グラフの概形

直線 $x=-1$ と直線 $y=2x-1$

方針　分数関数の漸近線は、分子を分母で割って「整式＋分子の次数が低い分数」の形にすると読める。分数の部分は $x\to \pm \infty$ で 0 に近づくので整式の部分が斜めの漸近線になり、分母が 0 になる $x$ が $x$ 軸に垂直な漸近線になる。

1. 分子を $x+1$ で割る。$2x^2+x+1=(x+1)(2x-1)+2$
2. よって $y=2x-1+\frac{2}{x+1}$
3. $x\to \pm \infty$ のとき $\frac{2}{x+1}\to 0$ なので、$y-(2x-1)\to 0$。直線 $y=2x-1$ は漸近線
4. $x\to -1+0$ のとき $\frac{2}{x+1}\to \infty$、$x\to -1-0$ のとき $\frac{2}{x+1}\to -\infty$ なので、直線 $x=-1$ は漸近線

ここで間違えやすい　割り算をせずに「分母が 0 になる $x=-1$ だけ」と答えない。分子の次数が分母より 1 だけ高い分数関数には、斜めの漸近線がある。

$x=-1$ で極大値 $-2$、$x=1$ で極小値 2。$x<0$ で上に凸、$x>0$ で下に凸（変曲点は無い）。漸近線は直線 $x=0$ と直線 $y=x$

方針　定義域は $x\ne 0$。$y^{\prime }$ の符号で増減を、$y^{\prime \prime }$ の符号で凹凸を調べて 1 つの表にまとめる。漸近線は、定義域の切れ目 $x=0$ と $x\to \pm \infty$ での極限から求める。

1. 微分する。$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
2. $y^{\prime }=0$ となるのは、$x=-1,1$
3. もう 1 回微分する。$y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}$
4. $y^{\prime \prime }$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正。$y^{\prime \prime }=0$ となる $x$ は無い
5. 極値を求める。$x=-1$ のとき $y=-1-1=-2$、$x=1$ のとき $y=1+1=2$
6. 表にまとめる（$x=0$ では定義されない）

7. $x\to +0$ のとき $y\to \infty$、$x\to -0$ のとき $y\to -\infty$ なので、直線 $x=0$ は漸近線
8. $x\to \pm \infty$ のとき $y-x=\frac{1}{x}\to 0$ なので、直線 $y=x$ は漸近線
9. $f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-f(x)$ なので奇関数で、グラフは原点について対称。$x$ 軸、$y$ 軸とは共有点をもたない

ここで間違えやすい　極大値 $-2$ が極小値 2 より小さいが、誤りではない。$x=0$ でグラフが切れているので、極値は左右の枝で別々に比べたものになる。また $x=0$ の前後で凹凸が変わるが、$x=0$ は定義域に無いので変曲点ではない。

$x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$（極小値は無い）。$x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸で、変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$。漸近線は直線 $y=0$（$x$ 軸）

方針　定義域は実数全体。積の導関数で $y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ を求め、$e^{-x}>0$ なので残りの因数の符号だけを見て表を作る。漸近線は $x\to \infty$ と $x\to -\infty$ を別々に調べる。

1. 微分する。$y^{\prime }=e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$
2. もう 1 回微分する。$y^{\prime \prime }=-e^{-x}+(1-x)\cdot (-e^{-x})=(x-2)e^{-x}$
3. $e^{-x}>0$ なので、$y^{\prime }$ の符号は $1-x$ の符号、$y^{\prime \prime }$ の符号は $x-2$ の符号と同じ
4. $y^{\prime }=0$ となるのは $x=1$、$y^{\prime \prime }=0$ となるのは $x=2$
5. $x=1$ のとき $y=e^{-1}=\frac{1}{e}$、$x=2$ のとき $y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$
6. 表にまとめる

7. $x\to \infty$ のとき $y=\frac{x}{e^x}\to 0$ なので、直線 $y=0$ は漸近線
8. $x\to -\infty$ のとき、$x\to -\infty$ かつ $e^{-x}\to \infty$ なので $y\to -\infty$。こちらの側に漸近線は無い
9. $y=0$ となるのは $x=0$ だけなので、グラフは原点を通る

ここで間違えやすい　「$x$ 軸が漸近線だから $x\to -\infty$ でも $x$ 軸に近づく」としない。左の側ではグラフは限りなく下がっていく。

$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$（極小値は無い）。$0<x<e\sqrt{e}$ で上に凸、$x>e\sqrt{e}$ で下に凸で、変曲点は $\left(e\sqrt{e},\frac{3}{2e\sqrt{e}}\right)$。漸近線は直線 $x=0$（$y$ 軸）と直線 $y=0$（$x$ 軸）

方針　真数は正なので、定義域は $x>0$。商の導関数で $y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ を求め、分母は正なので分子の符号だけを見て表を作る。漸近線は、定義域の端 $x\to +0$ と $x\to \infty$ の極限から求める。

1. 微分する。$y^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$
2. もう 1 回微分する。分子は $-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x=-x-2x+2x\log x=x(2\log x-3)$
3. よって $y^{\prime \prime }=\frac{x(2\log x-3)}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}$
4. $y^{\prime }=0$ となるのは $\log x=1$ から $x=e$
5. $y^{\prime \prime }=0$ となるのは $\log x=\frac{3}{2}$ から $x=e^{\frac{3}{2}}=e\sqrt{e}$
6. $x=e$ のとき $y=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$、$x=e\sqrt{e}$ のとき $y=\frac{3}{2}÷e\sqrt{e}=\frac{3}{2e\sqrt{e}}$
7. 表にまとめる（定義域は $x>0$）

8. $x\to +0$ のとき、$\log x\to -\infty$、$\frac{1}{x}\to \infty$ なので、積 $\frac{\log x}{x}\to -\infty$。直線 $x=0$ は漸近線
9. $x\to \infty$ のとき $y\to 0$ なので、直線 $y=0$ は漸近線
10. $y=0$ となるのは $\log x=0$ から $x=1$。グラフは点 $(1,0)$ で $x$ 軸と交わる

ここで間違えやすい　$x\to +0$ の極限を、与えられた極限と同じとみて 0 としない。こちらは「負の無限大 × 正の無限大」で $-\infty$ と決まる形で、与えられた極限を使うのは $x\to \infty$ の側だけ。

$x=0$ で極大値 1（極小値は無い）。$x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ で下に凸、$-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ で上に凸で、変曲点は $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ と $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$。漸近線は直線 $y=0$（$x$ 軸）

方針　定義域は実数全体。合成関数の導関数で $y^{\prime }$ を、積の導関数で $y^{\prime \prime }$ を求める。$e^{-x^2}>0$ なので、残りの因数の符号を見て表を作る。偶関数なので、$y$ 軸について対称になることを確かめに使う。

1. 微分する。$y^{\prime }=e^{-x^2}\cdot (-2x)=-2x{e}^{-x^2}$
2. もう 1 回微分する。$y^{\prime \prime }=-2e^{-x^2}+(-2x)\cdot (-2x)e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}$
3. 因数分解する。$y^{\prime \prime }=2(2x^2-1)e^{-x^2}$
4. $y^{\prime }=0$ となるのは $x=0$。$y^{\prime }$ の符号は $-2x$ の符号と同じで、$x<0$ で正、$x>0$ で負
5. $y^{\prime \prime }=0$ となるのは $2x^2=1$ から $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。$y^{\prime \prime }$ の符号は $2x^2-1$ の符号と同じで、$-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ で負、その外側で正
6. $x=0$ のとき $y=e^0=1$、$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $x^2=\frac{1}{2}$ なので $y=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$
7. 表にまとめる

8. $x\to \pm \infty$ のとき $-x^2\to -\infty$ なので $y\to 0$。直線 $y=0$ は漸近線
9. $f(-x)=e^{-(-x{)}^2}=e^{-x^2}=f(x)$ なので偶関数で、グラフは $y$ 軸について対称。常に $y>0$ なので $x$ 軸とは交わらず、$y$ 軸とは点 $(0,1)$ で交わる