関数の連続性｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (オ)「関数の値の極限について理解すること。」。このノートは、グラフがつながっていることを極限で言い表した「連続」と、そこから出る中間値の定理を扱います。

0. どういうまとまりか

関数のグラフが $x = a$ でつながっていることを、 $x \to a$ のときの極限値が $f (a)$ に一致すると言い表します。これが連続です。
連続な関数には、「閉区間では最大値と最小値をもつ」「途中の値を飛ばさない（中間値の定理）」というよい性質があります。
中間値の定理を使うと、方程式を解かなくても、実数解があることを示せます。以下、 $a ≦ x ≦ b$ を閉区間 $[a, b]$ 、 $a < x < b$ を開区間 $(a, b)$ と書きます。

言葉・定理	条件と中身
$x = a$ で連続	$lim_{x \to a} f (x)$ が存在して、 $f (a)$ に一致する
区間で連続	その区間のすべての点で連続（閉区間の端では片側からの極限で考える）
最大値・最小値をもつ	閉区間で連続な関数は、その区間で最大値と最小値をもつ
中間値の定理	閉区間 $[a, b]$ で連続で $f (a) \neq = f (b)$ なら、 $f (a)$ と $f (b)$ の間の値をすべてとる

分かれ目は次の 3 つ。

連続の条件は 2 つ。極限値が存在することと、それが $f (a)$ に一致すること。片方だけでは連続でない
中間値の定理は閉区間で連続が条件。途中に不連続な点があれば使えない
$f (a)$ と $f (b)$ が異符号なら実数解は少なくとも 1 つ。個数までは分からないし、同符号だから解が無いともいえない

1. $x = a$ で連続

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

極限値は $x = a$ での値を見ませんでした。連続とは、その極限値と $x = a$ での値がぴったり合うことです。

関数 $f (x)$ が $x = a$ で連続であるとは？（ $a$ は定義域に属する値）

極限値 $lim_{x \to a} f (x)$ が存在し、かつ $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ が成り立つこと

グラフが $x = a$ でつながっていることを表す。連続でないとき、 $x = a$ で不連続であるという。

関数 $f (x)$ が $x = a$ で不連続になるのは、どんなときか？（ $a$ は定義域に属する値）

$lim_{x \to a} f (x)$ が存在しないとき、または、存在しても $f (a)$ と一致しないとき

右側極限と左側極限が食い違う点や、1 点だけ値がずれている点で起こる。

$f (x)$ 、 $g (x)$ がともに $x = a$ で連続のとき、同じく $x = a$ で連続になる関数は？（ $k$ は定数）

$k f (x)$ 、 $f (x) + g (x)$ 、 $f (x) - g (x)$ 、 $f (x) g (x)$ 、 $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ （商は $g (a) \neq = 0$ のとき）

極限値の性質（定数倍・和・差・積・商）からそのまま出る。

2. 区間で連続

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

これまでに学んだ関数は、定義域の中ではグラフが切れません。だから極限値は代入で求まりました。

関数 $f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であるとは？

区間のすべての点で連続であること。端では片側だけで考え、 $lim_{x \to a + 0} f (x) = f (a)$ 、 $lim_{x \to b - 0} f (x) = f (b)$ が成り立てばよい

端では、区間の外側から近づくことができないので、内側からの極限だけを見る。

多項式の関数・分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数は、どこで連続か？

定義域のすべての点で連続

定義域のすべての点で連続な関数を連続関数という。分数関数 $\frac{1}{x}$ は $x = 0$ が定義域に入らないので、 $x < 0$ と $x > 0$ のそれぞれの区間で連続。

$f (x)$ が $x = a$ で連続であることが分かっているとき、 $lim_{x \to a} f (x)$ はどう求まるか？

$x = a$ を代入する。 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

連続の定義そのもの。多項式や $sin x$ 、 $x$ などの極限を代入で求めてよい理由になっている。

3. 最大値・最小値と中間値の定理

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

どちらの定理も「閉区間で連続」が条件です。端が入らない区間や、途中で切れている関数では成り立ちません。

閉区間で連続な関数の、最大値・最小値についての性質は？

閉区間で連続な関数は、その閉区間で最大値および最小値をもつ

「閉区間」と「連続」の両方が要る。

開区間で連続な関数は、その区間で必ず最大値と最小値をもつか？

もつとは限らない

$f (x) = \frac{1}{x}$ は開区間 $(0, 1)$ で連続だが、 $x$ を 0 に近づけると限りなく大きくなり、1 に近づけると 1 に近づくが 1 にはならないので、最大値も最小値ももたない。

中間値の定理とは？

関数 $f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f (a) \neq = f (b)$ ならば、 $f (a)$ と $f (b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、 $f (c) = k$ となる実数 $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも 1 つ存在する

連続なグラフは、途中の高さを飛びこせないということ。

方程式 $f (x) = 0$ が $a < x < b$ の範囲に実数解をもつことを、中間値の定理で示す条件は？

$f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、 $f (a)$ と $f (b)$ が異符号（ $f (a) f (b) < 0$ ）であること。このとき少なくとも 1 つの実数解をもつ

答案には「閉区間で連続である」ことを必ず書く。

$f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f (a)$ と $f (b)$ が異符号のとき、 $a < x < b$ の範囲にある $f (x) = 0$ の実数解の個数は分かるか？

分からない。分かるのは「少なくとも 1 つある」ことだけ

ただ 1 つであることをいうには、 $f (x)$ がその区間で常に増加（または常に減少）することを別に示す。

$f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f (a)$ と $f (b)$ が同符号のとき、 $a < x < b$ に $f (x) = 0$ の実数解は無いといえるか？

いえない

$f (x) = x^{2} - 1$ は $f (- 2)$ も $f (2)$ も 3 で同符号だが、 $- 2 < x < 2$ に実数解 $x = - 1$ 、 $x = 1$ をもつ。

4. 極限で定義された関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

$lim_{n \to \infty}$ を含む式で定められた関数は、 $x$ の値によって極限の出方が変わるので、境目で不連続になることがあります。数列 ${r^{n}}$ の極限を $r = x^{2}$ として使います。

$lim_{n \to \infty} x^{2 n}$ を含む式で定められた関数 $f (x)$ を求めるとき、 $x$ の値をどう場合分けするか？

$∣ x ∣ < 1$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ の 4 つ

$∣ x ∣ < 1$ では $x^{2 n}$ は 0 に近づき、 $x = 1$ と $x = - 1$ では $x^{2 n} = 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ では限りなく大きくなるので、分母と分子を $x^{2 n}$ で割る。

練習問題

問 1　 $x \neq = 2$ のとき $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ 、 $x = 2$ のとき $f (x) = k$ と定めた関数 $f (x)$ が $x = 2$ で連続になるように、定数 $k$ の値を定めよ。

$k = 4$

方針　 $x = 2$ で連続とは、 $lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$ が成り立つこと。極限値を求めるときは $x \neq = 2$ のほうの式を使い、それが $f (2) = k$ に等しくなるようにする。

$x \neq = 2$ のとき、 $f (x) = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 2$
よって $lim_{x \to 2} f (x) = 2 + 2 = 4$
$f (2) = k$ なので、連続になる条件は $k = 4$

問 2　 $x < 2$ のとき $f (x) = a x + 1$ 、 $x ≧ 2$ のとき $f (x) = x^{2} - a$ と定めた関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ で連続になるように、定数 $a$ の値を定めよ。

$a = 1$

方針　 $x < 2$ と $x > 2$ のそれぞれでは多項式なので連続。調べるのは式の変わり目 $x = 2$ だけで、そこでは左右で式が違うから、右側極限と左側極限と $f (2)$ の 3 つが一致する条件を立てる。

$x < 2$ の範囲では $f (x) = a x + 1$ 、 $x > 2$ の範囲では $f (x) = x^{2} - a$ で、どちらも多項式なので連続
左側極限は、 $x < 2$ の式を使って $lim_{x \to 2 - 0} f (x) = 2 a + 1$
右側極限は、 $x ≧ 2$ の式を使って $lim_{x \to 2 + 0} f (x) = 4 - a$
$f (2)$ は $x ≧ 2$ の式から $f (2) = 4 - a$
$x = 2$ で連続になる条件は、この 3 つが一致すること。 $2 a + 1 = 4 - a$
$3 a = 3$ なので、 $a = 1$
確かめる。 $a = 1$ のとき、左側極限は $2 + 1 = 3$ 、右側極限と $f (2)$ は $4 - 1 = 3$ で一致する

問 3　方程式 $cos x = x$ は、 $0 < x < \frac{π}{2}$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。

$f (x) = x - cos x$ は閉区間 $[0, \frac{π}{2}]$ で連続で、 $f (0) = - 1 < 0$ 、 $f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} > 0$ だから、中間値の定理により示される

方針　解を具体的に求めることはできないので、存在だけを示す。右辺を移項して $f (x) = 0$ の形にし、区間の両端で $f (x)$ の符号が変わることと、 $f (x)$ が連続であることから、中間値の定理を使う。

$f (x) = x - cos x$ とおく。方程式 $cos x = x$ は $f (x) = 0$ と同じ
$x$ も $cos x$ もすべての実数で連続なので、その差 $f (x)$ は閉区間 $[0, \frac{π}{2}]$ で連続
$f (0) = 0 - cos 0 = - 1$ なので、 $f (0) < 0$
$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ なので、 $f (\frac{π}{2}) > 0$
$f (0)$ と $f (\frac{π}{2})$ は異符号なので、中間値の定理により、 $f (c) = 0$ となる $c$ が $0 < c < \frac{π}{2}$ の範囲に少なくとも 1 つ存在する
よって方程式 $cos x = x$ は、 $0 < x < \frac{π}{2}$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつ

問 4　方程式 $2^{x} = 3 x$ は、 $0 < x < 4$ の範囲に少なくとも 2 つの実数解をもつことを示せ。

$f (x) = 2^{x} - 3 x$ は連続で、 $f (0) = 1 > 0$ 、 $f (1) = - 1 < 0$ 、 $f (4) = 4 > 0$ だから、中間値の定理により $0 < x < 1$ と $1 < x < 4$ にそれぞれ少なくとも 1 つの実数解をもつ

方針　中間値の定理は 1 つの区間につき「少なくとも 1 つ」しか教えてくれない。2 つの解を示すには、符号が変わる区間を、重ならないように 2 つ見つける。途中の点の値をいくつか計算して符号を調べる。

$f (x) = 2^{x} - 3 x$ とおく。方程式 $2^{x} = 3 x$ は $f (x) = 0$ と同じ
$2^{x}$ も $3 x$ もすべての実数で連続なので、 $f (x)$ はすべての実数で連続。とくに閉区間 $[0, 1]$ 、 $[1, 4]$ で連続
$f (0) = 1 - 0 = 1$ なので、 $f (0) > 0$
$f (1) = 2 - 3 = - 1$ なので、 $f (1) < 0$
$f (4) = 16 - 12 = 4$ なので、 $f (4) > 0$
$f (0)$ と $f (1)$ は異符号なので、中間値の定理により、 $0 < x < 1$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解がある
$f (1)$ と $f (4)$ は異符号なので、同じく $1 < x < 4$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解がある
この 2 つの範囲は重ならないので、2 つの解は異なる。よって $0 < x < 4$ の範囲に少なくとも 2 つの実数解をもつ

問 5　関数 $f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}$ を求め、その連続性を調べよ。

$∣ x ∣ < 1$ のとき $f (x) = 0$ 、 $∣ x ∣ > 1$ のとき $f (x) = x$ 、 $f (1) = \frac{1}{2}$ 、 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ 。 $x = 1$ と $x = - 1$ で不連続で、それ以外のすべての $x$ で連続

方針　 $x^{2 n} = (x^{2})^{n}$ の極限は、 $x^{2}$ と 1 の大小、つまり $∣ x ∣$ と 1 の大小で変わる。 $∣ x ∣ < 1$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ に分けて $f (x)$ を求めてから、式の変わり目 $x = 1$ 、 $x = - 1$ で左右の極限と値を比べる。

$∣ x ∣ < 1$ のとき。 $n \to \infty$ で $x^{2 n}$ も $x^{2 n + 1}$ も 0 に近づくので、 $f (x) = \frac{0}{1 + 0} = 0$
$x = 1$ のとき。 $x^{2 n + 1} = 1$ 、 $x^{2 n} = 1$ なので、 $f (1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
$x = - 1$ のとき。 $2 n + 1$ は奇数なので $x^{2 n + 1} = - 1$ 、 $2 n$ は偶数なので $x^{2 n} = 1$ 。よって $f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1} = - \frac{1}{2}$
$∣ x ∣ > 1$ のとき。分母と分子を $x^{2 n}$ で割ると $\frac{x}{\frac{1}{x ^{2 n}} + 1}$ 。 $n \to \infty$ で $\frac{1}{x ^{2 n}}$ は 0 に近づくので、 $f (x) = x$
$∣ x ∣ < 1$ の範囲と $∣ x ∣ > 1$ の範囲では、 $f (x)$ は多項式なので連続
$x = 1$ を調べる。左側極限は $∣ x ∣ < 1$ の式から $lim_{x \to 1 - 0} f (x) = 0$ 、右側極限は $∣ x ∣ > 1$ の式から $lim_{x \to 1 + 0} f (x) = 1$ 。一致しないので $lim_{x \to 1} f (x)$ は存在せず、 $x = 1$ で不連続
$x = - 1$ を調べる。右側極限は $∣ x ∣ < 1$ の式から $lim_{x \to - 1 + 0} f (x) = 0$ 、左側極限は $∣ x ∣ > 1$ の式から $lim_{x \to - 1 - 0} f (x) = - 1$ 。一致しないので、 $x = - 1$ で不連続

ここで間違えやすい　 $x = 1$ と $x = - 1$ の場合を落として、 $∣ x ∣ ≦ 1$ と $∣ x ∣ > 1$ の 2 つで済ませない。 $x = 1$ 、 $x = - 1$ では $x^{2 n}$ が 0 にも無限大にもならず、値が $\frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{2}$ と別になる。

問 6　関数 $f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x ^{2 n + 1} + a x ^{2} + b x + 1}{x ^{2 n} + 1}$ がすべての実数 $x$ で連続になるように、定数 $a$ 、 $b$ の値を定めよ。

$a = - 1$ 、 $b = 1$

方針　まず $∣ x ∣ < 1$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ に分けて $f (x)$ を求める。不連続になりうるのは式の変わり目 $x = 1$ と $x = - 1$ だけなので、そこで「左側極限・右側極限・関数の値」の 3 つが一致する条件を立てる。

$∣ x ∣ < 1$ のとき。 $x^{2 n}$ も $x^{2 n + 1}$ も 0 に近づくので、 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$
$∣ x ∣ > 1$ のとき。分母と分子を $x^{2 n}$ で割ると $\frac{x + \frac{a x ^{2} + b x + 1}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{1}{x ^{2 n}}}$ 。 $\frac{1}{x ^{2 n}}$ は 0 に近づくので、 $f (x) = x$
$x = 1$ のとき。 $f (1) = \frac{1 + a + b + 1}{1 + 1} = \frac{a + b + 2}{2}$
$x = - 1$ のとき。 $x^{2 n + 1} = - 1$ 、 $x^{2 n} = 1$ なので、 $f (- 1) = \frac{- 1 + a - b + 1}{1 + 1} = \frac{a - b}{2}$
$∣ x ∣ < 1$ の範囲と $∣ x ∣ > 1$ の範囲では多項式なので連続。調べるのは $x = 1$ と $x = - 1$
$x = 1$ について。左側極限は $lim_{x \to 1 - 0} (a x^{2} + b x + 1) = a + b + 1$ 、右側極限は $lim_{x \to 1 + 0} x = 1$
左右が一致する条件は $a + b + 1 = 1$ 、つまり $a + b = 0$ 。このとき $f (1) = \frac{0 + 2}{2} = 1$ で、値も一致する
$x = - 1$ について。右側極限は $lim_{x \to - 1 + 0} (a x^{2} + b x + 1) = a - b + 1$ 、左側極限は $lim_{x \to - 1 - 0} x = - 1$
左右が一致する条件は $a - b + 1 = - 1$ 、つまり $a - b = - 2$ 。このとき $f (- 1) = \frac{- 2}{2} = - 1$ で、値も一致する
$a + b = 0$ と $a - b = - 2$ を辺々たすと $2 a = - 2$ なので、 $a = - 1$
$a + b = 0$ に代入して、 $b = 1$

ここで間違えやすい　 $x = - 1$ では、 $∣ x ∣ < 1$ の式を使うのは右側（ $x \to - 1 + 0$ ）で、 $∣ x ∣ > 1$ の式を使うのは左側（ $x \to - 1 - 0$ ）。 $x = 1$ のときと左右が逆になる。

関数の連続性

0. どういうまとまりか

1. x=a で連続

2. 区間で連続

3. 最大値・最小値と中間値の定理

4. 極限で定義された関数

練習問題

1. $x = a$ で連続