方程式・不等式への応用

$h(x)=x-\log (1+x)$ は $x\geqq 0$ で増加し、$h(0)=0$ なので、$x>0$ で $h(x)>0$。よって $\log (1+x)<x$

方針　右辺から左辺をひいた差の関数 $h(x)$ をおき、$x>0$ で $h(x)>0$ を示す。区間 $x>0$ には端 $x=0$ が入らず最小値をとらないので、「$h(x)$ は増加する」ことと「端の値 $h(0)=0$」の 2 つから示す。

1. $h(x)=x-\log (1+x)$ とおく。$h(x)$ は $x\geqq 0$ で連続
2. 微分する。$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}$
3. 通分する。$h^{\prime }(x)=\frac{(1+x)-1}{1+x}=\frac{x}{1+x}$
4. $x>0$ のとき分子も分母も正なので、$h^{\prime }(x)>0$
5. よって $h(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する
6. 端の値は $h(0)=0-\log 1=0$
7. $x>0$ のとき $h(x)>h(0)=0$。すなわち $x-\log (1+x)>0$ なので、$\log (1+x)<x$

$h(x)=x\log x-x+1$ は $x=1$ で最小値 0 をとるので、$x>0$ で $h(x)\geqq 0$。等号が成り立つのは $x=1$ のとき

方針　左辺から右辺をひいた差の関数 $h(x)$ の、$x>0$ での最小値を求める。最小値が 0 以上なら不等式が成り立ち、最小値 0 をとる $x$ が等号の成り立つ $x$ になる。

1. $h(x)=x\log x-(x-1)=x\log x-x+1$ とおく
2. 積の導関数で微分する。$(x\log x{)}^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$
3. よって $h^{\prime }(x)=\log x+1-1=\log x$
4. $h^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1$。$0<x<1$ で $\log x<0$、$x>1$ で $\log x>0$
5. 増減表をかく

6. 最小値は $h(1)=1\cdot \log 1-1+1=0$
7. よって $x>0$ で $h(x)\geqq 0$。すなわち $x\log x\geqq x-1$
8. 等号が成り立つのは、$h(x)$ が最小値 0 をとる $x=1$ のとき

$h(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおくと、$h^{\prime \prime }(x)=e^x-1>0$ から $h^{\prime }(x)>0$、さらに $h(x)>0$ が順に言える。よって $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$

方針　差の関数 $h(x)$ を微分しても $h^{\prime }(x)=e^x-1-x$ の符号がすぐには分からない。そこでもう 1 回微分し、$h^{\prime \prime }(x)$ の符号から $h^{\prime }(x)$ の符号を、$h^{\prime }(x)$ の符号から $h(x)$ の符号を、「増加と端の値」で順に決める。

1. $h(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおく
2. 微分する。$h^{\prime }(x)=e^x-1-x$
3. もう 1 回微分する。$h^{\prime \prime }(x)=e^x-1$
4. $x>0$ のとき $e^x>1$ なので、$h^{\prime \prime }(x)>0$
5. よって $h^{\prime }(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する。$h^{\prime }(0)=1-1-0=0$ なので、$x>0$ のとき $h^{\prime }(x)>0$
6. よって $h(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する。$h(0)=1-1-0-0=0$ なので、$x>0$ のとき $h(x)>0$
7. すなわち $e^x-1-x-\frac{x^2}{2}>0$ なので、$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$

ここで間違えやすい　手順 5 で「$h^{\prime \prime }(x)>0$ だから $h^{\prime }(x)>0$」と飛ばさない。$h^{\prime \prime }(x)>0$ から言えるのは $h^{\prime }(x)$ が増加することまでで、$h^{\prime }(0)=0$ と合わせて初めて $h^{\prime }(x)>0$ になる。

$h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$ とおくと、$h^{\prime }(x)=x-\sin x>0$（$x>0$）で $h(x)$ は増加し、$h(0)=0$ なので $x>0$ で $h(x)>0$。よって $\cos x>1-\frac{x^2}{2}$

方針　左辺から右辺をひいた差の関数 $h(x)$ をおく。微分すると $x-\sin x$ が出てくるので、与えられた不等式 $\sin x<x$ で符号が決まる。あとは「増加と端の値」で示す。

1. $h(x)=\cos x-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$ とおく。$h(x)$ は $x\geqq 0$ で連続
2. 微分する。$h^{\prime }(x)=-\sin x+x=x-\sin x$
3. $x>0$ のとき $\sin x<x$ なので、$h^{\prime }(x)>0$
4. よって $h(x)$ は $x\geqq 0$ で増加する
5. 端の値は $h(0)=\cos 0-1+0=0$
6. $x>0$ のとき $h(x)>h(0)=0$。すなわち $\cos x-1+\frac{x^2}{2}>0$ なので、$\cos x>1-\frac{x^2}{2}$

$a>\frac{1}{e}$ のとき 0 個、$a=\frac{1}{e}$ のとき 1 個、$0<a<\frac{1}{e}$ のとき 2 個、$a\leqq 0$ のとき 1 個

方針　定義域は $x>0$ なので、両辺を $x$ で割って定数 $a$ を分離できる。$\frac{\log x}{x}=a$ の実数解の個数は、曲線 $y=\frac{\log x}{x}$ と直線 $y=a$ の共有点の個数。増減と極値に加えて、定義域の両端での極限を調べてグラフの形を決める。

1. 真数は正なので $x>0$。両辺を $x$ で割ると、$\frac{\log x}{x}=a$
2. $f(x)=\frac{\log x}{x}$ とおいて微分する。$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$
3. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\log x=1$ から $x=e$。$0<x<e$ で $f^{\prime }(x)>0$、$x>e$ で $f^{\prime }(x)<0$
4. 極大値は $f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$
5. 端の極限を調べる。$x\to +0$ のとき、$\log x\to -\infty$、$\frac{1}{x}\to \infty$ なので $f(x)\to -\infty$
6. $x\to \infty$ のとき $f(x)\to 0$。$x>1$ では $f(x)>0$ なので、漸近線 $y=0$ に上から近づく

7. $0<x\leqq e$ では、$f(x)$ は $-\infty$ から $\frac{1}{e}$ まで増加し、その間のすべての値を 1 回ずつとる
8. $x>e$ では、$f(x)$ は $\frac{1}{e}$ から減少して 0 に近づき、$0<y<\frac{1}{e}$ の値を 1 回ずつとる（0 以下の値はとらない）
9. 直線 $y=a$ との共有点を数える。$a>\frac{1}{e}$ で 0 個、$a=\frac{1}{e}$ で 1 個、$0<a<\frac{1}{e}$ で 2 個、$a\leqq 0$ で 1 個

ここで間違えやすい　$a\leqq 0$ を「2 個」としない。$x>e$ の側のグラフは $x$ 軸に近づくだけで 0 以下にはならないので、$a\leqq 0$ のとき共有点は $0<x\leqq 1$ の側の 1 個だけ。

$a<0$ のとき 1 個、$0\leqq a<e$ のとき 0 個、$a=e$ のとき 1 個、$a>e$ のとき 2 個

方針　定数 $a$ を分離して $\frac{e^x}{x}=a$ とし、曲線 $y=\frac{e^x}{x}$ と直線 $y=a$ の共有点を数える。$x$ で割るので、先に $x=0$ が解でないことを確かめる。この曲線は $x=0$ で切れているので、$x<0$ の枝と $x>0$ の枝を別々に調べ、それぞれの端の極限まで求める。

1. $x=0$ を代入すると、左辺は $e^0=1$、右辺は 0 で等しくない。よって $x=0$ は解でないので、両辺を $x$ で割って $\frac{e^x}{x}=a$
2. $f(x)=\frac{e^x}{x}$（$x\ne 0$）とおいて微分する。$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{(x-1)e^x}{x^2}$
3. $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1$。$f^{\prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と同じで、$x<0$ と $0<x<1$ で負、$x>1$ で正
4. 極小値は $f(1)=\frac{e}{1}=e$
5. $x<0$ の枝の端。$x\to -\infty$ のとき $e^x\to 0$、$\frac{1}{x}\to 0$ なので $f(x)\to 0$。$x\to -0$ のとき $e^x\to 1$、$\frac{1}{x}\to -\infty$ なので $f(x)\to -\infty$
6. $x>0$ の枝の端。$x\to +0$ のとき $e^x\to 1$、$\frac{1}{x}\to \infty$ なので $f(x)\to \infty$。$x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty$

7. $x<0$ の枝では $f(x)<0$ で、0 に近い値から $-\infty$ まで減少し、負の値をすべて 1 回ずつとる
8. $x>0$ の枝では、$\infty$ から極小値 $e$ まで減少し、そのあと $\infty$ まで増加する。$e$ より大きい値は 2 回、$e$ は 1 回とる
9. 直線 $y=a$ との共有点を数える。$a<0$ で 1 個、$0\leqq a<e$ で 0 個、$a=e$ で 1 個、$a>e$ で 2 個

ここで間違えやすい　$a=0$ を「1 個」としない。$x<0$ の枝は漸近線 $y=0$ に近づくだけで 0 にはならない（もとの式でも $e^x=0$ は解をもたない）。