グラフの凹凸と変曲点

$x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸。変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$

方針　凹凸は第二次導関数の符号で決まる。2 回微分して $y^{\prime \prime }$ を因数分解し、$e^{-x}>0$ を外して符号を調べる。符号が変わる点が変曲点で、$y$ 座標はもとの式に代入して求める。

1. 積の導関数で微分する。$y^{\prime }=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$
2. もう一度微分する。$y^{\prime \prime }=-1\cdot e^{-x}+(1-x)\cdot (-e^{-x})$
3. $e^{-x}$ でくくる。かっこの中は $-1-(1-x)=x-2$ なので、$y^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}$
4. $e^{-x}>0$ なので、$y^{\prime \prime }$ の符号は $x-2$ の符号と同じ
5. $x<2$ で $y^{\prime \prime }<0$ なので上に凸、$x>2$ で $y^{\prime \prime }>0$ なので下に凸
6. $x=2$ の前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わるので、$x=2$ の点が変曲点
7. $x=2$ のとき $y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$ なので、変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$

$x<-1$ と $x>1$ で上に凸、$-1<x<1$ で下に凸。変曲点は $(-1,\log 2)$ と $(1,\log 2)$

方針　$y^{\prime \prime }$ の符号を調べる。$y^{\prime }$ は分数関数になるので、$y^{\prime \prime }$ は商の導関数で求める。分母は 2 乗で正なので、分子の符号だけを見る。

1. 真数 $x^2+1$ は常に正なので、定義域は実数全体
2. 合成関数の微分で、$y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$
3. 商の導関数でもう一度微分する。$y^{\prime \prime }=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$
4. 分子を整理する。$2x^2+2-4x^2=2-2x^2=-2(x+1)(x-1)$ なので、$y^{\prime \prime }=\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1{)}^2}$
5. 分母は正なので、符号は $-2(x+1)(x-1)$ で決まる
6. $x<-1$ では $(x+1)(x-1)>0$ なので $y^{\prime \prime }<0$、$-1<x<1$ では $(x+1)(x-1)<0$ なので $y^{\prime \prime }>0$、$x>1$ では $(x+1)(x-1)>0$ なので $y^{\prime \prime }<0$
7. $x=-1$ と $x=1$ の前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わるので、どちらも変曲点
8. $x=-1$ でも $x=1$ でも $x^2+1=2$ なので、$y=\log 2$

$x=\frac{\pi }{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、$x=\frac{5}{3}\pi$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$（$x=\pi$ では極値をとらない）

方針　$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求め、それぞれで $f^{\prime \prime }(x)$ の符号を調べる。正なら極小、負なら極大。$f^{\prime \prime }(x)=0$ になった点は判定できないので、そこだけ $f^{\prime }(x)$ の符号の変化で調べる。

1. 微分する。$f^{\prime }(x)=2\cos x+2\cos 2x$
2. 2 倍角の公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ を代入する。$f^{\prime }(x)=4{\cos }^{2}x+2\cos x-2$
3. 因数分解する。$f^{\prime }(x)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$
4. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\cos x=\frac{1}{2}$ または $\cos x=-1$。$0<x<2\pi$ では $x=\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5}{3}\pi$
5. 手順 1 の式をもう一度微分する。$f^{\prime \prime }(x)=-2\sin x-4\sin 2x$
6. $x=\frac{\pi }{3}$ のとき、$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-3\sqrt{3}$。負なので極大
7. 極大値は $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
8. $x=\frac{5}{3}\pi$ のとき、$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 2x=\sin \frac{10}{3}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$f^{\prime \prime }\left(\frac{5}{3}\pi \right)=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。正なので極小
9. 極小値は $f\left(\frac{5}{3}\pi \right)=-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
10. $x=\pi$ のとき、$\sin \pi =0$、$\sin 2\pi =0$ なので $f^{\prime \prime }(\pi )=0$。第二次導関数では判定できない
11. $f^{\prime }(x)$ の符号で調べる。$x=\pi$ の近くでは $2\cos x-1<0$、$\cos x+1\geqq 0$ なので、$x=\pi$ の前後とも $f^{\prime }(x)\leqq 0$ で符号が変わらない。よって $x=\pi$ では極値をとらない

ここで間違えやすい　$f^{\prime \prime }(\pi )=0$ から「極値でない」と決めない。$f^{\prime \prime }(a)=0$ は「判定できない」であって、極値をとる場合もとらない場合もある。必ず $f^{\prime }(x)$ の符号に戻る。

$x=0$ で極大値 1。変曲点は $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ と $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$

方針　増減は $y^{\prime }$ の符号、凹凸は $y^{\prime \prime }$ の符号で決まる。$y^{\prime }=0$ となる $x$ と $y^{\prime \prime }=0$ となる $x$ の両方で区切って、1 つの表にまとめる。$e^{-x^2}>0$ は符号に影響しない。

1. 合成関数の微分で、$y^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}$
2. 積の導関数でもう一度微分する。$y^{\prime \prime }=-2\cdot e^{-x^2}+(-2x)\cdot (-2x)e^{-x^2}$
3. $e^{-x^2}$ でくくる。$y^{\prime \prime }=(4x^2-2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}$
4. $y^{\prime }=0$ となるのは $x=0$。$x<0$ で $y^{\prime }>0$、$x>0$ で $y^{\prime }<0$ なので、$x=0$ で極大。極大値は $e^0=1$
5. $y^{\prime \prime }=0$ となるのは $2x^2=1$、つまり $x=-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}$
6. $y^{\prime \prime }$ の符号は $2x^2-1$ で決まる。$x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ で正（下に凸）、$-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ で負（上に凸）
7. $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ の前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わるので、どちらも変曲点
8. $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $x^2=\frac{1}{2}$ なので、$y=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

$y=\log x$ は $x>0$ で上に凸なので、点 $(1,0)$ における接線 $y=x-1$ の下側にある（等号は $x=1$）

方針　右辺の $x-1$ は、曲線 $y=\log x$ の点 $(1,0)$ における接線の式になっている。上に凸な曲線は接線の下側にあるので、凹凸を調べれば曲線と接線の上下が決まり、それが不等式になる。

1. $y=\log x$ の定義域は $x>0$
2. 微分する。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$
3. もう一度微分する。$y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}$
4. $x>0$ で常に $y^{\prime \prime }<0$ なので、曲線は $x>0$ で上に凸
5. $x=1$ のとき $y=0$、$y^{\prime }=1$ なので、点 $(1,0)$ における接線は $y-0=1\cdot (x-1)$、つまり $y=x-1$
6. 上に凸な曲線は、接点を除いて接線の下側にあるので、$x>0$ のとき $\log x\leqq x-1$
7. 等号が成り立つのは接点、つまり $x=1$ のとき

$a=8$、変曲点 $(2,4+8\log 2)$

方針　変曲点では $y^{\prime \prime }=0$ になるので、$x=2$ で $y^{\prime \prime }=0$ とおいて $a$ を出す。ただし $y^{\prime \prime }=0$ は必要条件にすぎないので、求めた $a$ で $x=2$ の前後の $y^{\prime \prime }$ の符号が本当に変わるかを確かめる。

1. 定義域は $x>0$
2. 微分する。$y^{\prime }=2x+\frac{a}{x}$
3. もう一度微分する。$y^{\prime \prime }=2-\frac{a}{x^2}$
4. $x=2$ で $y^{\prime \prime }=0$ となるので、$2-\frac{a}{4}=0$
5. よって $a=8$
6. 確かめる。$a=8$ のとき $y^{\prime \prime }=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x+2)(x-2)}{x^2}$
7. $x>0$ では $x+2>0$、$x^2>0$ なので、符号は $x-2$ で決まる。$0<x<2$ で $y^{\prime \prime }<0$（上に凸）、$x>2$ で $y^{\prime \prime }>0$（下に凸）
8. $x=2$ の前後で符号が変わるので、確かに変曲点になる
9. $x=2$ のとき $y=4+8\log 2$ なので、変曲点は $(2,4+8\log 2)$