると $S=\frac{1}{2}(t+1)\cdot (t+1)e^{-t}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2{e}^{-t}$
6. 積の導関数で微分する。$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}\left\{2(t+1)e^{-t}-(t+1{)}^2{e}^{-t}\right\}$
7. $(t+1)e^{-t}$ でくくる。かっこの中は $2-(t+1)=1-t$ なので、$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}(t+1)(1-t)e^{-t}$
8. $t>0$ では $t+1>0$、$e^{-t}>0$ なので、符号は $1-t$ で決まる。$0<t<1$ で正、$t>1$ で負
9. 増加から減少に 1 回変わるだけなので、$t=1$ で最大
10. 最大値は $\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}$